一元二次方程导学案.doc

一元二次方程第一课时 一元二次方程（定义）一、例题问题1 要设计一座2m高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？分析：设雕像下部高x m，则上部高_,得方程_整理得_ x问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为_,宽为_.得方程 _ 整理得_ 问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为_设应邀请x个队参赛,每个队要与其他_个队各赛1场，所以全部比赛共_场。列方程_化简整理得 _ 请口答下面问题： （1）方程中未知数的个数各是多少？_ （2）它们最高次数分别是几次？_方程的共同特点是： 这些方程的两边都是_，只含有_未知数（一元），并且未知数的最高次数是_（二次）的方程.二、归纳1.一元二次方程:_.2. 一元二次方程的一般形式:_一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中ax2是_，_是二次项系数；bx是_, _是一次项系数；_是常数项。注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。二次项系数是一个重要条件，不能漏掉。三、练习1在下列方程中，一元二次方程有_ 3x2+7=0 ax2+bx+c=0 （x-2）（x+5）=x2-1 3x2-=02. 方程2x2=3（x-6）化为一般式后二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）A2，3，-6 B2，-3，18 C2，-3，6 D2，3，63px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ） Ap=1 Bp0 Cp0 Dp为任意实数4方程3x2-3=2x+1的二次项系数为_，一次项为 _，常数项为_5当a_时，关于x的方程a（x2+x）=x2-（x+1）是一元二次方程.6:判断下列方程是否为一元二次方程：7.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项： 5x2-1=4x 4x2=81 4x(x+2)=25 (3x-2)(x+1)=8x-3一般形式：二次项系数：一次项系数：常数项：8.求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程9若关于x的方程（m+3）+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m的值，并计算这个方程的各项系数之和10关于x的方程（m2-m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？第二课时 方程的根 一、例题问题: 一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？分析：设苗圃的宽为xm，则长为_m根据题意，得_ 整理，得_1)下面哪些数是上述方程的根？ 0，1，2，3，4, 5, 6, 7, 8, 9, 102)将x=-12代入上面的方程，x=-12是此方程的根吗？3)虽然上面的方程有两个根（_和_）但是苗圃的宽只有一个答案，即宽为_.二、归纳一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_，即使一元二次方程等号左右两边相等的_的值。因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解三、练习1.下面哪些数是方程x2+x-12=0的根？-4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。2.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？(1) (2) (3) 2. 下列各未知数的值是方程的解（提示：直接代入）的是（ ）A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D. x=-23.已知方程的一个根是1，则m的值是_4.写出一个以为根的一元二次方程，且使一元二次方程的二次项系数为1：_。5.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为_6.若，则_。已知m是方程的一个根，则代数式_。4.把化成一般形式是_,二次项是_一次项系数是_，常数项是_。5.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b0），则=（ ） A1 B-1 C0 D26.方程x（x-1）=2的两根为（ ）Ax1=0，x2=1 Bx1=0，x2=-1 Cx1=1，x2=2 Dx1=-1，x2=27.方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ）Ax1=b，x2=a Bx1=b，x2= Cx1=a，x2= Dx1=a2，x2=b28.如果2是方程x2-c=0的一个根，那么常数c是几？你能得出这个方程的其他根吗？9.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根10. 如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值第三课时 解一元一次方程 -直接开平方法-一、例题1.一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？2.计算：用直接开平方法解下列方程：（1）x2=8 （2）(2x-1)2=5 （3）x2+6x+9=2 （4）3(x-1)2-9=108 二、归纳应用直接开平方法解形如 ，那么可得 达到降次转化之目的三、练习1.用直接开平方法解下列方程：（1）(3x+1)2=7 （2）y2+2y+1=24 （3）9n2-24n+16=11 （4）2x2-8=0 （5）(x+6)2-9=0 （6）x2-4x+4=5 （7）9x2+6x+1=4 （8）x2+2x+1=4 2.选择题1若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ） Ap=4，q=2 Bp=4，q=-2 Cp=-4，q=2 Dp=-4，q=-22方程3x2+9=0的根为（ ） A3 B-3 C3 D无实数根3用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是（ ） A（x-）2=，x= B（x-）2=-，原方程无解 C（x-）2=，x1=+，x2= D（x-）2=1，x1=，x2=-4如果a、b为实数，满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_5解关于x的方程（x+m）2=n6在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？（如用定长制成矩形，则制成正方形时面积最大）-配方法- 一、例题1.填空：（1）x2+6x+_=（x+_）2；（2）x2-x+_=（x-_）2（3）4x2+4x+_=（2x+_）2（4）x2-x+_=（x-_）22.要使一块长方形场地的长比宽多6cm，并且面积为16cm2,场地的长和宽应各是多少？二、归纳：用配方法解一元二次方程的步骤： 三、练习1.用配方法解下列关于x的方程（1）2x2-4x-8=0 （2）x2-4x+2=0 (3)2x2+2=5 （4）x2-8x+1=0 （4）2x2+1=3x （5）3x2-6x+4=0 （6）x2+10x+9=0 （7）3x2+6x-4=0 （8）4x2-6x-3=0 （9）x24x-9=2x-11 （10）x(x+4)=8x+122将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ） A（x-2）2+3 B（x-2）2-3 C（x+2）2+3 D（x+2）2-33已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ） Ax2-8x+（-4）2=31 Bx2-8x+（-4）2=1 Cx2+8x+42=1 Dx2-4x+4=-114如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ） A1 B-1 C1或9 D-1或95、方程x2+4x-5=0的解是_ 6已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长7如果x2-4x+y2+6y+13=0，求（xy）z的值-公式法-一、知识点（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根，当b2-4ac0，方程没有实数根。（2）x=叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有 实数根，也可能有 实根或者 实根。（5）一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式，通常用希腊字表示它，即= b2-4ac二、练习 1.用公式法解下列方程（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=02、利用判别式判定下列方程的根的情况：（1）2x2-3x-=0 （2）16x2-24x+9=0 （3）x2-x+9=0 （4）3x2+10x=2x2+8x3、方程x2-4x+4=0的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C有一个实数根 D没有实数根4用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）Ax= Bx= Cx= Dx=5方程x2+4x+6=0的根是（ ）A.x1=，x2= B.x1=6，x2= C.x1=2，x2= D.x1=x2=-6（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ） A4 B-2 C4或-2 D-4或27若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_8设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根，（1）试推导x1+x2=-，x1x2=；（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值 9、 某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题 （1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程 （2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出 -因式分解法-一、知识准备将下列各题因式分解am+bm+cm= ; a2-b2= ; a22ab+b2= _二、归纳：（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为_ _的形式，再使_，从而实现_ _，这种解法叫做_。（2）如果，那么或，这是因式分解法的根据。三、练习1.用因式分解法解下列方程（1）x2+x=0 （2）x2-2x=0 （3）3x2-6x=-3 （4）4x2-121=0 （5）3x(2x+1)=4x+2 （6）(x-4)2=(5-2x)2（7） （8）3x2-12x=-122、把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径。3方程的根是 _4方程2x（x-2）=3（x-2）的解是_ 5方程（x-1）（x-2）=0的两根为x1、x2，且x1x2，则x1-2x2的值等于_6若（2x+3y）2+4（2x+3y）+4=0，则2x+3y的值为_7已知y=x2-6x+9，当x=_时，y的值为0；当x=_时，y的值等于98方程x（x+1）（x-2）=0的根是（ ） A-1，2 B1，-2 C0，-1，2 D0，1，29若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（ ） A（x+5）（x-7）=0 B（x-5）（x+7）=0 C（x+5）（x+7）=0 D（x-5）（x-7）=010方程（x+4）（x-5）=1的根为（ ） Ax=-4 Bx=5 Cx1=-4，x2=5 D以上结论都不对第四课时 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）一、知识点（1）在中， （2）在中， 二、练习1：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：（1） （2） （3）（4）x2-6x-15=0 （5）3x2+7x-9=0 （6）5x-1=4x22：已知方程的一个根是 -3 ，求另一根及K的值。3.:已知,是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值 4:已知关于x的方程3x2-5x-2=0,且关于y的方程的两根，是x方程的两根的平方,则关于y的方程是_5 若方程(a0)的两根为，则= ，=_6方程 则= ，= _7若方程的一个根2，则它的另一个根为_ p=_ 8已知方程的一个根1，则它的另一根是_ m= _ 9若0和-3是方程的两根，则p+q= _ 10在解方程x2+px+q=0时，甲同学看错了p，解得方程根为x=1与x=-3；乙同学看错了q，解得方程的根为x=4与x=-2，你认为方程中的p=_，q=_。11 两根均为负数的一元二次方程是 （ ）A BC D11若方程的两根中只有一个为0，那么 （ ）A. p=q=0 B. P=0,q0 C .p0,q=0 D .p0, q0）第5课时 实际问题与一元二次方程一、例题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：1、设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_人，第一轮后共有_人患了流感；2、第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_人，第二轮后共有_人患了流感。则：列方程 ， 解得 即平均一个人传染了 个人。再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？归纳：增长率=（实际数-基数）/基数。平均增长率公式： 其中a是增长（或降低）的基础量，x是平均增长（或降低）率，2是增长（或降低）的次数。2：某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？3.如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）分析：封面的长宽之比是2721= ，中央的长方形的长宽之比也应是 ，若设中央的长方形的长和宽分别是9acm和 ，由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是 .想一想，怎样设未知数可以更简单的解决上面的问题？请你试一试。4如图，某小区规划在一个长为40米、宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽度的马路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积都是144，求马路的宽.5用一根长的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为.求此长方形的宽是多少？能围成一个面积为101的长方形吗？如能，说明围法。若设围成一个长方形的面积为（），长方形的宽为 ，求与的函数关系式，并求出当为何值时，的值最大？最大面积为多少？（提示：可用配方法）（难点）6.一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车（1）从刹车到停车用了多少时间?（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）?分析：（1）刚刹车时时速还是 m/s，以后逐渐减少，停车时时速为 m/s因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为_，那么根据：t=，可求出所求的时间（2）很明显，刚要刹车时车速为 m/s，停车车速为 ，车速减少值为 - =20，因为车速减少值20，是在从刹车到停车所用的 （秒）内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可（3）设刹车后汽车滑行到15m的时侯约用时间为秒由于平均每秒减少车速已从上题求出为8（m/s），所以便可求出滑行到15米时的车速为 ，从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度为 。再根据：路程=速度时间，便可求出x的值解:答：7.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?二、练习1生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是（ ）Ax（x+1）=182 Bx（x-1）=182 C2x（x+1）=182 Dx（1-x）=18222一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（ ） A12人 B18人 C9人 D10人3. 一个多边形的对角线有9条，则这个多边形的边数是（ ）.A6 B. 7 C8 D. 94某次会议中，参加的人员每两人握一次手，共握手190次，求参加会议共有多少人？5.某商品原来单价96元，厂家对该商品进行了两次降价，每次降低的百分数相同，现单价为54元，求平均每次降价的百分数？6.一个直角三角形的两条直角边的和是14 cm，面积是24 cm，求两条直角边的长。7.一个菱形两条对角线长的和是1