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浅谈二阶导数在解高考函数题中的应用河南省郸城县第三高中 胡友全 （邮编：477150） 在历年高考试题中，导数部分是高考重点考查的内容，在六道解答题中必有一题是导数题。这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。解决这类题的常规解题步骤为：求函数的定义域；求函数的导数；求的零点；列出的变化关系表；根据列表解答问题。而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。本文试以2010年全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。例1.（全国卷第20题） 已知函数.（1） 若，求的取值范围；（2） 证明：.原解答如下:解（1）函数的定义域为（0，+）， ， ， . 令 从而当时， 故所求的范围是-1,+.证明(2)由(1)知,则 时，； .综上可知，不等式成立.对于（2）的证明，虽然过程简单，但思维难度大，对学生的观察能力和代数式的变形能力要求较高。我们可以运用二阶导数的方法加以证明：证法二:令. 因 ， 显然当时， 当时，在（0,1递减；当时，的符号仍不能判定，求二阶导数得，从而在时递增，在 1,+递增，所以当时，故成立，原不等式成立.例题2（2010年高考数学全国卷（22）小题）设函数（）证明：当时，；（）设当时，求的取值范围（原解答略）在原解答第（）问的解答中，用到了放缩代换，对考生的数学素质和解题能力要求很高，极少有考生能达到那样的要求.若用求二阶导数求解，则别有一番天地.（）解法二：由题设，若，则当；若.令，,，即原不等式成立.当从而当此时，.综上可知，.由以上两个例子可以看出，当需要判定函数的单调性而求导之后不能直接判定导数的符号时（导函数中常含有指数或对数形式），常可以考虑用二阶导数法。建议高三教师在高考数学复习时，对学生适当加以针对此类题型的指导、训练。针对训练：1、（2010年新课标全国卷第（21）题）：设函数。（1）若，求的单调区间；（2）若当时，求的取值范围2、（2008年湖南高考题改编）：已知函数，求函数的单调区间。参考答案：1、解：（1）略.（2）.当从而，,不合题意.综上可知2、解：
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