1 解题目的.doc

1 解题目的我们在解题时，常常只追求或满足于问题的答案，对于推理、计算的严密性，解法的简捷性、合理性却不够重视。至于知识的用法，为何能应用此知识，条件与哪些知识有关，条件有哪些变换形式，条件或条件的变换形式是怎样与目标(结论)联系的，解题的思路是什么？是否有更简捷合理的解题方法等，若不予考虑，这就失去了解题的目的。只有明确了解题的目的，才能更好地提高解决问题的能力。解数学习题的目的是什么呢？解数学习题的目的不单是得出问题的答案，求出答案仅是解数学题本身的目的。应该说，解数学习题本身不是目的，而是一种训练手段，是掌握知识和学会运用知识的必不可少的手段，是进一步学习和解决生产实际问题的训练。正如军事演习一样，演习本身不是目的，而是练兵，目的在于学会作战，增强实战本领，积累实战经验，提高实战能力。解数学习题也是一样，它的目的在于：(1)加强基本功训练，加深对知识的理解与掌握；(2)学会运用知识，增强解决问题的能力；(3)掌握数学思想方法，培养数学创造思维的能力。这就不是通过一题所能完成的任务，而要解很多习题，熟练知识，积累经验，在“用”中悟出道理，拓宽思路，找出窍门，增强解题能力。明确了解题目的，就不会满足于求得的答案了，而要回顾一下为什么这样解，为什么能这样解；应用了哪些知识，知识是怎样应用的，还有哪些知识与题目有联系，这些知识能否将条件和目标沟通起来；推理是否严密，运算是否准确，依据是否充分，题目所涉及的各种情况是否都能概括。在此基础上，继续考虑：能否找到其他解法，能否找到更简捷合理的解法。这就是一题多解和最优解法的问题；还会考虑这个题目的条件不变，是否能够得到其他结论(有的是很好的结论)，或结论不变，是否可换成其他条件，这就是一题多变的问题。还有，将条件一般化，能否得到类似的结论呢？这就是将题目拓宽、推广的问题了。2 解题程序解数学题就是运用已掌握的数学知识，寻求、得出习题的答案。它是一项综合过程，需要一步步地走，不是一下子就进行完的。如果把解题过程理解为从拿到这个题到完全解完这道题，那么解题过程到底分哪些程序呢？一、读题当我们拿到题后，第一件要做的事就是读题，把题目一字不漏地读一遍，弄清题型，是填空题还是选择题，是判断题还是改错题，是详答题还是简答题，是计算题、证明题，还是作图题。还要注意读习题的要求，如选择题中是单项选择还是多项选择，计算题要求的准确度是什么？。总之，题目应一字不漏地读，弄清题型、要求，明白题意。这是解题的第一道程序读题。二、审题一个数学习题，一般是由已知条件和需求目标(结论)两部分组成的。因此读题的直接作用就是要从题目中找出已知条件和需求目标，储入大脑中。这是解题的第二道程序审题。三、分析经过这两道程序，明确了题目的条件和目标，接下来的工作就是展开分析，寻求解法。分析从哪儿开始？要从问题的条件和要达到的目标开始。一般来说，分析包含以下这些内容：(1)根据题目所给的条件与要寻求的结论大致需要哪些知识、概念与数量关系；(2)对题目的条件、结论进行剖析，通过联想、类比与变换，确定应用某种知识、概念与数量关系；(3)综合应用逻辑思维与非逻辑思维的方法，寻求解题思路。这就是解题的第三道程序分析。四、拟定解题计划通过分析，我们找到了解题途径，接着就要考虑怎样实施解题，先做什么，后做什么，再做什么，需要分几步走完，整体上要有个计划。这就是解题的第四道程序拟定解题计划。五、实施解题计划找到了解题方法，拟定了解题计划，接下来就是进行第五道程序实施解题计划。按拟定的计划去进行推理、计算或作图，得出习题的答案，这是解题的成果。到了这一步，解题的成败就取决于推理的严密性，计算、作图的准确性。解题的每一步必须有充分的理论依据，前一步是后一步的依据，后一步是前一步的必然结果，保证每个解题步骤都是严密的、正确的。六、检验得出了答案，工作并不能算完，还应检验你的工作是否有疏忽，是否有遗漏或多余的步骤，答案是否正确，要检查每一步。在实施解题计划时要检验，答案得出后，回过头来还要检验，从多种角度、多种途径上检验，检验每一个细节，确保答案的正确性。这是解题的第六道程序检验。七、解后研究以上程序，是解题最基本的程序，作为解某个习题的任务已经完成。但从解题的目的考虑，还有些工作需要继续下去，这是解题后的工作。与题目有联系的知识你是否都考虑到了，你过去解过的题是否与此题有相似的，是否可以利用？你能否利用不同知识，通过不同途径求得问题的解？通过对习题的再认识，再联想得到不同的解法，通过对比，找到更简捷合理的解题方法。通过多途径、多角度的认识问题，在加深对问题理解的基础上考虑一下，此习题的结论是否可以推广。还要考虑：此习题是否与你过去见过的习题有联系？此题的解法是否给你以启发？在很多情况下，往往通过与会解习题的联想，类比发现规律，给以启发，借用会解习题的结论或解题思路顺利地解出原来不会解的习题，或对原来习题给出更简捷合理的解法。这是解题的第七道程序解后研究。例1 设AD是ABC的一条中线，BC=a，AC=b，AB=c。求证：读题 对照图形(图71)，将题一字不漏地读一遍，明确它是证明题，证明的等式是AD、a、b、c的关系式。审题 对照图形，找出条件：ABC的任意三角形，AD是BC边上的中线，BC=a，AC=b，AB=c。目标是证明BC边上的中线和三条分析 目标的特点非常突出，是中线和三边的平方之间的关系式。哪些知识与边的平方有联系呢？这就想到了勾股定理、射影定理、余弦定理。因为余弦定理中含有角，而本题的条件和目标只有中线和边，所以暂不考虑余弦定理；而射影定理要有直角三角形的高线，较难利用；用勾股定理只需引辅助线AFBC，出现直角三角形就可以了。这是最易想到的。下面的工作就是建立中线和三边之间的关系式。在RtABF和RtADF中，以AF为桥梁，由勾股定理得显然，没有达到目标，目标中的b没有出现，却出现了目标中没有的线段DF，这就使我们想到再建立一个类似的等式，含有b，也含有DF，看能否按方程组中消元的办法消去DF，这样就可建立中线及三边之间的关系式了。我们猜想：这样得出的关系式很可能是所求的目标。在RtACF和RtADF中，同理可得我们要随时注意条件，ABC是任意三角形，这说明AB可以与AC相等，这时ADBC，因此应把这种情况补充进去。拟定解题计划分三步：1)作辅助线AFBC，2)建立关系式(1)、(2)；3)消去DF，整理成目标的形式。实施解题计划 分两种情况：(1)当 ABAC时，不妨设ABAC，作AFBC，交BC于F。在RtABF和RtADF中，由勾股定理得在RtACF和RtADF中，同理可得消去DF，整理得(2)当AB=AC时，ADBC。在RtABD中，AD2=AB2-BD2，即所以不论ABC是什么三角形，结论都正确。检验 因为是证明题，只需保证推理的正确性就行了，从推理的每一步看依据都充分，从讨论上看，未遗漏情况，证明是正确的。解后研究 探讨一题多解和命题演变。在分析中，根据目标等式的特点，我们曾联想到余弦定理，只是用余弦定理会出现目标中没有的角，我们能否与消去DF一样，消去角呢？这就引出了解题的第二条思路。其解法是：在ABC和ADC中，由余弦定理得此法很简捷，不需要引辅助线，也不要分情况讨论，思路更明显直接。命题演变可以从下面两方面考察：1)推广 仔细研究题目的条件和目标的细节，还有两点需注意的：一是AD为中线，说明BDDC=1；二是目标的实质是用三边表示AD。回顾解题细节，还会发现，这两种证法，不仅适用于D为BC的中点，D在BC的其他位置也是可以的。因此，可以把例1中BC边的中点D一般化，可以得到以下的命题：在ABC中，设D是BC边上的一点，且BDDC=mn，BC=a，AC=b，AB=c，求AD2。根据余弦定理有AD2=AB2+BD2-2ABBDcosB 2)联想1由三角形的角平分线定理知角的平分线将对边分成两部分的比是定值，用前面结论可求得角A的平分线AD的长。2平行四边形的对角线互相平分，利用原题结论得平行四边形的边与对角线之间的关系式整理得AC2+BD2=2(AB2+AD2)=AB2+BC2+CD2+DA2。所以，得如下命题：平行四边形对角线的平方和，等于它的四边的平方和。3 解题原则解数学题，就其本身而言，也要有明确的目的性实现题目的要求。始终想着目标。围绕目标，进行变换。要抓住条件，紧扣目标，广泛联想，全面考虑问题，注意思维的广阔性。多角度多侧面的思考问题，若从一个方面看问题思路受阻，就应调整观察分析问题的角度，从另一个侧面思考问题，从不同的方向探索思路。“熟能生巧”，要想解决问题，必须深刻熟练地掌握知识，对知识形成条件反射，看到问题条件和目标，就能联想到与此有关的知识，这是分析问题的基础。解数学题，实质上就是应用数学中的各种思维方法与知识，对问题作出一系列恰当的、巧妙的转换。怎样转换，要由具体问题决定，可变换题目的条件，导出目标；也可变换题目的目标，逆向追溯题设条件；也可同时变换题目的条件和目标，在变换中求得一致，得到解决。在转化方向上，我们总是遵循一些原则，如简单化原则、熟悉化原则、同一化原则、模型化原则、和谐化原则等。自觉地遵循这些原则，能使我们更好地把握解题方向，少走弯路，更快地打开解题思路。一、简单化原则所谓简单，就是把比较复杂的问题，通过变换，变成比较简单的问题，把解决复杂问题归结为解决简单的问题，或通过问题的简单化，获得解决复杂问题的思路。例1 已知af(x2-1)+bf(1-x2)=2x2，且ab，求f(x)。解题思路 设y=x2-1，则条件等式被简化为af(y)+bf(-y)=2y+2。 (1)虽然仍求不出f(x)，但给我们以解题启示。条件的特点明显了，f(y)与f(-y)中的y与-y互为相反数。若将y用-y代替，仍出现f(y)和f(-y)，得af(-y)+bf(y)=-2y+2。 (2)若令u=f(y)，v=f(-y)，则(1)、(2)又可简化为au+bv=2y+2， (3)bu+av=-2y+2。 (4)若求f(x)，只需解转化问题(3)、(4)组成的方程组。解之，得二、熟悉化原则在解题中，我们常常碰到非常陌生的问题，与所学的知识很难联系，无从插手，在这种情况下，我们就要考虑能否将此问题转化成我们所熟悉的、会解的问题，通过熟悉问题的解决，得到原问题的解。例2 设锐角、满足cos2+cos2+cos2=1，求证tgtg解题思路 由已知条件，联想到长方体中的关系式cos2+cos2+cos2=1，尝试转换成长方体问题，来证明原结论。以cos、cos、cos为三条棱的长，作长方体，如图75。令a=cos，b=cos，原三角不等式问题转换成所熟悉的代数不等式问题：若a0，b0，c0，求证这只需应用正数的算术平均值与几何平均值的关系定理就可得证，即三、同一化原则在解题中，常常需要减少不同元素，缩短条件和目标的距离，以此探索解题思路，这就是转换的同一化原则。这种转化，在数学中经常见到。如代数中解线性方程组，要消元，变成一元方程求解；解一元二次方程，要降幂，变成一元一次方程求解；解一元高次方程，可通过因式分解，变成一元一次或一元二次方程求解。在三角中，常常将不同名三角函数，变成同名三角函数，或尽量减少不同名三角函数种数。将不同角，变成相同角，或尽量减少不同角的种数。将高次变低次，尽量为使用三角公式创造条件。总之，在解题中将元素统一，将条件和目标统一，将新问题和会解的旧问题统一，是重要的解题思考方法。例3 证明恒等式sin2+sin2+2sinsincos(+)=sin2(+ )。解题思路 恒等式的右端很简单，而左端较复杂，因此希望从左端推向右端(简单化)。又右端的角为+，而左端的角为、+，要将左端推向右端，就必须将左端的角都变换成+(同一化)。为此，首先降幂化积，得 =1-cos(+)cos(-)。再对2sinsin积化和差，得2sinsin=cos-(-)cos(+)。原式左端=1-cos(+)cos(-)+cos(-)-cos(+)cos(+)=1-cos2(+)=sin2(+)四、模式化原则在数学知识的学习和运用过程中，对知识结构和数学思想逐渐形成数学模式。我们利用已建立的数学模式，不断去认识新事物，解决新问题，反过来又会不断丰富、完善以至改变原有的数学模式。一个人的解题思路是否开阔，在很大程度上取决于这个人建立数学模式的多少和运用数学模式的熟练程度。很多习题，只要仔细观察，认真分析题型结构，或只须稍加变换，便可把它纳入到某个统一的模式，思路明朗化，问题得到解决。例4 设a、b、c是三角形三边，求证解题思路 观察目标的特点，发现不等式左边的三个分式为轮换对式。但实际上此路并不通行。再仔细观察目标的特点。发现三个分母为三角形两边之和与第三边之差，因此想到了如下模式：若O是三角形ABC的内切圆，如图76所示，则a+b-c= (y+z)+(z+x)-(x+y)=2z。同理，b+c-a=2x，c+a-b=2y。又a=y+z，b=x+z，c=x+y，代入目标左端，得再稍作变形，就可得到和有最小值的模型，因此得证。五、和谐化原则在第四章3中我们介绍了数学美的重要特征之一就是和谐，数学中的和谐美表现在定义、定理、性质、法则，以及数、式、形之间。如二项式定理式的结构表现出明显的和谐美，秩序的和谐，对称的和谐，数值的和谐。数看，a与b的指数和都等于n，这是指数的和谐美。单看a、b的幂的排列：an，an-1，an-2，a2，a1，a0及b0，b1，b2，bn-2，bn-1，bn，a为升幂排列，b为降幂排列，这又是一种秩序美。数学具有和谐美的特征，美与真在数学命题和数学解题中常常是统一的，因此，我们在数学解题中，可以根据数、式、形的和谐美，去思考问题，猜测问题，帮助我们打开解题思路，指明解题方向。例5 在自然数集合上定义函数f(n)，设f(1)=1，f(k+1)=f(k)+k，(kN)，求f(n)的解析式。思路分析 此题实际上是递推数列问题，从递推式的结构看，存在着内部的和谐美：从数列的第二项起，每一项都等于它的前一项加上前一项的项数。因此，我们想到了如下的递推方法：f(1)=1，f(2)=1+1，f(3)=1+1+2，f(4)=1+1+2+3，从递推中，发现了各项数字排列的和谐美。根据这种和谐美，可以猜想，对任意自然数n，都有f(n)=1+1+2+3+(n-1)。求和化简，得这仅仅是一种猜测，还需要用数学归纳法证明当n=1时，f(1)=1，猜测正确。时，猜测也正确。按表达式结构的和谐性，应该有我们可以展开看一看，是否有f(k+1)=f(k)+k。这同样可以根据其和谐美写出比较(1)、(2)的右端看是否相等，即可得证。4 解题思路明确了解题目的，就不会满足于问题的解答，而要考虑为什么能这样解，解题方法是怎样想到的。这就是解题的思路，它是解题的关键。怎样寻找解题的思路？从哪儿开始？要从问题的已知条件和需求目标开始，时时想着条件和目标，要考虑：哪些知识和条件有联系？哪些知识和目标有联系？哪些知识能将条件和目标联系起来？要揣磨所给条件的目的，想一想给出的条件想叫你知道什么？如果从原有条件不能直接得出目标，就应考虑：条件有哪些变形，能产生哪些派生条件，目标又有哪些变形，通过这些变形能否将条件和目标联系起来？有时还需要考虑：你会解的题里是否有与此题类似的，或有类似的部分，能否使用那种方法或利用那题的结论？还要考虑：除了问题给出的明显条件外，是否有隐含条件，这些隐含条件与明显条件的组合能否与目标发生联系？有时需要靠实验，观察规律，归纳结论；有时需要根据规律、特点，猜测结论；有的问题，需要分情况讨论；有的问题需要从特殊情况寻求规律或寻求结论，再扩展到一般；也有的需要先考虑一般，特殊也就迎刃而解了。在很多情况下，若将条件和目标列成图表，能清晰地看出条件和目标的联系；也有的需要通过图象直接显出条件和目标的关系；。这些都是寻求思路的方法。因为对整个数学习题来说，解题方法是千变万化的，所以解题的思考方法、思考路线也是不一样的。就是对某一数学习题来说，由于解法不一，得到解题方法的思考路线也不相同。这就要求我们在解题时，要思路开阔，广泛联想，寻求简捷解法。下面举例对几种寻求解题思路的方法作一说明。一、类比导路数学知识之间存在着各种不同的关系，因此作为应用知识解决的数学习题之间，也必然存在着这样或那样的联系。我们在解题时，常常抓住这些联系，通过类比，探求问题的解题思路。一般地，把需要求解的问题与以前已经解决的问题进行比较，看看条件和目标有哪些相同、相似、接近的地方，通过联想，使解决旧问题的方法重现，在解决旧问题方法的启发下，打开新问题的解题思路，这就是类比。它是数学解题的一种思想方法，是打开解题思路的一种重要策略。在数学中有各种不同形式的类比。例如数的因数分解可与式的分解因式进行类比。平面的三角形可与空间的四面体进行类比。也可与棱锥作类比。平行四边形可与棱柱进行类比。当我们考察极限和极限过程可把有限与无限进行类比。这样一来，无穷级数和积分往往同有限进行类比；微分法类似于有限差分法；线性齐次微分方程与代数方程有点类似，等等。受同一规律支配的各种关系，它们之间也存在着类比关系。例如，加法和乘法是类似的，因两者依同样规律进行运算，交换律和结合律都成立，都存在着逆运算，加法中的0与乘法中的1类似。实数的相加与正数的相乘还存在着另一种意义上的相似，任意实数r是某一正数M的对数：r=logM，根据这一对应关系，实数相加相应于正实数相乘。数学上的同构与同态都是一种意义完全明确的类比。我们在解题过程中，能够抓住这些类比关系，就可能较快地得到解题思路。二、特殊化导路对于解一般的问题，一时难以入手，可先解决它的特殊情况，再把解决特殊情况的思路，方法或者结果推广和应用到一般问题上，从而使待求的问题得到解决。例如，探求几何定值问题，一般的思路是首先将图形处于特殊位置来寻找定值，将定值求出来，然后再在一般位置上证明该定值就是所求。数论中的一些数的规律，往往是通过特殊的观察、归纳，猜想出一般的结果，然后再进行理论证明。有些数学命题是先解决它的特殊情况，然后由这些特殊情况的极限而达到一般情况的解决。例如，复变函数中的柯西定理解析函数沿任何闭曲线的积分为零，是先取特殊的三角形曲线进行证明，然后通过三角形，组合成多边形，从而推广到多边形的曲线，最后通过多边形的曲线的极限推广到任意闭曲线，这就完成定理的证明。有的问题从特殊情况入手，把特殊情况所得的结论经过线性组合就是一般问题。例如，的一些特殊的有理分式之和，其中(x+a)，x2+px+q，为Q(x)的因子，而对于这些特殊的有理分式我们已经会求它的不定积分，从而一般有理真分式的不定积分就是这些特殊的有理分式不定积分的代数之和。三、一般化导路当我们从考虑一个对象或较少对象的集合过渡到考虑包含已给定对象集合的更大集合，这就是一般化。例如，我们从一元函数进而考虑到多元函数，从锐角三角函数进而考虑到任意三角函数，这都属于一般化。有些问题。从一般化入手较方便。大数学家希尔伯特说：“在解决一个数学问题时，如果我们没有获得成功，原因常常在于我们没有认识到更一般的观点，即眼下要解决的问题不过是一连串有关问题中的一个环节”。采取这样的观点之后，不仅我们所研究的问题会容易得到解决，如果我们利用定积分的定义来计算这个定积分值，那是没有多大困难，但对于稍微复杂的连续函数f(x)，那就困难了，甚至求不出来。对于应该有其中C为任意常数。然后将上式特殊化，就得到牛顿莱布尼茨微积分基本公式这样一来，不但能解决关于某一个特殊函数f(x)的定积分问题，而且这是解决连续函数求定积分的一个普遍方法。有些问题从一般化入手，需要作点恒等变形，例如，求证将等式右边写成2n=(1+1)n，然后利用x代替其中的一个1，考虑(1x)n。由牛顿二项式定理知特别，令x=1，这样就证明我们所要证的等式。四、模型法导路解数学题有时直接去解，难以凑效，而构造它的模型，却较易解决。通过模型问题的解决，原问题也就得到了答案。如何构造模型？这要抓住问题的特点，看与哪些数学知识、典型习题能挂钩，找到问题(原型)与模型之间的相似之处，构造出恰当的模型。属于同一领域的问题可能构造出不同的模型。不同领域的问题也可构造出同一模型求解，要具体问题具体分析。下面我们举几个例子加以说明。例1 已知a2b2c2=1，x2y2z2=1，求证axbycz1。axbycz1。例2 设x，yR，求证这一不等式如果按着一般证明不等式的方法难以解决，如果注意到为此得到如下证法。证法1 设z1=x-8(y-3)i，z2=x-2(y5)i。|z1|+|z2|z1-z2|=|-6-8i|=109，即不等式成立。不等式的左边与椭圆的左边相似，因此还可以通过构造椭圆来解决问题。这是一椭圆方程，因此有在椭圆中，2c2a，故2a9，于是问题得证。例3 任给7个实数，求证：其中至少有两个数(记作x、y)满足解题中如果只着眼于7个实数，那么会感到难以入手，使思路受阻，的相似性，就可以通过建立三角模型来解决这一问题。证明 设已给定的7个数为i=tgi，i=1，2，7，且i显然1，2，7这7个角至少有两个角在同一区间内，不妨设所以例4 设ai(i=1，2，n)为任意实数，求证这一不等式有多种证法，我们采用模型法。由于所求的不等式与随机变量概率质量函数的数学期望公式类似，故可采取构造概率模型法解题。证明 构造一个离散型随机变量，它的概率质量函数为由于D=E2-(E)2及D0，知(E)2E2。再利用随机变量函数的期望公式就得到将上式化简，即得到所证的不等式。通过上述几个例子可以看出，同是不等式的证明问题，可以构造出向量、复数、三角、解析几何、概率论等不同的模型，对于这些模型的解决，原来求证不等式的问题也就随之得到解决。因此，对于同类问题究竟怎样去构造模型，构造什么样的模型有很大的灵活性。所以要求解题者必须要有敏锐的观察力和丰富的想象力，从而巧妙地构造出易于解决的模型出来。上面我们通过构造向量模型解决了不等式的证明问题。平面几何问题，等式问题，求函数极值问题也都可以通过构造向量模型予以解决。由此可知，模型法导路这是一个广泛的思考问题的方法。五、直观化导路在解题中，借助于几何图形，列表等直观形象的东西，可以打开解题思路，找到解题途径。1926年，德国数学家范德瓦尔登重新提出了荷兰数学家的一个猜测：如果把整数数列，1，2，3，分入两类，那么至少一类含有任意长的算术级数。这是一个数论问题。当他与另外两位数学家试着去证明这一猜想时，他说：“我们在黑板上画了几个图，这时候，我们有了德国人所说的“Einfalle”，也就是说突然闪入脑中的想法。这类新思想曾多次给讨论以新转折，而其中一个想法则是最终导致了问题的解决。”并且说：“所有在我脑中形成的想法都马上讲出来，并且用在黑板上画个小图的办法加以解释。我们用两条平行线上划的直杠杠来代表分为两类的整数1，2，3，。无论如何，说明白与画出来总比仅仅去思考要容易记住和重述。”这就清楚地说明了，几何可以启发引导出新的想法，从而为证明猜想开辟出新的蹊径。要使新的想法得以实现、完善，也需要几何直观帮助记忆，以便最有效地获得严格的证明步骤。当一个问题需要用数学方法解决时，有时用几何方法能够最快最有效地予以解决，这也是几何直观的作用。例如，从天才的物理学家麦克斯韦用数学方法描述物理学问题所表现出来的想象力和洞察力来看，几何形象化是他有力工具之一。一天，在一次讲演中，讲演人正用繁杂的分析方法解决一个立体问题时，麦克斯韦问道：“难道不能用几何方法更快地解决这个问题吗？”接着挥手在黑板上画了几条线，阐明了解法。例5 选择题：对任何实数x，f(x)取x、2x-1、7-x三者中的最小值，那么f(x)的最大值是()(A)1；(B) 4；(C) 3.5；(D)不存在。解题思路 函数y=f(x)很抽象，直接求解难以入手，因此想借助图象。作出y=x，y=2x-1，y=7-x的图象后，就可得到y=f(x)的图象，粗曲线即为y=f(x)的图象。这就将原问题转换成了求曲线yf(x)的最高点的纵坐标问题了。从图象上很直观地看出，直线y=x与y=7-x的交点m的纵坐标就是y=f(x)的最大值，即原问题的解。所以只须六、逆向化导路所谓逆向化导路，就是逆向思维原则。逆向思维原则在第四章4中已作详细介绍。有些数学题，按习惯的思维方法思考很难解决的问题，我们就按相反的方向去考虑问题，顺推不行就逆推，直接不行就间接，各种思路都不通时，就怀疑命题的正确性，探讨其不可能性。逆向思维常给我们以更简捷、合理的解法，特别当我们对某个问题久思不得其解时，逆向思维往往使人顿开茅塞。在数学证题中，象分析法、反证法、同一法等数学方法都可以看成是逆向思维的，很多正向思维难以解决的问题，利用这些方法，给出了简明、巧妙的解答。例6 若三个方程x24kx-4k+30， (1)x2(k-1)xk20， (2)x2+2kx-2k=0， (3)至少有一个方程有实数解，试求k的范围。思路分析 分别用1、2、3表示方程(1)、(2)、(3)的判别式。若正向思维求解，k值应满足下列不等式组之一：这样求解既麻烦，计算又易出错，解法不可取。若逆向思维求解，就比较简捷、合理。三个方程中至少有一个方程有实数解的反面是三个方程全无实数解，即个方程全无实数解的反面又是三个方程中至少有一个方程有实数解，因1 数学概念的普遍联系“数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正在于各个部分之间的联系。尽管数学知识千差万别，我们仍然清楚地意识到：在作为整体的数学中，使用着相同的逻辑工具，存在着概念的亲缘关系。”数学概念间的亲缘关系，表现为数学概念的普遍联系，而数学概念的普遍联系，又往往通过数学概念的各种各样的关系反映出来，例如，数学概念的包含关系、生成关系、合成关系、对应关系、对偶关系等等。数学概念之间的这些关系，使数学成为一个有机整体，使数学内容充满了辩证法。一、数学概念的包含关系数学概念的包含关系，表现为某个数学分支内部一个概念包含另一个概念，即这个概念是另一个概念的一般化，或此概念是彼概念的特殊情形。如在初等几何中，等腰直角三角形是等腰三角形的特殊情形，而三角形的概念则是许多特殊三角形的一般化，包含着直角、锐角、钝角三角形等概念。数学概念的包含关系也表现为两个数学分支之间的概念有着包含关系。比如拓扑学中的有些概念就包含了高等几何中的一些概念。同一数学分支内部，概念之间的包含关系是到处可见的。以几何学为例，几何学无非是从少数几个公理和基本概念导出的公理系统。无论是欧氏几何还是非欧氏几何，其出发点都是几个公理和我们最初赋以定义的最简单的概念。在平面几何中，三角形、四边形、圆等都离不开点、线、面这些最基本的概念。我们把与某定点等距离的轨迹称作圆，其中就包含了点、距离等基本概念。或者更干脆些，点便是半径为零时的圆。在下定义的时候，一个概念是由另一个概念(更基本的)来定义的，这种包含关系是显而易见的。如数学分析中的微分、连续等概念，都是从极限概念出发，我们很容易便能看到极限概念被包含在那些概念之中，并从中认识到极限概念对数学分析这门学科的重要性。还有一些概念，我们从其定义的比较中也可以看出包含关系的存在。如平面上的几种几何变换，通过比较其定义，便也比较容易发现如下关系：扑变换。我们通过概念的比较，对更进一步发掘几种几何的关系是有帮助的。可以说，对几种几何变换作横向比较所发现的“纵”的关系，是认识几何学内在联系的突破口。可见，概念之间的包含关系，往往是学科分支相互联系的透视窗口。概念之间的包含关系都是很容易被发现的吗？不是的。有许多概念紧密相关，但如果不选好比较和观察的视角，是不容易发现其内部的联系的。例如我们很容易就会知道正方形、矩形、平行四边形以及梯形之间的逐一被包含的关系，也不难看出，正方体和长方体，柱体、锥体与台体之间的关系，但是，数学中有相当多的概念，需要进行更深入的比较才能发现其包含关系。如近世代数中的Abel群概念和环概念之间就是包含关系，前者包含在后者之中，但是如果不是对其概念有正确的、深入的理解，只从表面上并不一定就能发现这种关系。因为许多情况下，环概念的定义途径并不是唯一的。由以上可以看出，同一学科内部，概念之间有的存在着包含关系。那么，两个分支的概念是否也存在着包含关系呢？现代数学的发展肯定了这一事实。模糊集合论是本世纪60年代中期刚刚诞生的一门崭新的数学分支，它的许多概念与经典集合论的概念有着极为密切的联系。以模糊集合论中的隶属函数和经典集合论中的特征函数为例。隶属函数是模糊集合论中最基本的概念，它规定，给定论域U，U到0，1)闭区间的任一映射A：U0，1，uA(u)，函数，即一个元素隶属于集合的程度用0，1闭区间的值表示。而特征函数刻划的是元素要么属于集合，要么不属于某集合的情形，只用0和1来表示，即我们不难看出，特征函数是隶属函数的特殊情形，当隶属函数只取0或1时，它便是特征函数了。我们由此出发，还能考察出，模糊集合论从概念上说是经典集合论的推广，因此，对两门分支的概念进行比较研究，会更清晰地看到数学各分支间的有机联系。当然，不同分支概念之间的包含关系，则往往更需要选择适当的角度和线索去研究，象隶属函数和特征函数之间的包含关系是比较明显的，还会有相当多的密切相关的概念需要我们从更深的层次和关系中去挖掘。二、数学概念之间的对应关系两个数学概念之间的关系称为是对应关系，如果相应的集合X和Y是由X到Y的对应，即对于直积集XY的子集G，T=(G，X，Y)称为由X到Y的对应，而数学概念A由集合X所确立，数学概念B由集合Y所确立，这时数学概念A与B之间的关系就是一种对应关系。数学概念之间的对应关系可分为单值对应关系和非单值对应关系，当T为单值对应时，那么相应的数学概念之间的关系就是单值对应关系，否则为非单值对应关系。数学概念单值对应关系可以列举出许多例子。例如，点、复数、向量就是一种单值对应关系。因为任意一复数abi都是由一组实数对(a，b)所唯一确定的，反之亦然。任一组实数(a，b)在平面上又唯一确定一点。而平面上的点则又一一对应于起点位于原点的向量。正是由于这种特殊的单值对应关系一一对应关系，就可以依据向量的加法来定义复数的加法，复数的乘法就相当于如下的向量运算：所得出的新向量的长度(模)等于原来两个向量的长度之积，它与x轴的正方向所成的夹角(幅角)则等于原来两个向量的幅角之和。这样一来，就给出了复数的加法与乘法以形象化的几何解释，从而复数的地位在数学中也就得到了相应的确立。在解析几何中，通过坐标系，将平面点集与二元实数组的集合之间建立起对应。由于平面点集是一种几何结构，实数集则是一种代数结构，从而使几何问题转化为代数问题。这样一来，使一些难以解决的几何问题归结为容易解决的代数问题。历史上一些长期得不到解决的几何问题，借助于代数方程，得到了答案，如用尺规作图三等分任意角问题，作二倍立方体问题等，被证明是尺规作图不可能的问题了。反过来，代数借用几何的术语，与几何进行类比，得以迅速的发展。例如线性代数借用几何中的空间、线性等概念，获得了强大的生命力。这种单值对应关系潜藏于不同学科之间，从而沟通不同学科之间的联系。例如，主点对、连续点集合分类和过一点引已知直线的平行线的条数，几何学分类存在着对应关系，从而使连续点集合与几何学产生了联系。在连续点集合中，主点对把连续点集合分成以下三类：第一类，根本没有这样的主点对的连续点集合；第二类，有一组且仅有一组这样的主点对的连续点集合；第三类，有无限多组这样的主点对的连续点集合。这时，不存在只有2组、3组主点对的连续点集合，原因是若有2组或2组以上的主点对集合，必有无穷多主点对。无独有偶，一个与此全无关系的几何学却与此有着惊人的相似。按过一点能引已知的直线的平行线的条数，可把几何学分成三类：第一类，过一点引与已知直线平行的直线，一条也不能引出的几何，即黎曼几何学；第二类，过一点能引且，只能引一条与已知直线平行的直线的几何，即欧氏几何；第三类，过一点，能引无限多条与已知直线平行的直线的几何，即罗巴切夫斯基几何学。这时，不存在仅能引2条或2条以上平行线的几何学，原因同样是若有2条，3条平行线，必有无限多条平行线。这种对应是完全同一的对应。它使我们相信，不仅表面上毫无关联的概念可能有着极为密切的关系，而且，似乎是完全无关的性质、法则之间，也可能潜藏着内在的同一。有人说这种同一正是数学的一种神秘美。单值对应关系就是映射关系。映射关系除了上面所述的意义以外，还可有一种概念映射的含义，从具体到抽象是顺向概念映射，从抽象返回具体是逆向映射。概念映射法是不能脱离开抽象思维过程的。数学中的抽象过程有弱抽象与强抽象。弱抽象是从原型中选取某一特征加以抽象，从而获得比原结构更广的结构，使原结构成为后者的特例。例如，欧氏空间、内积空间、距离空间之间的关系，从概念外延的逻辑包含关系看，有从抽象过程来看，后者与前者的关系是一种弱抽象。强抽象是通过引入新特征强化原结构来完成的抽象。例如函数、连续函数，从概念外延的逻辑包含看，有从抽象过程来看，后者与前者的关系是一种强抽象。数学概念之间的关系，从抽象的过程来看，除了有强抽象和弱抽象之外，还可以有各种意义下的抽象，我们称为广义抽象。数学概念之间的联系还体现在合成关系、对偶关系等其它方面。如任何相似变换都可由位似变换和合同变换来完成，任何合同变换都可由不多于三次的轴对称变换来合成等等，这种合成关系从一个角度反映了几何变换之间的联系。数学中还有一些成对的概念，象析取和合取、真与假等等，虽然它们的意义不同，但有些性质却是相对应的，表现出对称性的对偶关系。合取和析取就具有完全相同的交换、结合、分配等等规律，对偶原理对它们完全适用。三、研究数学概念普遍联系的意义我们致力于数学概念之间的种种联系，并不是做无聊的概念游戏。辩证性质不是由人主观地注入数学的，而是数学自身所存在的。对数学辩证内容的阐发，并不囿于数学概念之间的普遍联系的理解，更重要的是通过这种考察增加我们对数学内在和谐的感受性，而对数学的和谐美的感受性，又往往决定着一个人的数学创造和数学发现的能力。因而，我们可以说，探索数学概念的普遍联系，旨在数学的发现和数学的创造，从而加快数学前进的步伐。明了数学概念之间的包含关系，可以培养我们善于将一个概念推广的研究精神，即善于将概念一般化。这种一般化的活动，也常常帮助我们自觉地将数学定理、法则一般化，推进数学的研究。特别地，一般化也能构成更高一层的学科。比如，我们得到三角形的内角和为直角的2倍，凸四边形的内角和为直角的4倍，凸五边形的内角和为直角的6倍，那么，我们自然地会得到一般的情形，凸n边形的内角和为直角的(2n-4)倍。这种一般化的推广过程无疑对数学的进步是有益的。再如，在微分几何中，对y=f(x)或F(x，y)=0所表示的任意曲线在点(x，y)处的切线是抛物线y2=4px上的点(x，y)处的切线方程，是切线方程的一般化形式。(1)式还含了三角函数、指数函数曲线的切线。因而，在这个意义上，微分几何是比初等解析几何更高一层的学科。类似地，进行一般化的推广活动，关于曲线的其它性质，我们也能得到更一般的形式。数学概念之间的对应关系常常有助于我们对新概念的理解，并引导我们给出新的概念。比如在抽象代数中，当了解了群与环的概念，掌握了子群、群同态的概念以后，有着对应关系的思考的人便很快会给出子环与环面态的概念。对应关系的思考就成了一种思维模式，在定理、公式等其它方面也能发挥作用。无论是包含关系，还是对应关系，或是其它关系，都体现了数学的内在联系，这种联系又体现了数学中的和谐、有序和神秘的美，而能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于这种人。三、特殊与一般特殊与一般，是数学研究中经常遇到的一对矛盾。它们既是对立的又在一定的条件下，可以互相转化。特殊与一般是比较而言的。例如，其边为3、4、5的特定直角三角形，有关系式3242=52，对于其边为 a，b，c的直角三角形，有关系式a2b2=c2，这是直角三角形的一个普遍规律，它相对于3242=52，具有一般性。在一般三角形中，有关系式c2=a2b2-2abcosC，而勾股定理就是当 C=90时的特殊情况，此时a2b2=c2表现为特殊。如果再拿三角形与多边形相比，三角形表现为特殊，多边形表现为一般。一次方程与高次方程相比，一次方程表现为特殊，高次方程表现为一般。一元函数与多元函数相比，一元函数表现特殊，多元函数表现为一般。一重积分与多重积分相比，一重积分表现为特殊，多重积分表现为一般。二阶行列式与n阶行列式相比，二阶行列式表现为特殊，n阶行列表现为一般。一维空间与n维空间相比，一维空间表现为特殊，n维空间表现为一般。上面的例子，视作是特殊，还是一般，要看某一个量是限定的，还是不限定的，是常量，还是变量而定。除此之外，还有其他情况。就运动结果来看，同一个数学现象可以视作不同数学对象的特殊情况。例如，一个点可以视作线段当它的长度变为零时的特殊情况，也可看作圆当它的半径变为零时的特殊情况。同样，一个数学对象也可看作不同数学对象的一般情况。例如，其半径为零的“点圆”和半径变为无穷大的“直线圆”，都可以视作圆的极端情况。这时，圆就可包括点、直线了。随着数学科学的发展，数学的特殊与与一般也在变换自己的位置，此时此地为特殊，彼时彼地就变成一般了。由特殊到一般，由一般到特殊，这是人类认识事物的两个基本认识过程。“就人类认识运动的秩序说来，总是由认识个别的和特殊的事物，逐步地扩大到认识一般的事物。人们总是首先认识了许多不同事物的本质，然后才有可能更进一步地进行概括工作，认识诸种事物共同的本质。”学科学的发展同样也遵循着这样一个认识过程。在数学和自然科学中，许多结果都经过了一个由特殊到一般的发现过程。1 归纳与推理归纳推理是通过各种手段(观察、实验、分析、比较等)对许多个别事物的经验认识的基础上，逻辑推导出各现象之间的因果关系，并逐步过渡到普遍化的一般法则的推理方法。归纳推理可按照它考查的对象是否完全而分为完全归纳法和不完全归纳法。一、完全归纳法完全归纳法是根据某类事物的全体对象的属性进行概括的推理方法。在数学中它可分为穷举归纳法与类分法两种。1穷举归纳法穷举归纳法是数学中常用的一种完全归纳法。它是对具有有限个对象的某类事物进行研究时，把它所有的对象的属性分别讨论，当肯定了它们都有某一属性(作出特称判断)，从而得到这类事物都有这一属性的一般结论(全称判断)的归纳推理。如被考察的全部对象是S=Si|i=1，2，n，考察内容是判定S是否有性质P。用通常的符号可表示为S1PS2PSnPSP在数学中所考察的对象大多数是无穷多的，穷举这种方法很多情况下不适用。然而，对于有些无限多的对象，如果可将其分为有限的几个类来分别研究，这就是类分法。2类分法所谓分类，用集合语言可定义如下：2，n)为该分类下的一个类。在中学数学里有许多需要用到完全归纳法证明的问题。在证明时，先对研究的对象按前提中可能存在的一切情况作如上所述的分类，再按类分别进行证明。如每类均得证，则全称判断(结论)就得到了，此即为类分法。如正弦定理中边与对角正弦的比等于外接圆直径的性质，其证明就是分锐角、直角、钝角三类情况进行的。以下举几例说明完全归纳法的应用。 交直线PQ于C、D两点，求证：A、B、C、D四点共圆。证明 当A、B(或其中之一)与P、Q重合，或者两射线重合，此时四点共圆不证自明。当A、B不重合，也不与P、Q重合，这时要考虑以下三种情况：A， 所以四点共圆。共圆。(3)A、B位于直线PQ的异侧。由图33知C、D在圆内外各一。因为所以四点共圆。从例1我们可以看到，欲证命题“S是P”成立，一时难以找到证明或无法找到适合全体S的方法，则可将S适当分类，则化难为易。从分类的定义可以得分类的基本原则是无遗漏与任两类互斥，还要注意到分类要用同一标准。例2 将自然数分类。用2作除数，将余1者分为1类，余0者为另一类。前一类(奇数)