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高考最后一月压轴试题训练1. 定义数列的均倒数是。（1）若数列的均倒数为，求；（2）若等比数列的公比，其均倒数为，问是否存在正整数m，使得当 时，恒成立，若存在求出m的最小值；若不存在，说明理由。2. 设函数的定义域为，且，如果为奇函数，当时，。（1）求；（2）当时，求；（3）是否存在这样的正整数k，使得当时有解。3. 已知椭圆，F1、F2为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，F1PF2的重心为G，内心为I，且有。（1）求椭圆的离心率； （2）过焦点F2的直线与椭圆C相交于点M、N，若F1MN的面积的最大值为3，求椭圆C的方程。4. 已知曲线C：xy = 1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为的直线交曲线C于另一点，点A1、A2、A3、An、的横坐标构成数列xn，其中(1) 求xn与xn+1的关系式； (2) 若，求an的通项公式；(3)求证：5 如图，已知直线l与半径为1的D相切于点C，动点P到直线l的距离为d，若（）求点P的轨迹方程； （）若轨迹上的点P与同一平面上的点G、M分别满足，求以P、G、D为项点的三角形的面积.6已知函数f(x)=ex(e是自然对数的底数)的图像为曲线C1，函数g(x)=ax的图像为曲线C2.(1)若曲线C1与C2没有公共点，求满足条件的实数a组成的集合A；(2)当aA时，平移曲线C2得到曲线C3，使得曲线C3与曲线C1相交于不同的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求证：af().7 设无穷数列an具有以下性质：a1=1；当 （）请给出一个具有这种性质的无穷数列，使得不等式 对于任意的都成立，并对你给出的结果进行验证（或证明）； （）若，其中，且记数列bn的前n项和Bn，证明：8 .设x1、x2是函数的两个极值点(1)若，求证：；(2)如果，求b的取值范围；(3)如果时，求函数的最大值h(a)9. (理)已知，数列满足，。（）(1)判断并证明函数的单调性；(2)数列满足，为的前项和。证明： 0，b0)的一条渐近线方程为x+2y=0，其左焦点到右准线的距离为(1) 求此双曲线方程；(2)过点A(，0)作斜率不为0的直线，交双曲线的右支于点C，交双曲线的左支于D，过点D作x轴的垂线，交双曲线于点M，求证：直线MC过定点24对于数列an，定义Dan为数列an的一阶差分数列，其中Dan=an+1 an (nN*)() 若数列an的通项公式 (nN*)，求Dan的通项公式；() 若数列an的首项是1，且满足Dan an=2n(1) 求证：数列为等差数列；(2)若(nN*)，求证：25已知函数 （）若存在单调递增区间，求a的取值范围； （）是否存在实数a0，使得方程内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由。参考答案1.（1）由已知 两式相减得又，（2）由已知 故是公比为2的等比数列，其均倒数为 由 即 若，则 令 恒成立。即存在m，使时，恒成立。m最小值为4。 若，故不存在正整数m，使时，恒成立。2.（1），是周期为2的周期函数。（2）。即 亦即 又（3）由得 若且时但 若则 无解 不存在满足条件的正整数k。3.（1）设，因、，则，因为，则 故点I的纵坐标与点G的纵坐标相同。因此，的内切圆半径故即 。（2）设方程为与椭圆方程联立，消去x化简得 则，故 故 令可证在 由 所求椭圆方程为4.解：（1） （2） 又 为等比数列 （3） 当n为奇数时， 当n为偶数时， 当n为奇数时，综上， 5解：（） 点P的轨迹是D为焦点，l为相应准线的椭圆. 由 以CD所在直线为x轴，以CD与D的另一个交点O为坐标原点建立直角坐标系. 所求点P的轨迹方程为 （说明：其它建系方式相应给分） （）G为椭圆的左焦点. 又 由题意，（否则P、G、M、D四点共线与已经矛盾） 又点P在椭圆上， 又 6.解：(1)因为曲线C1与C2没有公共点，则必有a0，且曲线C1在曲线C2的上方.令h(x)=ex-ax，则h(x)=ex-a，令h(x)=0得x=lna，当xlna时，有h(x)lna时，有h(x)0，则h(x)在(lnA，+)上为增函数.所以当x=lna时有h(x)min=h(lna)=a-alna0，即0a0，0.令(t)=e2t-2tet-1，则(t)=2e2t-2tet-2et=2et(et-t-1).令(t)=et-t-1，则(t)=et-10，所以(t)=et-t-1在(0，+)上为增函数，故(t)(0)=0，所以(t)0，故(t)=e2t-2tet-1在(0，+)上为增函数，所以(t)(0)=0，即e2t-2tet-10，所以原不等式成立.(14分)7解：（）令， 则无穷数列an可由a1 = 1，给出. 显然，该数列满足，且 （） 又 8解：由已知：1分故的两根1分(1) 由于由于1分( 3)得：4a 2b 0 1分(2) 由韦达定理故1分当这时，由即为增函数（也可用求导法来证），故2分当也为增函数故这时，1分综上，b的取值范围是1分(3) 1分 1分当且仅当等号成立 9(理)解：（1）0，仅当时，故在R上单调递增。（2）为奇函数，,由（1）知当时，,即也就是在上恒成立。由已知得所以所以=(文)解(1)由已知,因为,所以.(2)对于任意的数列,都有 ,所以所以=要使恒成立,只须解得9,所以的最小值是9 .10解：（1）依题目条件有，2分即， 4分 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以6分（2）由条件可知，k=1，2，n8分所以，叠加可得，而，则10分，1，2，3，n12分1，2，3，n14分得证.11、解：（I）当时， 在上是增函数，此时 当时， 当时， 在上是增函数，此时 的值域为6 分 （II）（1）若，对于任意，不存在 使得 成立8分（2）若当 时， 在-2，2是增函数， 任给， 若存在，使得成立， 则 12分 （3）若，在-2，2是减函数， 综上，实数的取值范围是16分12、13解：（）有题意和椭圆的对称性易知，是以为直角顶点的等腰直角三角形所以得点的坐标为或 （4分）（）存在，使得由，知的平分线垂直于，则 （6分）根据椭圆的对称性不妨以为研究之则联立方程组解得直线易得 而故存在使得 （13分）14解：（）是极大值点， （2分）（）令，得或由的单调性知是方程的一个根，则 （4分）方程的根的判别式又，即不是方程的根有不同于的根、。，、成等差数列 （8分）（）根据函数的单调性可知是极大值点，于是令求导时，在上单调递减即 （14分）15解：（）以直线MN为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系xOy1分PMPN(PEEM)(PFFN)MDND2或PMPN(PEEM)(PFFN)MDND23分点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线（不包含顶点），其轨迹方程为（y0）5分（）()( )0，且2，2，6分设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x12，y1)，(x22，y2)设AB：myx2，代入得，3(my2)2y230，即(3m21)y212my907分当时，y1y2，8分得，9分4，6，即46解得，m23，故tan210分当时y1y2，11分得，即2，2，2，42，0，即20即，故tan21113分由、得tan2或tan211则夹角(0，arctan，)，14分tan不存在时，直线l符合条件，故时，符合题意(0，arctan，)15分16解：（）设x1，x20，1，x1x2，则x2x10，1f(x1)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)2f(x2)f(x1)f(x2x1)20f(x1)f(x2)2分则当0x1时，f(0)f(x)f(1)3分在中，令x1x20，得f(0)2，由得f(0)2，f(0)24分当x0时，f(x)取得最小值为2；当x1时，f(x)取得最大值为36分（）在中，令x1x2，得8分则11分（）对x0，1，总存在nN，满足x13分由（）与（），得，又2x2222f(x)x2综上所述，对任意x0，1f(x)x2恒成立16分17、【解】(1)由于数列an的调和均值为， 得：当n2时，所以，又当n=1时，a1=也适合上式.an= (2)由于bn是公比为q=的等比数列，为公比为2的等比数列，其调和均值为，由不等式所以2n18n，令f(x)=2x8x1，则f(x)=2xln28,当x3时，,当x4时，,当x4时f(x)是增函数又,故当n6时，f(n)0，即2n18n恒成立，因此，存在正整数m，使得当nm,nN*时，恒成立，且m的最小值为618（理）（1）解：，3分，又等比数列中，公比，所以，；6分（2）（理）证明：，时，时，9分记，则，相减得到：，所以，13分所以。14分（文）解：（1）若直线与轴垂直，容易得到若直线与轴不垂直，则如图分别过点P、Q作左准线的垂线，垂足分别为， 得到：，由三角形相似得到所以，4分从而有：，所以得到：；6分（2）设直线的方程为代入椭圆方程得到：，设，则有：，所以，9分得到，12分当时，随着增大而增大，所以，所以斜率满足：，所以斜率的取值范围是19、解：又， .3分又6分9分当时.12分 .13分20（1），令则当时，当时，在上递减，在上递增故在处取得极（最）小值，即（当且仅当时取等号）4分（2）由，得，易知，.6分而由（1）知当时，故，9分（3）令，得或，当时，；当时，；当时，故的图象如图所示。下面考查直线与的相交问题由图可知直线与存在交点，且满足在区间上的值域为在上，为图象的极小值点过作直线与的图象交于另一点，当直线绕原点顺时钟旋转至点时，满足条件的取最小值，即的最小值为，相应区间为。14分21、（16分）（1）时，直线上有个点，直线上有 ，直线上有，直线上有 2分 2分（2）时， 时，当时， 3分 2分当 时也满足， 1分（3） ， 1分； 1分 2分当时， 1分当且时， 1分（如用其它方法比较，请对照给分）22、（18分）（1）到定点的距离等于到定直线的距离 轨迹为抛物线； 2分轨迹方程为。 2分 （2）设， 由 得， 2分同理 2分 因此方程为 即 2分 令 得 2分 设点为上一定点，则 1分 过作互相垂直的弦 设，则， 化简得即（*） 2分 假设过定点，则有 即化简得（*） 2分比较（*）、（*）得， 过定点 1分（如用其它方法，请对照给分）23本小题满分12分解：()由已知得： 2分解得： 即双曲线方程为x24y2=1 4分()设直线CD的方程为y= k(x)，k0，直线MC的方程为y= k1x+b，(k1k)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则由已知得M(x2，y2) 5分由消y整理得：(14k2)x2+4k2xk21=0(1) 6分由消y整理得：(2) 7分由题可知，x1，x2既是方程(1)的根，也是方程(2)的根 8分由(3)解得： 9分代入(4)化简整理得： 10分解得：或即直线MC的方程为(舍)，或 11分则直线MC必经过定点(2，0) 12分24本小题满分14分解：()依题意Dan=an+1 an， Dan= 3分()(1)由Dan an=2n得an+1 an an=2n，即an+1=2an+2n 4分，即 6分a1=1，是以为首项、为公差的等差数列 7分(2)由(1)知