云南省师范大学附属中学2017届高考适应性月考八理数试题-含解析-精品.doc

云南省师范大学附属中学2017届高考适应性月考（八）数理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若全集、集合、集合及其关系用韦恩图表示如图所示，则图中阴影表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】图中阴影中元素在集合A或B内,且不在内,所以图中阴影表示的集合为 ,选C.2. 已知，则是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 ,因此是“”的充分不必要条件,选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件2等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件3. 已知函数在处取得最大值，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，其中，又当时，取得最大值，所以，即，所以 ，故选A4. 若二项展开式中的系数只有第6项最小，则展开式的常数项的值为（ ）A. -252 B. -210 C. 210 D. 10【答案】C【解析】，令，所以常数项为 ，故选C点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.5. 已知正方形的边长是，依次连接正方形的各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形的各边中点又得到一个新的正方形，按此规律，依次得到一系列的正方形，如图所示，现有一只小虫从点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个新正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段，则这10条线段的长度的和是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】小虫爬行的线段长度依次组成首项为，公比为的等比数列，所以，故选B6. 已知向量与的夹角为，且，若且，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，又，所以 ，即，解得，故选C7. 若偶函数在上单调递减，则满足（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为函数为偶函数，所以， ，因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，所以，故选B8. 执行下边的语句，结果为（ ）A. 2,3 B. 2,2 C. 2,1 D. 1,2【答案】C【解析】第一步，判断成立， 判断成立， 判断成立， 判断不成立，输出；第二步，判断成立， 判断成立， 判断不成立，输出；第三步，判断不成立，结束故选C点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9. 中国古代数学家刘徽在九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图（1）（2），刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”.约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等.如图（3）（4），祖暅利用八分之一正方体去掉八分之一牟合方盖后的几何体与长宽高皆为八分之一正方体的边长的倒四棱锥“等幂等积”，计算出牟合方盖的体积，据此可知，牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设正方体的边长为，因为，所以 ，故选B10. 如图是某组合体的三视图，则内部几何体的体积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】几何体是底面为直角三角形的直三棱柱的内切球，内切球的半径即为底面直角三角形内切圆的半径，由等面积法易得，且由基本不等式，知，即，当且仅当时，等号成立令，则， 是增函数，或，所以在上是增函数，所以，所以内切球的体积的最大值为，故选D点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解11. 两条抛物线， ，联立方程消去项，得直线，称直线为两条抛物线和的根轴，若直线分别与抛物线，及其根轴交于三点，则（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】A【解析】抛物线，的根轴为，所以 ，故选A12. 定义在上的函数满足：；当时，若分别以函数的极值点和相应极值为横、纵坐标的点都在一条直线上，则的值为（ ）A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 2或3【答案】B【解析】当时，极大值为，；当时，极大值为，；当时， ，极大值为，；当时， ，极大值为，；当时，极大值为 ，以函数的极值点和相应极值为横、纵坐标的点都在一条直线上根据题意，三点共线，由斜率相等解得或者经检验，当时，直线方程为，由于是奇函数，故舍去；当时，直线方程为，符合，故选B点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向. (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知递增的等差数列中，则数列前10项的和为_【答案】100.【解析】，14. 下表所示为三种食物的维生素含量及成本，某食品厂欲将三种食物混合，制成至少含44000单位维生素及48000单位维生素的混合物100千克，所用的食物的质量分别为（千克），混合物的成本最少为_元【答案】960【解析】混合食物成本的多少受到维生素A，B的含量以及混合物总量等因素的制约，各个条件综合考虑，得消去不等式中的变量得，目标函数为混合物成本函数画出可行域如图所示，当直线过可行域内的点时，即千克，千克，千克时，成本元为最少点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15. 从双曲线的左焦点引圆的切线为，且交双曲线的右支于点，若点满足，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】设双曲线的右焦点为，点是线段的中点，点O为坐标原点， 若是靠近的三等分点，则， 由双曲线的定义，即，所以，得，所以16. 已知函数，对任意的，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，则的取值范围为_【答案】【解析】因为在区间内单调递减，所以函数在区间上的最大值与最小值分别为，则，得，整理得令，则的图象是开口向上，对称轴为的抛物线，所以在上是增函数，等价于，即，解得所以的取值范围为三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，米，从点发出的光线经水平放置于处的平面镜（大小忽略不计）反射后过点，已知米，米.（1）求光线的入射角（入射光线与法线的夹角）的大小；（2）求点相对于平面镜的垂直距离与水平距离的长.【答案】（1）（2）点相对于平面镜的垂直距离与水平距离的长分别为米、米【解析】试题分析：（1）先由余弦定理解出，再根据光的反射定律得，解得入射角（2）在中，可得，及，代入数值可得结果.试题解析：解：（）如图，由光的反射定律，在中，根据余弦定理，得因为，所以，即光线的入射角的大小为. （）据（），在中，.所以（米），（米），即点相对于平面镜的垂直距离与水平距离的长分别为米、米18. 如图，一个的矩形（），被截取一角（即），平面平面，.（1）证明：；（2）求二面角的大小的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）过作，由面面垂直性质定理得平面，即得，再在平面内，根据平几知识计算可得最后根据线面垂直判定定理得平面，即得（2）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解.试题解析：（）证明：因为，所以，所以截去的是等腰直角三角形如图，过作，垂足为，连接，因为，所以，故是等腰直角三角形，所以，所以，即因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，而，所以平面，又平面，所以 （）解：如图4，以为原点，所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则由得所以平面的一个法向量为设平面的法向量为，则由得所以平面的一个法向量为，.所以，因为二面角为钝二面角，所以二面角的大小的余弦值为点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19. 某地政府为了对房地产市场进行调控决策，统计部门对外来人口和当地人口进行了买房的心理预期调研，用简单随机抽样的方法抽取了110人进行统计，得到如下列联表（不全）：已知样本中外来人口数与当地人口数之比为3:8.（1）补全上述列联表；（2）从参与调研的外来人口中用分层抽样方法抽取6人，进一步统计外来人口的某项收入指标，若一个买房人的指标记为3，一个犹豫人的指标记为2，一个不买房人的指标记为1，现在从这6人中再随机选取3人，用表示这3人指标之和，求的分布列和数学期望.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）根据比例关系先确定外来人口数和当地人口数，求出犹豫人数，填入表格即可，（2）先确定随机变量的取法：，再利用组合数分别求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求数学期望试题解析：解：（）设外来人口中和当地人口中的犹豫人数分别为人，人，则解得 买房不买房犹豫总计 外来人口（单位：人）5101530 当地人口（单位：人）20105080 总计252065110（）从参与调研的外来人口中用分层抽样方法抽取的人中，买房1人，不买房2人，犹豫3人，所以的所有可能取值为， ， 所以的分布列为X7654P所以的数学期望是20. 已知圆经过变换后得曲线.（1）求的方程；（2）若为曲线上两点，为坐标原点，直线的斜率分别为且，求直线被圆截得弦长的最大值及此时直线的方程.【答案】（1）（2）直线被圆：截得弦长的最大值为，此时，直线的方程为【解析】试题分析：（1）根据转移法求轨迹方程：将代入得，化简可得（2）先根据斜率公式表示为，再联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得，由垂径定理得圆心到直线的距离最小时，弦长最大，而，因此当时，弦长最大，可得此时直线的方程.试题解析：解：（）将代入得，化简得，即为曲线的方程 （）设，直线与圆：的交点为当直线轴时，.由得或此时可求得 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，联立消得，所以 ， 由得，此时 圆：的圆心到直线的距离为，所以，得，所以当时，最大，最大值为，综上，直线被圆：截得弦长的最大值为，此时，直线的方程为21. 已知函数.（1）若有极值0，求实数，并确定该极值为极大值还是极小值；（2）在（1）的条件下，当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由极值定义得必有解，所以，且，根据导数可得函数先减后增，且最小值为，解得实数，最后根据导函数符号变化规律确定该极值为极大值还是极小值；（2）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值问题：利用导数研究函数单调性（递增），再根据罗比特法则求最小值，即得实数的取值范围.试题解析：解：（）若，在上单调递增，无极值，不符合题意；若，令，得，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增所以，当时，取到极小值，即令，则，当时，单调递减；当时，单调递增又，所以有唯一解 （）据（），当时，恒成立，即（）恒成立.令（），则，令（），则，（当且仅当时取“=”）当时，在单调递增，所以，即，即，所以在单调递增，所以，所以，所以，即恒成立当时，是增函数，所以，故在单调递增，所以，即，所以在单调递增，所以，所以，即恒成立当时，是增函数，当时，所以，则，使得，当时，在递减，此时，即，所以在递减，不符合题意综上所述，的取值范围是请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的方程为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线的极坐标方程为.（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若射线平分曲线，且与曲线交于点，曲线上的点满足，求.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据 将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程（2）先