简易数学逻辑学论文.doc

哈尔滨师范大学逻辑学论文题 目 “简易逻辑”教学中存在的问题学 生 *指导教师 * 教授年 级 20*级专 业 *系 别 *学 院 * 哈尔滨师范大学20*年*月论文提要在逻辑学中,判断是对客观事物所有肯定或否定的思维形式,所以判断有真有假。判断的真假要看判断是否符合思维对象的实际情况,并要通过检验。数学判断是关于数学对象及其属性的判断。命题是数学逻辑的名词,在数学中用来表示数学判断的语句或符号的组合称数学命题。 “简易逻辑”教学中存在的问题*（黑龙江省 哈尔滨 150025）指导教师 * 教授摘 要：判断一件事情的语句叫命题；高中的定义是可以判断真假的语句叫命题这两个定义都不严格两个定义中使用的“判断”一词，与语文中通常的意义不尽相同在逻辑学上，它的意义是：判断是对客观事物有所肯定或否定的思维形式，判断有真有假所以，初中和高中的两个定义在意义上是完全相同的：命题是这样一个语句，这个语句能够判断真假 关键词：命题 判断真假 逻辑学 一、逻辑联结词与四种命题（一）逻辑联结词四种命题1命题：可以判断真假的语句叫做命题2逻辑联结词：“或（）”、“且（）”、“非（）”这些词叫做逻辑联结词。或：两个简单命题至少一个成立 且：两个简单命题都成立， 非：对一个命题的否定3简单命题与复合命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。4表示形式：用小写的拉丁字母p、q、r、s来表示简单的命题，复合命题的构成形式有三类：“p或q”、“p且q”、“非p”5真值表：表示命题真假的表叫真值表；复合命题的真假可通过下面的真值表来加以判定。pq非pP或qP且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假（二）四种命题1一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定。2一个命题的真假与其它三个命题的真假有如下四条关系：（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真。（2）原命题为真，它的否命题不一定为真。（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真。（4）逆命题为真，否命题一定为真。（三）几点说明1逻辑联结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义：以“P或q”为例：一是p成立但q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q成立，2对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设又否定结论3真值表 P或q：“一真为真”， P且q：“一假为假”4互为逆否命题的两个命题等价，为命题真假判定提供一个策略。5反证法运用的两个难点：1）何时使用反证法 2）如何得到矛盾。二、充要条件（一）充分条件、必要条件和充要条件1充分条件：如果A成立那么B成立，则条件A是B成立的充分条件。2必要条件：如果A成立那么B成立，这时B是A的必然结果，则条件B是A成立的必要条件。3充要条件：如果A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件，则A是B成立的充要条件；同时B也是A成立的充要条件。（二）充要条件的判断1若成立则A是B成立的充分条件，B是A成立的必要条件。2若且BA，则A是B成立的充分且不必要条件，B是A成立必要且非充分条件。3若成立则A、B互为充要条件。证明A是B的充要条件，分两步：（1）充分性：把A当作已知条件，结合命题的前提条件推出B；（2）必要性：把B当作已知条件，结合命题的前提条件推出A。(三)给定两个命题，p、q, 可以考虑集合A=xx满足p,B=xx满足q,则有1 若AB，则p 是q的充分条件。2 若AB，则p 是q的必要条件。3若A=B，则p 是q的充要条件。 记住：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围。三、关于命题的两个定义 关于命题，初中的定义是：判断一件事情的语句叫命题；高中的定义是可以判断真假的语句叫命题这两个定义都不严格两个定义中使用的“判断”一词，与语文中通常的意义不尽相同在逻辑学上，它的意义是：判断是对客观事物有所肯定或否定的思维形式，判断有真有假所以，初中和高中的两个定义在意义上是完全相同的：命题是这样一个语句，这个语句能够判断真假例如语句“4的平方根是2”，作为一个判断，它是错误的，所以它是命题，是假命题 四、“或”、“且”的含义 复合命题“p或q”与“p且q”是用逻辑联结词“或”与“且”联结两个命题p与q，既不能用“或”与“且”去联结两个命题的条件，也不能用它们去联结两个命题的结论 例1（1）已知p：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1； q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=2， 写出“p或q” （2）p：四条边相等的四边形是正方形； q：四个角相等的四边形是正方形， 写出“p且q” 错解：（1）p或q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1或x=2；（2）p且q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形 分析：（1）（2）两题中的p、q都是假命题，所以“p或q”、“p且q”也都是假命题，而上述解答中写出的两个命题却都是真命题错误的原因是：（1）联结了两命题的结论；（2）联结了两命题的条件 正确的答案是： （1）p或q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1或方程（x-1）（x-2）=0的根是x=2 （2）p且q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形 这两个命题都是假命题 但是，在不影响命题真值的情况下，又可省略第二个命题的主语，这是符合语言习惯的 例2已知p：菱形的对角线互相平分； ?q：菱形的对角线互相垂直， 写出“p且q” 解：p且q：菱形的对角线互相平分且（菱形的对角线互相）垂直 这个命题中括号内的部分可以省略 文1中“4的平方根是2，或4的平方根是-2”，就不能简写成“4的平方根是2或-2” 五、关于“非”的含义 “非”的含义有下列四条： 31“非p”只否定p的结论 “非”就是否定，所以“非p”也叫做命题p的否定，但“非p”之“非”只否定命题的结论，不能否定命题的条件，也不能将条件和结论都否定，这也是“非p”与否命题的区别所以欲写“非p”应先搞清p的条件与结论 例3p：有些质数是奇数写出“非p” 错解：有些质数不是奇数 分析：因为p是真命题，所以“非p”应为假命题，上述命题不假，故答案错错误的原因是对p的条件与结论没有搞清楚这个命题的条件是“质数”，结论是“有些是奇数”，正确的解法：先将p写成等价形式，质数有些是奇数，“非p”：质数无奇数 不是用“不”否定“是”，而是用“无”否定“有些是” 例4p：方程x5x60有两个相等的实根写出“非p” 错解：方程560有两个不相等的实根 分析：命题p的条件是“方程560”，结论是“有两个相等的实根”，所以“非p”应否定“有”，而不能否定“相等”，所以“非p”应为：方程x5x60没有两个相等的实根 32p与“非p”真假必须相反 例5写出例1（2）中命题p的否定“非p” 错解：非p：四条边都相等的四边形不是正方形 因为p是假命题，“非p”必须是真命题，而上述命题也是假命题，所以上述命题不是“非p” 正确答案为 “非p”：四条边都相等的四边形不都是正方形 “是”的否定有时为“不是”，有时为“不都是”，要视“是”的含义而定，此例的“是”，其含义是“都是”，故其否定为“不都是” 33“非p”必须包含p的所有对立面逻辑联结词“非”相当于集合在全集中的补集假定p与“非p”的结论所确立的集合分别是A、B，则A、B必须满足AB=U（全集），AB=“非p”的结论必须包含p的结论的所有对立面这一点如果不注意，使用反证法证题时就可能发生错误因为反证法的理论依据是欲证p为真，可证“非p”为假，如果“非p”不包括p的所有对立面，反证法就站不住脚了 例6p：方程x5x60有两个相等的实根写出“非p”（与例4相同） 正像写一个集合的补集必须先搞清全集一样，这个题目也面临类似的问题因为实系数一元二次方程的解的情况有三种，任何一种的否定都应该包含另外的两种，所以p的对立面是“方程560有两个不相等的实根或无实根”但“非p”不能这样写，而写成等价形式：方程560没有两个相等的实根 34“非p”必须使用否定词语 写“非p”时还要注意，必须使用否定词语对正面叙述的词语进行否定 例7p：方程560有实根写出“非p” 错解：方程560有虚根 尽管“虚”是对“实”的否定，但“虚”不是否定词，“方程560有虚根”仍是简单命题，正确答案为：方程560无实根 六、给定一个复合命题，写出构成它的简单命题时应注意的问题 例8指出构成下列复合命题的简单命题： （1）实数的平方是正数或0； （2）4的平方根是2或-2； （3）方程（1）（2）0的根为1或2； （4）四边相等且四个角相等的四边形是正方形. 解：（1）p：实数的平方可能是正数； ?q：实数的平方可能是0 注：因为实数的平方只有正数或0两种情况，所以由p、q构成的“p或q”中，“可能”一词就可省略而成为“实数的平方是正数或0”，文1中认为它是简单命题，这种认识是错误的同样，后三个小题的答案为： （2）p：4的平方根可能是2； q：4的平方根可能是-2 （3）p：方程（x-1）（x-2）=0的一个根是1； q：方程（x-1）（x-2）=0的一个根是2 （4）p：四边相等的四边形可能是正方形； q：四个角相等的四边形可能是正方形 在由p、q写“p或q”、“p且q”时，有些词语可以省略，反过来由“p或q”、“p且q”写p、q时，省略的词语必须补上而由“非p”写p时，必须先搞清“非p”的条件和结论 结束语：命题的结构问题是很复杂的，中学只研究结构简单的命题