（试题 试卷 真题）中考数学押轴题备考复习测试题15

猜想、规律与探索1一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（）（A）2010（B）2011（C）2012（D）2013（第9题） 红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿 黄 绿 蓝 紫【解题思路】根据纸环的颜色顺序可知每5个一循环，截去的部分连同前两个正好是5的整数倍减去截去部分的前两个，据此可以估计截去不掉的纸环个数。【答案】D【点评】本题考查了规律性问题，解题的关键是从纸环的颜色顺序中找到规律，并利用此规律估计截去的部分的纸环的个数。难度中等。2.如图，下面是按照一定规律画出的一行“树形图”，经观察可以发现：图A比图A多出2个”树枝”， 图A比图A2多出4个”树枝”， 图A4比图A多出8个”树枝”照此规律，则图A6比图A2多出”树枝” （ ）A28个B56个 C60个 D124个【解题思路】依次求出每个图形中的“树枝”数，1,1+2,1+2+4,1+2+4+8,1+2+4+8+16,1+2+4+8+16+32，然后再求出差。答案C【点评】本题使用归纳法来解题的，归纳法是初中数学常见的方法。本题难度较大。3如图，ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED/AB，EF/AC，得四边形EDAF，它的面积记作，取BE中点E1，作E1D1/FB， 得到四边形，它的面积记作,照此规律下去，则= .ABDCEF【解题思路】边长为1的正三角形面为，则=SABC=，= SEFB= SABC=，=.【答案】或【点评】本题为规律探索题，主要考查观察、类比、归纳的能力。解题思路：从特殊情形入手探索发现规律猜想结论验证.难度较大.4、如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（1）需要4根小棒，图案（2）需要10根小棒，按此规律摆下去，第n个图案需要小棒 根（用含有n的代数式表示）。 【解题思路】由图形可知每个后面的图形都比前一个图形多6各小棒，图案（1）有4个，图案（2）有4+6，图案（3）有4+62，图案（3）有4+6（n1）=6n2【答案】6n2【点评】本题主要考察观察图形探索规律，此题的关键在于认真观察图形从中寻找规律，然后用代数式表示出来。难度较小。12345图95如图9，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5.若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”.如：小宇在编号为3的顶点时，那么他应走3个边长，即从3451为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从12为第二次“移位”.若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是_.【分析与解】根据示例，从2开始移位，不难发现4次移位之后，又回到出发点，即确定第10次移位后的位置即确定第二次移位后的位置即可，第一次移位到达4，第二次移位到达3，故10次“移位”后，则他所处顶点的编号是3【点评】本题属于中等题，为循环规律题，弄清题意，确定几次循环即可解题. 6）若， ；则的值为 （用含的代数式表示）【解题思路】把化简后可得规律【答案】【点评】本题考查分式的化简计算及规律的寻找，难度中等7如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数为（ ）A B C D【解题思路】由图形可知，第一个用围棋子的枚数为；第二个用围棋子的枚数为；第三个用围棋子的枚数为，所以根据规律，可知第n个图形需要围棋子的枚数为。【答案】C【点评】本题属于规律探索题，解决的关键是根据图形变化的痕迹找到规律，从而用含有的代数式表示出来。8如图，观察每一个图中黑色正六边形的排列规律，则第10个图中黑色正六边形有 个。【解题思路】数一下每个图的黑色正六边形的个数：第一个图 1个；第二个图4个；第三个图9个，1=12、4=22、9=32 猜想：第10个图中黑色正六边形有 102=100 个【答案】100【点评】此题属于探索规律型题目，解题关键是抓住图形序数与黑色正六边形的个数之间的规律，如此题的是序数的平方。难度中等。9观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_个图形共有120个【解题思路】第1个图形有1个，第2个图形有3个，且31+2，第3个图形有6个，且61+2+3=，第4个图形有10个，且101+2+3+4=则第n个图形有120个，则第n个图形中的个数是1+2+3+n，即120，整理，得n2+n2400解方程，得n115，n216(不合舍去)所以，第15个图形有120个【答案】15【点评】根据简单图形的个数，找出图形的个数与图形序号之间的关系，然后用代数式表示10如图4所示，直线OP经过点P(4, )，过x轴上的点l、3、5、7、9、11分别作x轴的垂线，与直线OP相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为S1、S2、S3Sn则Sn关于n的函数关系式是_来源:学。科。网01357911S1S2S3图4xyp【解题思路】先求出直线op解析式为：y=经观察可知每个小梯形的高一定为2，面积为Sn的梯形上底所在直线为x=4n-3，上底长为，下底所在直线为x=4n-1，上底长为，故梯形的面积Sn=(8n4) 【答案】(8n4) 【点评】本题为探究规律试题，具有一定的难度。11、如图（9），已知AOB=，在射线OA、OB上分别取点OA=OB，连结AB，在BA、BB上分别取点A、B，使B B= B A，连结A B按此规律上去，记A B B=，则（1）= ； = 。【解题思路】：根据题意：OA1=OB1，A1OB1，A2B1B2，A3B2B3是等腰三角形，已知AOB=，=1800-=;以此类推可得：=1800-（900-）=。【答案】；。【点评】本题是规律探究性问题，是中考的热点问题之一，在已知等腰三角形的顶角的情况下，通过计算三角形的外角来探索规律。本题难度中等。12 在直角坐标中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、A3B3C3C2、AnBnCnCn-1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、An均在一次函数y=kx+b上，点C 1、C2、C 3、Cn均在x轴上.若点,B1的坐标为（1,1），点B2的坐标为（3,2），则点An的坐标为.y=kx+bOA1A2A3B3B2B1C1C2C3xy【思路分析】解：由B1的坐标为（1,1），点B2的坐标为（3,2），知A1（0,1）， A2（1,2），设直线解析式y=kx+b,把A1（0,1）， A2（1,2）代入上式得，k=1,b=2,yx1点B2的坐标为（3,2），C2的坐标为（3,0），把x=3代入yx1得y=4,A3的坐标为（3,4），同理得A4的坐标为（7,8），A5的坐标为（15,16）An的坐标为(2n11, 2n1) 【答案】(2n11, 2n1) 【点评】解答这类问题首先根据点在图像上求出前几个点的坐标，然后根据所出现的规律找到相应的公式，然后对公式进行验证13如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取ABC和DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取A1B1C1和D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为_ 题10图（1）A1BCDAFEBCDAFEBCDAFEB1C1F1D1E1A1B1C1F1D1E1A2B2C2F2D2E2题10图（2）题10图（3）【解题思路】由三角形中位线性质得：A1B1：AB= 1：2，即A1B1= AB，同理可得A2B2=A1B1= AB；A3B3=A2B2= AB；A4B4=A3B3= AB，即第四个正六角星形与第一个正六角星形的边长之比为1：16，根据“相似多边形面积比等于相似比的平方”知它们的面积比为1：256 ，所以正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积=正六角星形AFBDCE的面积=.【答案】【点评】本题考查从图形中探索数的规律问题.只要想到从相似多边形性质去考虑，问题将容易得解. 难度中等14一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为，则下列关系中正确的是（A） （B） （C） （D）【解题思路】根据新规定，设第一个图形的边长为1，其周长为3，直径为1，所以=3，设第二个图形的边长为1，其周长为4，直径为，所以=2，设第三个图形的边长为1，其周长为6，直径为2，所以=3，第三个图形的周长与直径之比为，所以，故选B【答案】B【点评】本题是图形的规律探究题，实质就是图形边长的规律探究本题可先计算，再比较大小，本题还带有自主学习的成分，培养学生的自主学习能力应成为今后教学的重点，属于中档题15 观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在16（A）第502个正方形的左下角（B）第502个正方形的右下角（C）第503个正方形的左上角（D）第503个正方形的右下角【解题思路】有图形可以确定数字每四个一个循环，所以20114=5023，所以第503个的左上角，答案选C【答案】C【点评】规律性探究问题通常指根据给出的材料，观察其中的规律，再运用这种规律解决问题的一类题型. 观察的三种主要途径：（1）、式与数的特征观察；（2）、图形的结构观察；（3）、通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况。规律探究的基本原则：（1）、遵循类推原则，项找项的规律，和找和的规律，差找差的规律，积找积的规律。（2）、遵循有序原则，从特殊开始，从简单开始，先找3个，发现规律，再验证运用规律.16图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），则第n个图形的周长是图1图2图3（A） （B） （C） （D）【解题思路】先由已知条件分别算出图形1的周长为4=21+1，图形,2的周长为8=22+1，以此类推，图形n的周长为2n+1，故选C【答案】C【点评】本题属于找规律的问题，属于中等题目，在解答本题时，需要先进行归纳推理，由特殊到一般的推理，然后得出一般性的结论即可17.（山东临沂 第19题 3分）如图，上面各图都是用全等三角形拼成的一组图形，则在第10个这样的图形中，共有 个等腰梯形。 来源:Zxxk.Com (1) (2) (3)解题思路：第（1）个图形由三个全等三角形组成，有1=12个等腰梯形；第（2）个图形由五个全等三角形组成，有4=22个等腰梯形；第（3）个图形由七个全等三角形组成，有9=32个等腰梯形；，第10个这样的图形中，共有102=100个等腰梯形.解答：填100.点评：这是一道规律性探索题，解答本题的关键是找到第n个图形中，等腰梯形的个数与n之间的平方关系，这也是本题的难点所在.本题难度较大.18.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是 .（第14题图）【解题思路】由规律可知，最后一个图形左下那个数为12，右上那个数为14；另外一个规律是这两个数的乘积正好等于10与m的和。【答案】158【点评】规律探求型问题一直中考中的热门试题，在处理此类问题时，关键要找出问题中所蕴含的规律，然后加以运用。难度较大。20如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 2526 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 （1）表中第8行的最后一个数是_，它是自然数_的平方，第8行共有_个数；（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是_，最后一个数是_，第n行共有_个数；（3）求第n行各数之和【解题思路】认真阅读，发现上述规律，每行的最后的一个数式行数的平方，便可解答了。【答案】(1)64，8，15；（2）n2-2n+2，n2，(2n-1);来源:学。科。网（3）第n行各数之和：【点评】规律探究题是近几年中考的热点，本题还带有自主学习的成分，培养学生的自主学习能力应成为今后教学的重点，属于中档题21 (本题满分10分) （2011山东德州，22，10分）观察计算当，时， 与的大小关系是_当，时， 与的大小关系是_探究证明ABCOD如图所示，为圆O的内接三角形，为直径，过C作于D，设，BD=b（1）分别用表示线段OC，CD；（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含a，b的式子表示）归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出与的大小关系是：_实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值【解题思路】题属于推理应用题，要把握住最基本问题的思路，由此为切入点，结合图形性质找到问题的突破口【答案】（1），AB为O直径,.， A=BCD. .即,. （2）当时, =；时,结论归纳: 实践应用：设长方形一边长为米,则另一边长为米,设镜框周长为l米，则 当,即（米）时,镜框周长最小此时四边形为正方形时,周长最小为4 米. 【点评】此类探究题是中考中的热门考点，综合性很强，考察同学们自主探究和应用创新的能力，本题设计数学实践活动情景，问题由特殊到一般，在考查基础知识综合应用的同时，兼顾考查学生知识转化能力，作图能力以及实践操作能力，符合新课改精神，是一道不可多得的好题22（2011四川乐山，25，12分）如图（14.1）,在直角ABC中, ACB=90,CDAB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EFBE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系. (1) 如图(14.2),当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是 证明:(2) 如图(14.3),当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是 证明(3) 如图(14.1),当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是 (写出关系式,不必证明)【解题思路】：添加辅助线，构建新的直角三角形，推理证明三角形相似，利用相似关系，列比例式推出EF与EG的数量关系。【答案】(1)相等。如,14.2，当m=1,n=1时,ACB是等腰直角三角形，E为AC中点，作EMAB,ENCD,垂足分别为M、N，EM、EN为中位线，EFMENG,EF=EG.（2）EF:EG=1：n。作EMAB,ENCD,垂足分别为M、N，m=1, ACB是等腰直角三角形，EFMENG,EF:EG=EM:EN=AE:EC,EF:EG=AE:nAE=1:n.【点评】本题是属于图形演变、规律探索性题目，找准基础图形，作出辅助线，确定三角形全等或相似关系，列出关系式，是解题的关键。本题难度较大。23（本小题满分10分）如图14-至图14中，两平行线AB、CD音的距离均为6，点M为AB上一定点. 思考：BADC6图14-POMNBADC6图14-OPMNBADC6图14-OPMBADC6图14-OPM如图14-中，圆心为O的半圆形纸片在AB、CD之间（包括AB、CD），其直径MN在AB上，MN8，点P为半圆上一点，设MOP，当_度时，点P到CD的距离最小，最小值为_.探究一在图14-的基础上，以点M为旋转中心，在AB、CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止.如图14-，得到最大旋转角BMO_度，此时点N到CD的距离是_.探究二将图14-中的扇形纸片NOP按下面对的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB、CD之间顺时针旋转.（1）如图14-，当60时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角BMO的最大值；（2）如图14-，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定的取值范围.（参考数据：sin49，cos41，tan37）【分析与解】思考：点P的位置越低，P点到直线CD的距离越短，故当90时，点P到CD的距离最小；探究一：当半圆形纸片不能再转动时，半圆形纸片与CD相切，过切点，连半径后易得BMO30；探究二：（1）须画出60时的图形，利用圆、三角函数等相关知识可轻松解题；（2）是本题的难点，须画出点P能落在直线CD上时的临界图形即可确定的取值范围.解：思考 90，2.探究一 30，2.探究二（1）由已知得M与P的距离为4，当MPAB时，点P到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为642.当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，与AB相切，此时旋转角最大，BMO的最大值为90.（2）如图4，由探究一可知，点P是与CD的切点时，达到最大，即OPCD.此时，延长PO交AB于点H，最大值为OMHOHM3090120.如图5，当点P在CD上且与AB距离最小时，MPCD，达到最小，连接MP，作OHMP于点H，由垂径定理，得MH3，在RtMOH中，MO4，sinMOH，MOH49，2MOH，最小为98.的取值范围是98120.BADC6OPMHBADC6OPMH 【点评】本题属于较难题，为圆的探究题，以生活中的扇面为背景，通过扇面的展开与旋转让同学们探究其中蕴含的数学知识，层层深入，环环相扣，最后一问最难，理解题意确定临界位置是解题的关键，值得注意的是河北省今年将其放入倒数第二个压轴题目，可见圆在河北省中考中的位置越来越重要.24(本小题满分12分)ADPO1MNCBxy1图15如图15，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t0）秒，抛物线yx2bxc经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，5）、D（4，0）.（1）求c、b（用含t的代数式表示）；（2）当4t5时，设抛物线分别与线段AB、CD交于点M、N.在点P的运动过程中，你认为AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出AMP的值；求MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S；（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围.【分析与解】（1）观察图像，可发现抛物线yx2bxc经过点O和点P.故分别将O和点P代入解析式可用用含t的代数式表示c、b；（2）AMP为Rt，若AMP不变，说明的值不变，故可求其比值即可确定AMP的值；（3）为数形结合，合理推理，借助网格直观性及抛物线的对称性可定t的取值范围.解：（1）把x0，y0代入yx2bxc，得c0.再把xt，y0代入yx2bx，得t2bt0，t0，bt. ADPO1MNCBxy1（2）不变. 如图，当x1时，y1t，故M(1,1t).tanAMP1.AMP45.SS四边形AMNPSPAMSDPN S梯形NDAMSPAM (t4)(4t16)(4t16)(t1)3(t1)(t1)t2t6令S，得t2t6，得t1，t2.ADO1BxyC4t5，t1舍去，t.（3）t理由：当yx2tx，经过点（2，3）时，“好点” （2，2）和（2，1）在抛物线上方，此时3222t，t，当x3时，y，在1和2之间，说明“好点”（3，1）也在抛物线上方.因此抛物线要将这些“好点”分成数量相等的两部分时，必须t，如图，当yx2tx，经过点（3，2）时，“好点”（3，1）在抛物线上方，此时2323t，t，当x2时，y，在3和4之间，说明“好点”（2，3），（2，2）（2，1）也在抛物线上方.因此抛物线要将这些“好点”分成数量相等的两部分时，必须t.【点评】河北省的压轴题目多年一直为几何动态综合题，今年突破为二次函数与几何图形动态综合题，是本卷的亮点所在，值得关注.问题设置由浅入深，上手容易，深入难，由其是最后一问题更是新颖别致、独具匠心.25、如图（1），RTABC中，ABC=90，CDAB，垂足为D，AF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F。（1）求证：CE=CF（2）将图（2）中的ADE沿AB向右平移到ADE的位置，使点E落在BC边上，其他条件不变，如图（2）所示请猜想：BE与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论。【解题思路】（1）要证CE=CF只需CFA=CEF即可，由题意可知CAF+CFA=90，EAD+AED=90，AED=CEF故可得CFA=CEF。（2）通过观察我们可知BE= CF，由（1）可知CE=CF，要证BE= CF只需CE=BE即可，过点E作EGAC于G，易证RTCEGRTB E D，所以CE=BE。【答案】（1）证明：AF平分CAB，CAF=EAD ABC=90，CAF+CFA=90 又CDAB于D，EAD+AED=90所以CFA=AED。 又AED=CEF，CFA=CEF CE=CF。 （2）解：BE= CF，证明如下证明：如图过点E作EGAC于G，又AF平分CAB，EDAB所以ED=EG由平移性质可知：DE=DE，DE= EG又ABC=90，ACD+DCB=90CDAB于D，B+DCB=90ACD=B在RTCEG和RTB E D中RTCEGRTB E DCE=BE由（1）可知CE=CF，BE= CF【点评】本题主要考察几何证明，涉及到直角三角形的性质、角平分线的定义、等角的余角相等、三角形全等、等腰三角