四元数等超复数的解析与物理铨释.pdf

1 四元数等超复数的解析与物理铨释四元数等超复数的解析与物理铨释 李裕信 湖南省长沙市邮政局 湖南长沙 410001 E mail lyx9989 摘摘 要 要 从 Hamilton 四元数的代数结构出发 本文讨论了实系数四元数的 Pauli 矩阵表示形 式 Dirac 矩阵表示形式 指数表示形式 三角表示形式等九种表示式 四元数的转动算符特 性以及在四元数环和 Dirac 环中实数复数开方运算的无穷多个根的一般表示式 特别是本文 研究了四元数等超复数的物理诠释问题 解析了四元数等超复数与时空多维性 时空虚实性 自旋同位旋和物理的 手征性 效应 简并性现象 Cherenkov 辐射以及 Dirac 方程等的深刻 联系 指出了这些现象的代数本质 此外 文章还讨论了四元数形式的矢量微分运算的一组 计算公式 关键词 关键词 四元数 超复数 自旋与手征性 开方运算 简并 Cherenkov 辐射 Dirac 方程 微分算符 Hamilton 四元数的建立不仅为矢量代数和矢量分析奠定了基础 又构建了以实数为系数 的不满足乘法交换律的有限维可除代数 从而促进了代数学的发展 此外 由于它的 i j k 可用量子力学中的 pauli 矩阵表示 通过 pauli 矩阵 它就与自旋 旋量 Dirac 矩阵及空 间维数产生了关联 因此有必要对四元数的表示 运算及其数理基础进行基本意义上的解析 故特作如下铨释性的注记 1 定理定理 1 以实数为系数的四元数有下述九种以上的表示式以实数为系数的四元数有下述九种以上的表示式 3 2 1 2 11 a b b a ii ii 9 1 10 1 8 9 i I3214321Dirac I I 0 0 I 0 iI iI 0 0 I I 0 4 4 321 0 0 4 4Pauli 7 Dirac 1 8a kxjxix1 kji kji 6 1 8 sin icos 1 5 321 arccos i 1 321 7 e 4 1 6 2 1 6 6 1 0 1 0 i 0 i 0 1 0 0 1 Pauli 5 i3 Pauli 1 0 1231 1231 Civita Levi 4 321 eee eee 3 eee1 2 2 i kj i jk j ik j ki k ji k ij 1 k j i 满足 k j i 式中 为矢量部分 也称为四元数的数量部分 x xxxx其中 1 kxjxix x XHamilton 1 1 30 12 12 30 0123 1032 2301 3210 332211 2 40 2 4 321 4 0000 321321321 00 332211 2 0 2 0 3322110 3 1i 2 i b 2 3 2 2 2 1 321 4 3322110 3213210 3322110 222 03210 3210 332211 复矩阵形式 实矩阵形式 即四元数 表示 即 矩阵可用及单位阵则 矩阵满足同样代数关系的定义与 矩阵形式 矩阵写成 将矩阵表示形式 之乘积 而两四元数 中的即式 表示矢量其中 矢量形式 三角形式 显然角 之 模 为而的实数是满足 其中 指数形式 即 的定义直接计算 可得根据 矩阵其中 矩阵表示式 中有两个相同时 当 的奇置换时 是 当 的偶置换时 是 当 其值为符号是而 满足条件 为实数 且 其中 一般代数形式 后三项纯量部分 为实数 原始形式 r rr rr r rrrrrrr r r r a i 3 矩阵上述代数性质运用的实数时是满足 当 的线性组合 四种表示等价 考察 因而定理中的 式比较 即可得到 将它们与 及 即 只差一个符号或 也满足相似的关系 矩阵而由量子力学已知 反对易关系 具有 式 由它可知基底 满足 数的基底证明 由于实系数四元 Pauli 1 321 321 1 6 3 1 2 1 1 1 13 ie124 321 2 321 i 321 Pauli 12 321 2eee e e4321 e 3 1 2 3322 11 2 1 i i ii ie 到证明中的全部结论均已得得证 至此 定理 式 即式 即得 将它代入 即得两边同乘一个可在式 而因为 或 或 算 式 直接进行矩阵计 式代人 式 将 即 这就是定理中的结论 得 的条件 且可则满足令 进而可以推出 由 奇数时 偶数时 由此立即可得出 直接计算可得 1 7 9 5 I I 4 321 3 24 321 3 56 8 7 1 4 1 5 e sin icos i 1 sin cos 16 sin icos 53 1 4 1 2 1 1 5 4 1 3 2 1 i1 15 15 n n1 14 1 22 1 i 332211 2 0 2 3 2 0 2 3 2 2 0 2 2 1 2 0 2 10 3322110 2 3 2 2 2 1 2 0 2 2 0 2 0 332211 5 3 33 2211 42 332211 5 4 3322 11 3 2 332211 i 332211 n 332211 2 332211 332211 332211 注记注记 1 1 从四元数的 Pauli 表式可以看出 实系数四元数的纯数部分和矢量部分的关 系是一种 实 与 虚 的关系 因而它们可分别称为 实量部分 和 虚量部分 虚量部分形成三 维线性空间 实量部分可解释为与时间对应 物理学上的四维时空恰能用四元数描述 它和 Minkowski 空间是等效的 尽管它们有相反的虚实表示 时间对应于四元数的实量部分 三 维空间则对应于四元数的虚量部分 此外 可以认为 虚量部分存在 简并简并 现象 复数就是 三维虚量 简并 为一维的结果 注记注记 1 2 上述表达式都是针对实系数四元数写出的 对于复数系数的四元数 大多数表 达式仍可推广使用 但它的模不再保持大于 0 可能出现模小于 0 或等于 0 的情况 其性质 4 将更复杂 必须具体分析 还应注意 只有相互可对易可对易的四元数才能方便地运用指数形式或 三角形式的表达式进行运算 注记注记 1 3 任一实系数四元数写成三角形式或指数形式时 至少有两种写法 而对它们实施 开方运算的结果却是不同的 它们都是原四元数的开方结果 则它还可可写为事实上 若四元数 sin i cos A 332211 n1 n 210k n 2k sin i n 2k cos A n1 n 210k n 2k sin i n 2k cos An sin i cos A 332211 nn 332211 nn 332211 次幂都等于这两组结果的 其中 次根与上式不同 等于的而后一表达式 其中 次根为的 前者开方的结果却是不同的这两种形式的形式的值是相同的 但 显然这两种 写为 2 定理定理 2 1321k i n 3 1k 2 kk332211 满足条件 其中设单位矢量r 倍的算符 定理得证 的角度又使模伸缩到原长旋转 是既角度的算符 旋转是使矢量绕这就证明了 所以有的逆 由于四元数 故 可得按四元数的乘法公式 记为 用四元数表示而故有它们的夹角为相同 记之为 之模 显然角度后成为矢量轴旋转绕的平面上有矢量证明 垂直于 符合右手螺旋定则 的方向倍 旋转的方向与缩到原长的角度 使该矢量之模伸轴旋转绕的矢量 的平面上 它使垂直于是一种算符式 则四元数 写成三角形 A sinnA cos n sinn cos 17 sinn cos r sin rncosr r sin rncosr sin rncos raba b8a ba sin rnba cosrb a r ba b n a n nA n n sinnA cos 2 22 2 1122 22 22 5 rrr rr r rr r r rr r r r r r r r r r rrr rr rr 注记注记 2 1 17 式中的 是垂直的n r 三维矢量 若 是一般的不垂直的n r 矢量 则可 19 2 sinn 2 cos 2 sinn 2 cos 18 nn 2 1 nn n 2 1 n n nn 2 1 n nn 2 1 n n 18 sinncos nnn 4 可得 式 经过简单的推演代入 而由于 角后应变为 旋转绕 这种矢量垂直的矢量之和 平行的矢量及与将它分解为与 rr rr rrrrrrrrrrrr r rrr 总之 四元数是三维旋转的算符 三维转动由四元数产生与描述 单位矢量注意的是 转轴方向的符的连乘来表示 应该它也可用三个四元数算 当然 角的方法来完成转三个也可以采用绕座标轴旋一个三维空间的纯转动 Euler 5 的重要物理诠释 定理几何属性的反映 这是或同位旋是空间的本征 存的 自旋旋是紧密关联 相互依中的矢量 自旋或同位的标志 这说明了空间 在矩阵是自旋或同位旋存矩阵决定的 由于是由 2 Pauli Pauli i n 332211 r 注记注记 2 2 一个 n 元数域的代数结构对应着 n 维空间的几何结构 与 四元数有相同代数结构 的超复数都是产生方向和旋转的算符 自旋 同位旋或高维空间的旋转量是一种空间几何量 物理学上的服从右手螺旋定则的 电流磁效应定律 等手征性规律 其实质应是四度时空的几 何特性的反映 正像重力是时空曲率这个几何属性的反映一样 这是一种带有基本意义的类 比 代数几何属性 由四元数描述的时空的 现象 而它却根源于旋定则 关系的 环流 右手螺生一种与 方向流 有种方向 流 都可能共据此 可以认为任何一 也是由四元数的代数结构所决定的 注记注记 2 3只要其基底具有 Pauli 矩阵的代数关系 所有的超复数都能描述旋转和自旋 例 而且 若有五元超复数可表为 a a a a iaA 43322110 321 0 0 I 0 0 I 44 矩阵 若取四个基底分别为 与 满足同样的反对易代数关系 321 0 0 且1 1 22 算符 同理 它也是一个旋转与定理 满足条件其中 也可写成三角形式 则五元超复数 2 1 sin icos AA a a a a iaA 4 1k 2 kk4332211 43322110 3 定理 定理 3 记 m 元超复数的基底为 i 1 3 m21 若 满足下面的反对易关系 6 22 1A A A A A A A 21 1i i i i i 1 20 1 1 1 3n4m 1 i3 m21 ii11 3 m21 11 1 1 3 m211 1 m3 n21 0 3 1k 2 kk332211 321 2 n 1k 2 kk332211 321 n 1k 2 kk332211 321 n 1k 2 kknn33 2211nn 332211 2 的实数 是满足条件 其中 表示任一实数 则有 若记 的实数 是满足条件 其中 的实数 是满足条件 其中 即 中 特别是在四元数代数满足条件其中 和 之外还有除了的平方根而 和 之外还有除了的平方根 则 且 3 2 1 iA iA iA iA iA A 3 1k 2 kk332211 321 2 的实数 是满足条件 其中 7 27 1 iA 1 iA 1 iA 1 iA iA iA iA iA iA iA A 26 1 A 1 A 1 A 1 A A A A A A A A iiii iii iii 1 Dirac16 34n15m Dirac 25 1eeeiA iAe iAe iAe iAe iAe iAe iAe iA A 24 1eeeA Ae Ae Ae Ae Ae Ae Ae A A A3n 7m7654321 e ie1Cayley 14 11k 2 kk1414131312121111 10 8k 2 kk10109988 7 5k 2 kk776655 4 1k 2 kk44332211 154321 2 14 11k 2 kk1414131312121111 10 8k 2 kk10109988 7 5k 2 kk776655 4 1k 2 kk44332211 154321 2 432115 32114214131431243211 4310429328417316215 43210 6 4 3 1k 2 kk432211 7654321 2 3 1k 2 kk432211 7654321 2 的实数或复数是满足条件 其中 的实数或复数是满足条件 其中 的实数或复数是满足条件 其中 的实数或复数是满足条件 其中 的复数是满足条件 其中 的实数是满足条件 其中 的复数是满足条件 其中 的实数或复数 是满足条件 其中 而 手征元 基为个即 或 十六元数代数中在 的实数 是满足条件 其中 的实数 是满足条件 其中 表示任一实数 则有 若记至少为 即和若记为八元数代数中 其基底在 8 故有 和 示式 即可写成两种三角形式表正实数在四元数环中根据注记证明 sin 0 i cos 0 AA sin0 icos0 AA A 3 1 332211 22 332211 22 2 即时根等于而时根等于前一式当 AAA1k A0k 1 0k 2 2k0 sin i 2 2k0 cos iAA 1 0k 2 2k0 sin i 2 2k0 cos AA 2 332211 2 332211 2 A iAi0k 332211332211 时根等于后一式当 得到证明 式 即定理的全部结论 这就可导出 或 或 或 其中 矩阵相同的对易关系 与 分四组分别满足 和 以及 和 也由于 代数中 式 在 故按同理可得 都等于的平方易关系 同时所有 相同的反对矩阵 满足与 代数中 由于在四元数环中成立 在 故定理满足这个反对易关系 矩阵时才能成立 由于关系 满足反对易 这只有当条件是能写成三角形式的充要 能写成三角形式 而出这结果 实数必须要 式 应该注意 要得时就得到 当 式 的 这些结果就是定理中 以及 由此立即可得 时可有 而其它取满足条件其中即 时根等于而当 272610987651413121143212 Pauli Dirac25241ee Pauli eeeCayley Pauli2 1 211A 2322iA A 321s iAA iAA 321s AA 011 AA A1 iAi1k 1098765141312114321 2 421 2 332211 2 s 2 332211 2 s 2 ks 3 1k 2 kk332211 2 332211332211 注记注记3 1 很明显 所有实数 虚数和复数在四元数环或 Dirac 环上的平方根 等于它们在 复数域上的根再乘上1在四元数环或 Dirac 环上的任一根 应该注意的是 按 22 27 式得出的1的根中出现的是满 k 的实数或复数足条件1 n 1k 2 k 可以取无穷多 组数 所以任意实数 复数开方有无穷多个根 其形式也是复杂的 运用时对平方根的选定 常需要其它的约束条件 同时 需要强调的是 在四元数表象中 空间矢量的三个基底是 321 i i i 故当 量 其量是无法观测的虚矢因子却不是实矢量 充由于缺少 矢量而 是实实在在的三维空间是实数时 i i 332211332211k 注记注记3 2另外 采用定理 3 的方法也可算出之值和 332211 i 在四元数环中 9 2 2 i 2 2 321 2 2 i 2 2 2 2 i 2 2 i 332211 28 i 1i 1 2 1 i 1i 1 2 1 332211 332211 332211 29 而在 Dirac 环中 2 2 i 2 2 2 2 i 2 2 2 2 i 2 2 2 2 i 2 2 15 321 2 2 i 2 2 2 2 i 2 2 i 10109988 776655 1414131312121111 44332211 30 10 可以用等式右边各式的平方运算验证上述各公式 注记注记3 3已知四元数等超复数可以视为算符算符 特别是可以成为作用于 波函数 态函数 的算符 此时 四元数等超复数的基底前的系数可以视为算符的本征值 也可直接用算符表 示 而实数可以视为 Hermite 算符的本征值 可以直接用这个 Hermite 算符表示 例如 量 子力学中可观测物理量都是 Hermite 算符 如动量的三个分量就是 Hermite 算符 3 21 xi p h 能量 E 也是 Hermite 算符 E t i h 由相对论有关系 42 0 22 cmpcE 而 7 42 0 22 cmpc 是 实数的平方根 根据 26 式 在 Dirac 代数中它等于 42 0 22 cmpc 的实根 A 再乘以1 在 Dirac 环上的根 的实数或复数 是满足条件 其中 1 4 1k 2 kk44332211 的算符得到 和 代入即 则 可取而 pE cm cp cp cpE cm cp cp cp A Acmpc I 0 I 0 321 0 0 2 0332211 2 03322114332211443322 11 42 0 22 4 31 i 1i 1 2 1 i 1i 1 2 1 i 1i 1 2 1 i 1i 1 2 1 i 1i 1 2 1 i 1i 1 2 1 i 1i 1 2 1 i 1i 1 2 1 1414131312121111 1414131312121111 44332211 44332211 10109988 10109988 776655 776655 332211 11 32 0 cm x ci x ci x ci t i cm x ci x ci x ci t i 7 2 0 3 3 2 2 1 1 2 0 3 3 2 2 1 1 hhhh hhhh 或 进一步研究的 何物理关系 这是值得 也是对偶的 二者有 与 显然 方程 对偶 它们与 其中 量子力学方程 形式的 式 可能还有下面多种形式 例如根据 量子力学方程可能也有能量动量的 同的形式 涉及环中的平方根有多种不如此 由于实数在代数计算的结果 不仅 复数环中的方程是实数开平方在超们看到 量子力学方程 于是我这就是 3332 iiii 33 0 cm x ci x ci x ci t i Dirac 26Dirac Dirac DiracDirac 432132114214131431243211 2 014 13 13 12 12 11 11 mhhhh 注记注记3 4 既然实数的平方根可以是实数 虚数 四元数或其它的超复数 故在物理学分 析中遇到实数的平方根时 不能只注意实数根和虚数根 还应注意四元数或其它的超复数环 上的 矢量 1 i A cm Ai cm vc cm m Ai vc AiAcv vcA1 A cc v iv v v i cc v v iv iv i Dirac vc vc cm m 3 1k 2 kk3322 11 0 332211 0 22 0 332211 2222 3 1k 2 kk 332211332211 332211 22 22 0 0 v u 是介质中的光 速 很多情况下根号内的值为负 即开方后的值是一族 矢量 可认为产生了 辐射 总 之 上述结论既是符合实际情况的意义重大的新认识 也是尚待进一步深入研究的重大课 题 14 参考文献参考文献 1 余文卿 四元數與 Cayley 數 數學傳播第 15 卷 2 期或数学知识 EB OL 2002 年 4 月 26 日 2 余文卿 数系的扩充 数学天地 EB OL 16 02 11 15 3 曾谨言 自旋和 Pauli 矩阵 量子力学导论 M 北京 北京大学出版社 1992 199 201 4 P Roman 著 蔡建华 龚昌德 孙景李译 狄拉克环代数学 基本粒子理论 M 上海 上海科学技术 出版社 1966 109 124 5 刘俊峰 三维转动的四元数表述 大学物理 J 23 4 2004 年 4 月 39 43 6 王善钦 Dirac 代数与旋量分析 博士家园 论坛 EB OL 2006 年 04 月 25 日 7 周世勋 自由粒子的狄拉克方程 量子力学 M 上海 上海科学技术出版社 1961 374 385 8 曹昌祺 瓦维洛夫 切伦柯夫辐射 电动力学 M 北京 人民教育出版社 1978 227 233 Analysis and physical annotation of quaternion and other hyper complex number LI Yuxin Changsha Post Office Hunan Province Changsha China 410001 Abstract Starting from the algebraic structure of Hamilton quaternion this paper discussed Pauli matrix expression Dirac matrix expression exponential expression triangle expression and so on nine forms of expressions of the real number coefficient quaternion