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图形的相似 易错题一解答题（共25小题）1ABC中，A=90，点D在线段BC上（端点B除外），EDB=C，BEDE于点E，DE与AB相交于点F，过F作FMAC交BD于M（1）当AB=AC时（如图1），求证：FM=MD；FD=2BE；（2）当AB=kAC时（k0，如图2），用含k的式子表示线段FD与BE之间的数量关系，并说明理由2如图，在ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时QBP与ABC相似？3晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MNNQ，ACNQ，BENQ请你根据以上信息，求出小军身高BE的长（结果精确到0.01米）4如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，连接BP并延长交AD于点F，交CD延长线于点G（1）求证：PB=PD（2）若DF：FA=1：2请写出线段PF与线段PD之间满足的数量关系，并说明理由；当DGP是等腰三角形时，求tanDAB的值5已知：如图，E是矩形ABCD的边CD上一点，BFAE于F试证明：ABAD=AEBF6如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，A=C=90，BDBE，AD=BC（1）求证：AC=AD+CE； （2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQDP，交直线BE于点Q若点P与A、B两点不重合，求的值7已知=k，求k的值8如图，已知ABCD的对角线交于O点，M为OD的中点，过M的直线分别交AD于CD于P、Q，与BA、BC的延长线于E、F（1）如图1，若EFAC，求证：PE+QF=2PQ；（2）如图2，若EF与AC不平行，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，加以证明；不成立，请说明理由9如图，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在射线DE上，并且EF=AC（1）求证：AF=CE；（2）当B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论；（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？10已知，把RtABC和RtDEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，ACB=EDF=90，DEF=45，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB向ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动，AC与DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，DEF同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）解答下列问题：（1）DEF在平移的过程中，当点D在RtABC的边AC上时，求t的值；（2）在移动过程中，是否存在APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由（3）在移动过程中，当0t5时，连接PE，是否存在PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由11已知：ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）（1）画出ABC向下平移4个单位得到的A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；（2）以点B为位似中心，在网格中画出A2BC2，使A2BC2与ABC位似，且位似比为2：1，并直接写出C2点的坐标及A2BC2的面积12已知，（1）求的值； （2）若，求x值13如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值14如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1l2l3，已知EF：DF=5：8，AC=24（1）求AB的长；（2）当AD=4，BE=1时，求CF的长15点D为RtABC的斜边AB上一点，点E在AC上，连接DE，CD，且ADE=BCD，CFCD交DE的延长线于点F，连接AF（1）如图1，若AC=BC，求证：AFAB；（2）如图2，若ACBC，当点D在AB上运动时，求证：AFAB16如图，在ABC中，BCAC，点D在BC上，且DC=AC，ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF（1）求证：2EF=BD，（2）四边形BDFE的面积为6，求ABD的面积17已知：RtOAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把RtOAB分割成两部分在图上画出所有线段PC，使分割得到的三角形与RtOAB相似，并直接写出点C的坐标18如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（2，4），B（4，0）（1）以原点O为位似中心，把线段AB缩小为原来的；（2）若（1）中画出的线段为AB，请写出线段AB两个端点A、B的坐标；（3）若线段AB上任意一点M的坐标为（a，b），请写出缩小后的线段AB上对应点M的坐标19如图，已知直线l的函数表达式为y=x+8，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位的速度向O点移动，设点Q、P移动时间为t秒（1）求点A、B的坐标（2）当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似？（3）求出（2）中当以点A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似时，线段PQ的长度20已知x=，求x的值21如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m4），点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合），连接PD，过点P作PQPD，交直线BC于点Q（1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；（2）连接AC，若PQAC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）；（3）若PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围22在ABC中，ACB=90，AC=4，BC=3，D是边AC上一动点（不与端点A、C重合），过动点D的直线l与射线AB相交于点E，与射线BC相交于点F，（1）设CD=1，点E在边AB上，ADE与ABC相似，求此时BE的长度（2）如果点E在边AB上，以点E、B、F为顶点的三角形与以点E、A、D为顶点的三角形相似，设CD=x，BF=y，求y与x之间的函数解析式并写出函数的定义域（3）设CD=1，以点E、B、F为顶点的三角形与以点E、A、D为顶点的三角形相似，求SEBF：SEAD的值23如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=BC=6，AD=3点M为边BC的中点，以M为顶点作EMF=B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF（1）求证：MEFBEM；（2）若BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EFCD，求BE的长24如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设B2D1C1的面积为S1，B3D2C2的面积为S2，Bn+1DnCn的面积为Sn，通过计算S1，S2，的值，归纳出Sn的表达式（用含n的式子表示）25如图，在ABC中，E为高AD上的动点，F是点D关于点E的对称点（点F在高AD上，且不与A、D重合）过点F作BC的平行线与AB交于P，与AC交于Q，连接PE并延长交直线BC于点N，连接QE并延长交直线BC于点M，连接PM、QN（1）试判断四边形PMNQ的形状，并说明理由；（2）若要使四边形PMNQ是一个矩形，则ABC还应满足什么条件？请说明理由；（3）若BC=10，AD=6，则当点E在何处时，四边形PMNQ的面积与APQ的面积相等？2017年11月04日数学1的初中数学组卷一解答题（共25小题）1ABC中，A=90，点D在线段BC上（端点B除外），EDB=C，BEDE于点E，DE与AB相交于点F，过F作FMAC交BD于M（1）当AB=AC时（如图1），求证：FM=MD；FD=2BE；（2）当AB=kAC时（k0，如图2），用含k的式子表示线段FD与BE之间的数量关系，并说明理由【分析】（1）利用等腰直角三角形得出结合平行线的性质得出DMF=MFD，进而得出答案；根据题意证明BEFDEB，然后利用相似三角形的性质，得到BE与FD的数量关系；（2）首先证明GBNFDN，利用三角形相似的性质得到BE与FD的数量关系【解答】（1）证明：如图1，AB=AC，A=90 ABC=C=45EDB=C EDB=22.5 FMAC， FMB=45，MFD=22.5， DMF=MFD，MF=MD；在BEF和DEB中 E=E=90 EBF=EDB=22.5BEFDEB如图1：作BG平分ABC，交DE于G点，BG=GD，BEG是等腰直角三角形设EF=x，BE=y，则：BG=GD=y， FD=y+yx，BEFDEB=，得：x=（1）y，FD=2BE；（2）解：过点D作DGAC，交BE的延长线于点G，与BA交于点N，DGAC，GDB=C，EDB=C，EDB=GDE，BEDE，BED=DEG，在DEG和DEB中，DEGDEB（ASA），BE=GB，BND=GNB=90，EBF=NDF，GBNFDN，=，即=，又DGAC，BNDBAC，=，即=k，=，FD=BE【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，（1）利用等腰直角三角形的性质进行判定和计算（2）结合图形利用三角函数和相似三角形进行计算求出线段间的关系2如图，在ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时QBP与ABC相似？【分析】设经过t秒时，以QBC与ABC相似，则AP=2t，BP=82t，BQ=4t，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：=时，BPQBAC，即=；当=时，BPQBCA，即=，然后方程解方程即可【解答】解：设经过t秒时，以QBC与ABC相似，则AP=2t，BP=82t，BQ=4t，PBQ=ABC，当=时，BPQBAC，即=，解得t=2（s）；当=时，BPQBCA，即=，解得t=0.8（s）；即经过2秒或0.8秒时，QBC与ABC相似【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键3晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MNNQ，ACNQ，BENQ请你根据以上信息，求出小军身高BE的长（结果精确到0.01米）【】先证明CADMND，利用相似三角形的性质求得MN=9.6，再证明EFBMFN，即可解答【解答】解：由题意得：CAD=MND=90，CDA=MDN，CADMND，MN=9.6，又EBF=MNF=90，EFB=MFN，EFBMFN， EB1.75，小军身高约为1.75米【点评】本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是相似三角形的判定4如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，连接BP并延长交AD于点F，交CD延长线于点G（1）求证：PB=PD（2）若DF：FA=1：2请写出线段PF与线段PD之间满足的数量关系，并说明理由；当DGP是等腰三角形时，求tanDAB的值【】（1）根据菱形的性质得出DAP=PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出APBAPD；（2）先证明DFPBEP，进而得出，进而得出即，即可得出答案；由（1）证得APBAPD，得到ABP=ADP，根据平行线的性质，得到G=ABP，（）若DG=PG根据DGPEBP，得DG=a，由勾股定理得到FH=，于是得到结论；（）若DG=DP，设DG=DP=3m，则PB=3m，PE=BE=PF=2m，AB=AD=2DG=6m，AF=4m，BF=5m，设AH=x，求得FH=，得到tanDAB=【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形，AB=AD，AC平分DAB，DAP=BAP，在APB和APD中， ，APBAPD，PB=PD； （2）解：四边形ABCD是菱形，ADBC，AD=BC，AFPCBP，由（1）知PB=PD，PF=PD由（1）证得APBAPD，ABP=ADP，GCAB，G=ABP，ADP=G，GDPG，PDPG（），若DG=PG，DGAB，DGPEBP，PB=EB，由（2）知，设PF=2a，则PB=BE=PD=3a，PE=PF=2a，BF=5a，由DGPEBP，得DG=a，AB=AD=2DG=9a，AF=6a，如图1，作FHAB于H，设AH=x，则（6a）2x2=（5a）2（9ax）2，解得x=a，FH=，tanDAB=； （）若DG=DP，如图2，设DG=DP=3m，则PB=3m，PE=BE=PF=2m，AB=AD=2DG=6m，AF=4m，BF=5m，设AH=x，（4m）2x2=（5m）2（6mx）2，解得x=m，FH=，tanDAB=【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，平行线的性质，菱形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键5已知：如图，E是矩形ABCD的边CD上一点，BFAE于F试证明：ABAD=AEBF【分析】根据四边形ABCD是矩形可得出BAD=D=90，再根据相似三角形的判定定理可得出ADEBFA，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论【解答】证明：四边形ABCD是矩形，BAD=D=90（1分）1+2=90BFAE，AFB=1+3=902=3（2分）又D=AFB=90，（3分）ADEBFA（4分）ABAD=AEBF（5分）【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，能根据题意得出ADEBFA是解答此题的关键6如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，A=C=90，BDBE，AD=BC（1）求证：AC=AD+CE； （2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQDP，交直线BE于点Q若点P与A、B两点不重合，求的值【分析】（1）根据同角的余角相等求出1=E，再利用“角角边”证明ABD和CEB全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，然后根据AC=AB+BC整理即可得证；（2）过点Q作QFBC于F，根据BFQ和BCE相似可得，然后求出QF=BF，再根据ADP和FPQ相似可得，然后整理得到（APBF）（5AP）=0，从而求出AP=BF，最后利用相似三角形对应边成比例可得，从而得解【解答】解：（1）BDBE，1+2=18090=90，C=90，2+E=18090=90，1=E，在ABD和CEB中，ABDCEB（AAS），AB=CE，AC=AB+BC=AD+CE；（2）如图，过点Q作QFBC于F，则BFQBCE，即 ，QF=BF，DPPQ，APD+FPQ=18090=90，APD+ADP=18090=90，ADP=FPQ，又A=PFQ=90，ADPFPQ，即，5APAP2+APBF=3BF，整理得，（APBF）（AP5）=0，点P与A，B两点不重合，AP5，AP=BF，由ADPFPQ得，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，（1）求出三角形全等的条件1=E是解题的关键，（2）根据两次三角形相似求出AP=BF是解题的关键7已知=k，求k的值【分析】分a+b+c0时，利用合比性质解答即可，a+b+c=0时，用c表示出a+b，计算即可得解【解答】解：a+b+c0时，=k，k=2；a+b+c=0时，a+b=c，a+c=b，b+c=a，所以，k=1，综上所述，k的值为2或1【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了合比性质，易错点在于要分情况讨论8如图，已知ABCD的对角线交于O点，M为OD的中点，过M的直线分别交AD于CD于P、Q，与BA、BC的延长线于E、F（1）如图1，若EFAC，求证：PE+QF=2PQ；（2）如图2，若EF与AC不平行，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，加以证明；不成立，请说明理由【分析】（1）先由MPOA，DM=MO，得出DP=PA再由平行四边形的性质得出EAP=QDP，AEP=DQP，然后利用AAS证明APEDPQ，得出PE=PQ同理，QF=PQ，则PE+QF=2PQ；（2）过O点作ONAD交EF于N，则ON是梯形CFPA的中位线，由梯形中位线的性质定理得出AP+CF=2ON，再利用AAS证明OMNDMP，得出ON=PD，则AP+CF=2PD然后由CFPD，根据平行线分线段成比例定理得出=，由DQAE，根据平行线分线段成比例定理得出=，将两个式子相加，化简整理后得出QF+PE=2PQ，判断（1）中的结论仍然成立【解答】解：（1）如图1，MPOA，DM=MO，DP=PA在ABCD中，ABCD，EAP=QDP，AEP=DQP在APE与DPQ中，APEDPQ（AAS），PE=PQ同理，QF=PQ，PE+QF=2PQ；（2）若EF与AC不平行，则（1）中的结论仍然成立理由如下：如图2，过O点作ONAD交EF于N，则ON是梯形CFPA的中位线，则AP+CF=2ON易证OMNDMP，ON=PD，AP+CF=2PDCFPD，=，DQAE，=，+=+，即=2，QF+PE=2PQ【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，梯形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，有一定难度（2）中正确地作出辅助线，利用平行线分线段成比例定理得出=和=，是解题的关键9如图，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在射线DE上，并且EF=AC（1）求证：AF=CE；（2）当B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论；（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？【分析】（1）先根据FDBC，ACB=90得出DFAC，再由EF=AC可知四边形EFAC是平行四边形，故可得出结论；（2）由点E在BC的垂直平分线上可知DB=DC=BC，BE=EC，由直角三角形的性质可求出B=ECD=30，再由相似三角形的判定定理可知BDEBCA，进而可得出AE=CE，再求出ECA的度数即可得出AEC是等边三角形，进而可知CE=AC，故可得出结论；（3）若四边形EFAC是正方形，则E与D重合，A与C重合，故四边形ACEF不可能是正方形【解答】解：（1）ACB=90，FDBC，ACB=FDB=90，DFAC，又EF=AC，四边形EFAC是平行四边形，AF=CE；（2）当B=30 时四边形EFAC是菱形，点E在BC的垂直平分线上，DB=DC=BC，BE=EC，B=ECD=30，DFAC，BDEBCA，=，即BE=AB，AE=CE又ECA=9030=60，AEC是等边三角形CE=AC，四边形EFAC是菱形；（3）不可能若四边形EFAC是正方形，则E与D重合，A与C重合，不可能有B=30【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、线段垂直平分线及直角三角形的性质、正方形的判定与性质，涉及面较广，难度适中10已知，把RtABC和RtDEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，ACB=EDF=90，DEF=45，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB向ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动，AC与DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，DEF同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）解答下列问题：（1）DEF在平移的过程中，当点D在RtABC的边AC上时，求t的值；（2）在移动过程中，是否存在APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由（3）在移动过程中，当0t5时，连接PE，是否存在PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由【分析】（1）根据等腰三角形性质求出即可；（2）AP=AQ，求出即可；AP=PQ，作PHAC于H，根据相似得出比例式，即可求出答案；AQ=PQ，作PHAC于H，根据相似得出比例式，当5t10时，AQ=PQ，作PHBC，PGAC，利用相似与勾股定理，即可求出答案；（3）分为三种情况，PQE=90，PEQ=90，EPQ=90，根据勾股定理得出方程，求出方程的解，看看是否满足小于10即可【解答】解：（1）当D在AC上时，DE=DF，EC=CF=EF=5，t=5（2）存在AP=t，EDF=90，DEF=45，CQE=45=DEF，CQ=CE=t，AQ=8t，当0t5时， AP=AQ， t=8t，t=4； AP=PQ，作PHAC于H，AH=HQ=AQ=4t，PHBC，APHABC，=，=，t=；AQ=PQ，作QIAB于I， AI=PI=AP=t（等腰三角形的性质三线合一），AIQ=ACB=90，A=A，AIQACB，=，=，t=，当5t10时，AQ=PQ，作PHBC，PGAC，同理可求出， FC=QC=10t，BP=10t， PH=（10t）=8t，BH=（10t）=6t， QG=QCGC=QCPH=10t（8t）=2，PG=HC=6（6t）=t， PQ=AQ=8（10t）=t2，PQ 2=PG 2+QG 2，（t2）2=（t） 2+（2） 2，解得：t=秒，其它情况不符合要求，综合上述：当t等于4秒、秒、秒、秒时APQ是等腰三角形（3）由勾股定理：CE=CQ=t，sinA=，cosA=，PW=t，AW=t，QW=8tt=8t，PQ2=PM2+QW2=（t）2+（8t）2=t2t+64，PE2=PH2+EH2=（t+8t）2+（tt）2=t2t+64，PQE=90，在RtPEQ中PQ2+QE2=PE2，t1=0（舍去） t2=；PEQ=90，PE2+EQ2=PQ2t1=0（舍去） t2=20（舍去）此时不存在；当EPQ=90时PQ2+PE2=EQ2，t1=（舍去） t2=4，综合上述：当t=或t=4时，PQE是直角三角形【点评】本题综合运用了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，此题难度较大，综合性强，用的数学思想是分类讨论思想11已知：ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）（1）画出ABC向下平移4个单位得到的A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；（2）以点B为位似中心，在网格中画出A2BC2，使A2BC2与ABC位似，且位似比为2：1，并直接写出C2点的坐标及A2BC2的面积【分析】（1）根据网格结构，找出点A、B、C向下平移4个单位的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C1的坐标；（2）延长BA到A2，使AA2=AB，延长BC到C2，使CC2=BC，然后连接A2C2即可，再根据平面直角坐标系写出C2点的坐标，利用A2BC2所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解【解答】解：（1）如图，A1B1C1即为所求，C1（2，2）；（2）如图，A2BC2即为所求，C2（1，0），A2BC2的面积： 64262424=24644=2414=10 【点评】本题考查了利用位似变换作图，利用平移变换作图，以及网格内三角形的面积的求解，根据网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键，网格内的三角形的面积通常利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，一定要熟练掌握并灵活运用12已知，（1）求的值； （2）若，求x值【分析】（1）设x=2k，y=3k，z=4k，代入后化简即可；（2）把x=2k，y=3k，z=4k代入得出2k+3=k2，求出方程的解，注意无理方程要进行检验【解答】解 由，设x=2k，y=3k，z=4k，（1）， （2）化为，2k+3=k2，即k22k3=0，k=3或k=1，经检验，k=1不符合题意，k=3，从而x=2k=6，即x=6【点评】本题考查了比例的性质，二次根式的性质，解一元二次方程等知识点的应用，注意解（1）小题的方法，解（2）小题求出k的值要进行检验13如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值【分析】过点F作FEBD，交AC于点E，求出=，得出FE=BC，根据已知推出CD=BC，根据平行线分线段成比例定理推出=，代入化简即可【解答】解：过点F作FEBD，交AC于点E，=，AF：BF=1：2，=，=，即FE=BC，BC：CD=2：1，CD=BC，FEBD，=即FN：ND=2：3证法二、连接CF、AD，AF：BF=1：2，BC：CD=2：1，=，B=B，BCFBDA，=，BCF=BDA，FCAD，CNFAND，=【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目14如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1l2l3，已知EF：DF=5：8，AC=24（1）求AB的长；（2）当AD=4，BE=1时，求CF的长【分析】（1）根据l1l2l3，推出=，代入求出BC即可求出AB；（2）根据l1l2l3，得出=，求出OB、OC，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出即可【解答】（1）解：l1l2l3，EF：DF=5：8，AC=24，=，=，BC=15，AB=ACBC=2415=9（2）解：l1l2l3=，=，OB=3，OC=BCOB=153=12，=，=，CF=4【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中，注意：对应成比例15点D为RtABC的斜边AB上一点，点E在AC上，连接DE，CD，且ADE=BCD，CFCD交DE的延长线于点F，连接AF（1）如图1，若AC=BC，求证：AFAB；（2）如图2，若ACBC，当点D在AB上运动时，求证：AFAB【分析】（1）根据ADE=BCD可得出FDC=B=45，进而可得到CDBCAF，由全等三角形的性质即可得出AFAB；（2）先根据相似三角形的判定定理得出ACBFDC，进而得出BCDACF，再由相似三角形的性质即可得出结论【】证明：（1）ADE=BCD，FDC=B=45，CD=CF，CDBCAF，CAF=45，AFAB；（2）ADE=BCD，ACD+DCB=90，DCA+ACF=90，ACF=BCD=ADF，AED=CEF，BAC=CFD，ACB=DCF=90，ACBFDC，BCDACF，B=CAF，AFAB【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键16如图，在ABC中，BCAC，点D在BC上，且DC=AC，ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF（1）求证：2EF=BD，（2）四边形BDFE的面积为6，求ABD的面积【分析】（1）根据等腰三角形性质推出F为AD中点，根据三角形的中位线定理推出即可； （2）根据三角形中位线推出EFBD，推出AEFABD且两三角形相似比K=1：2，得出面积比是，代入求出即可【解答】（1）证明：DC=AC，CF为ACB的平分线，AF=DF，AE=EB，AF=DF，EF为ABD的中位线，2EF=BD（2）解：EF为ABD的中位线，EFBD，2EF=BD，AEFABD两三角形相似比K=1：2，=K2=，则4（SABD6）=SABD，解得：SABD=8【点评】本题考查了三角形的中位线，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，关键是求出EF是三角形ABD的中位线和推出AEFABD，主要烤箱学生运用性质进行推理和计算的能力，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方17已知：RtOAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把RtOAB分割成两部分在图上画出所有线段PC，使分割得到的三角形与RtOAB相似，并直接写出点C的坐标【分析】根据平行于三角形一边的直线分成的三角形与原三角形相似，可得PCAB，PCOA时，分割得到的三角形与RtOAB相似，根据网格结构写出此时点C的坐标即可；又当PCOB时，分割得到的三角形与RtOAB也相似，根据网格结构，利用勾股定理求出OB的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长度，再求出AC的长度，从而得到此时点C的坐标【】解：如图，PCAB时，OCPOAB，此时点C的坐标为（3，0），PCOA时，PCBOAB，此时点C的坐标为（6，4），PCOB时，CPBOAB，根据勾股定理得，OB=10，P（3，4）为OB的中点，PB=OB=5，=，即=，解得BC=，AC=ABBC=8=，此时点C的坐标为（6，），综上所述，点C的坐标为（3，0），（6，4），（6，）【点评】本题考查了利用相似变换作图，相似三角形的判定，需要特别注意“PCOB”的情况容易漏掉而导致出错18如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（2，4），B（4，0）（1）以原点O为位似中心，把线段AB缩小为原来的；（2）若（1）中画出的线段为AB，请写出线段AB两个端点A、B的坐标；（3）若线段AB上任意一点M的坐标为（a，b），请写出缩小后的线段AB上对应点M的坐标【分析】（1）分AB与AB在位似中心O同侧时，连接OA，取OA的中点为A，取OB的中点为B，然后连接AB；AB与AB在位似中心O异侧时，连接AO并延长至A，使OA=OA，在x轴的负半轴取点B，使OB=OB，然后连接AB；（2）根据平面直角坐标系分别写出点的坐标即可；（3）根据规律，缩小后线段上的点的横坐标与纵坐标的绝对值都变为原来的一半，再分两种情况写出即可【解答】解：（1）如图所示，线段AB即为所求作的线段；（2）A（1，2），B（2，0）或A（1，2），B（2，0）；（3）M（，）或（，）【点评】本题考查了利用位似变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键，注意要分在位似中心的同侧与异侧两种情况作图并求解19如图，已知直线l的函数表达式为y=x+8，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位的速度向O点移动，设点Q、P移动时间为t秒（1）求点A、B的坐标（2）当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似？（3）求出（2）中当以点A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似时，线段PQ的长度【分析】（1）小题利用X轴 Y轴的坐标特点代入y=x+8，即可求出点A、B的坐标；（2）（3）小题由已知相似得到比例式，代入即可求出t和PQ的长度，注意（2）（3）都有两种情况【解答】解：（1）y=x+8，当x=0时，y=8，当y=0时，x=6，答案为：点A的坐标为：（6，0），点B的坐标为：（0，8）（2）此题有两种情况：在ABO中BOA=90，OA=6，OB=8，由勾股定理得：AB=10，BAO=BAO，BQ=2t，AQ=102t，AP=t，第一种情况： =时，AQPABO，即=，解得：t=，第二种情况：当=时AQPAOB，即=，解得：t=答案为：当t为或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似（3）以点A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似，当t=时， =， 解得：PQ= 当t=时， =， 解得PQ=，答案为：当以点A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似时，线段PQ的长度是或【点评】解此题的关键是利用相似三角形的性质得到正确的比例式，难点是正确进行分类讨论此题题型较好，难度适中20已知x=，求x的值【分析】应为a、b、c的关系不明确，所以分a+b+c0时，利用合比性质列式进行计算即可得解，a+b+c=0时，分别用两个字母表示出第三个字母，进行计算即可求解【解答】解：a+b+c0时，x=；a+b+c=0时，a+b=c，b+c=a，a+c=b，x=1，综上所述，x的值为或1故答案为：或1【点评】本题了比例的性质，注意要分两种情况讨论求解，同学们容易漏掉第二种情况而导致出错21如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m4），点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合），连接PD，过点P作PQPD，交直线BC于点Q（1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；（2）连接AC，若PQAC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）；（3）若PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围【分析】（1）假设存在一点P，使点Q与点C重合，再设AP的长为x，利用勾股定理即可用x表示出DP、PC的长，在RtPCD中可求出x的值；（2）连接AC，设BP=y，则AP=my，由相似三角形的判定定理得出PBQABC，APDBQP，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BQ的表达式；（3）连接DQ，把四边形PQCD化为两个直角三角形，再用m表示出PD及CQ的长，利用三角形的面积公式即可解答【解答】解：（1）存在点P假设存在一点P，使点Q与点C重合，如图1所示，设AP的长为x，则BP=10x，在RtAPD中，DP2=AD2+AP2，即DP2=42+x2，在RtPBC中，PC2=BC2+PB2，即PC2=42+（10x）2，在RtPCD中，CD2=DP2+PC2，即102=42+x2+42+（10x）2，解得x=2或8，故当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合，此时AP=2或8；（2）连接AC，设BP=y，则AP=my，PQAC，PBQABC，=，即=，DPPQ，APD+BPQ=90，APD+ADP=90，BPQ+PQB=90，APD=BQP，APDBQP，=，即=，联立得，BQ=；（3）连接DQ， 由已知PQPD，所以只有当DP=PQ时，PQD为等腰三角形（如图），BPQ=ADP，又B=A=90，PBQDAP，PB=DA=4，AP=BQ=m4，以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为：S四边形PQCD=S矩形ABCDSDAPSQBP=4m4（m4）4（m4）=16，当Q在BC延长线上时，S=m22m（m8）AD=4，m4，PBC中PB是直角三角形的另一直角边，m4【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到矩形的性质、等腰直角三角形的性质及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线是解答此题的关键22在ABC中，ACB=90，AC=4，BC=3，D是边AC上一动点（不与端点A、C重合），过动点D的直线l与射线AB相交于点E，与射线BC相交于点F，（1）设CD=1，点E在边AB上，ADE与ABC相似，求此时BE的长度（2）如果点E在边AB上，以点E、B、F为顶点的三角形与以点E、A、D为顶点的三角形相似，设CD=x，BF=y，求y与x之间的函数解析式并写出函数的定义域（3）设CD=1，以点E、B、F为顶点的三角形与以点E、A、D为顶点的三角形相似，求SEBF：SEAD的值【分析】（1）小题由已知ADE和ABC相似得出比例式就能求出BE；（2）小题利用点E、B、F为顶点的三角形与以点E、A、D为顶点的三角形相似得到比例式即可求出x y的关系式；（3）小题首先进行分类（图（2）图（3），分别证出两三角形相似，进而得到比例式求出答案【解答】解：（1）在ABC中ACB=90，由勾股定理得：AB=5，要使ADE与ABC相似，A=A，且与与射线AB相交于点E，与射线BC相交于点F，必须，解得，答案为：BE的长度是（2）如图，过点D的直线l交线段AB于点E，交BC的延长线于点F，AB，2A，如果BEF与EAD相似，那么只能1=A，又ACF=ACB=90，1=A，FDCABC，（0x4），答案为：y与x之间的函数解析式是；y=，函数的定义域是：0x4（3）如图，当直线l交线段AB于点E，交BC的延长线于点F时，CD=1时，AD=3，由EBFEDA得SEBF：SEAD=，如图，当直线l交线段AB的延长线于点E、交线段BC于点F时，CD=1，AD=3，由1=A得EBFEDA，进而，由FDCABC，得，由，得CF=，BF=，由EBFEDA得：SEBF：SEAD=，综上所述，SEBF：SEAD的值等于或【点评】（1）（2）小题主要考查对相似三角形的性质的理解和掌握，（3）小题是相似三角形的性质和判定的综合运用，关键是找出相似的条件判断两三角形相似，进而利用相似的性质求出BF AD 的长度，即可得到答案题型很好但难度较