空间距离求法-学生版.doc

1.七种常见的空间中的距离(1)两点间的距离连结两点的线段的长度(2)点到直线的距离从直线外一点向直线引垂线，点和垂足间的长度(3)点到平面的距离从点向平面引垂线，点和垂足间的长度(4)平行直线间的距离从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线，点和垂足间的长度 (5)异面直线间的距离两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的公垂线段的长度(6)直线平面间的距离如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，点和垂足间的长度(7)两平行平面间的距离夹在两个平行平面之间的公垂线段的长度2求距离的常用方法与一般步骤(1)求距离的常用方法直接法：即寻找或作出与该距离相对应的垂线段，此法的关键是确定垂足的位置，然后借助于直角三角形求解等体积法：把所求的距离转化为三棱锥的高，再通过变换三棱锥的顶点，由同一棱锥的体积是不变的，求出相应的距离 (2)求距离的一般步骤“一作”：即先作出表示距离的线段(要符合作图规则，避免随意性)；“二证”：即证明所作的线段符合题目的要求为所求线段(证明要符合逻辑且推理正确)；“三计算”：即将所求线段放置在三角形中，解三角形求取或利用等积法求取1.已知平面平面，直线m，直线n，点Am，点Bn，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则()AbcaBacbCcab Dcba2在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB2，AA11，则点A到平面A1BC的距离为()A. B. C. D.3已知长方体ABCDA1B1C1D1中，棱A1A5，AB12，那么直线B1C1到平面A1BCD1的距离是()A5 B. C. D84四边形MNPQ是边长为a的菱形，NMQ60，将此菱形沿对角线NQ折成60的二面角，则此时MP与NQ间的距离为()A. B.a C.a D.a5在RtABC中，C30，B90，D是BC的中点，AC2，DE平面ABC，DE1，则点E到斜边AC的距离是()A. B. C. D. 类型一点到直线的距离解题准备：求点到直线的距离的关键是作出点到直线的垂线在垂足的位置不容易确定时通常可以借助三垂线定理或其逆定理，先作出较容易的垂线，再进行证明即可【典例1】如图，已知四边形ABCD是正方形，PD平面ABCD，若ABa，PDa，求：(1)P到正方形各顶点的距离；(2)P到正方形各边的距离；(3)P到两条对角线的距离 点评(1)求点到点的距离及点到直线的距离，关键是找到这个距离，两点间的距离较容易求，点到直线的距离则往往需要利用三垂线定理或其逆定理(2)求点A到直线l的距离时，一般有两种情形：能直接找到垂线段时，在某个三角形中求出它的长；当没有现成的垂线段时，一般地，可以过点A作直线l所在平面的垂线，过垂足M作直线l的垂线，得另一垂足N，连结AN.由三垂线定理可得ANl，则AN的长就是点A到直线l的距离探究1：菱形ABCD中，BAD60，AB10 cm，PA平面ABCD，且PA5 cm，求：(1)点P到CD的距离；(2)点P到BD的距离；(3)点P到AD的距离点评：求点到直线的距离，除利用平面图形性质和直线与平面垂直的性质外，三垂线定理和它的逆定理是不可忽视的重要方法类型二点到平面的距离解题准备：求点到平面的距离其方法有三种：1用定义，直接作出这段距离，经论证再计算2用二面角的平面角性质：平面角的一边上任意一点到另一边的距离都垂直于第二边所在的平面先作“点”所在平面与另一边所在平面组成的二面角过“点”作平面角另一边的垂线，此垂线段长即为此“点”到“平面”的距离3转化为锥体的高，用三棱锥体积公式求点到平面的距离【典例2】在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1BC1，ABCC1a，BCb.设E，F分别为AB1，BC1的中点，求证：(1)EF平面ABC；(2)求证：A1C1AB；(3)求B1到平面ABC1的距离点评求点到平面的距离，一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算；也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离如本题(3)的如下解法即用等积法VC1ABB1VB1ABC1，即A1C1ABBB1hABAC1，将各数据代入可得h的值探究2：如图所示，已知三棱柱A1B1C1ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB，AC均成45角，且A1EB1B于E，A1FCC1于F.(1)求证：平面A1EF平面B1BCC1；(2)求点A1到平面B1BCC1的距离；(3)当AA1多长时，点A1到平面ABC与到平面B1BCC1的距离相等 类型三线到平面、面到面的距离解题准备：1.求线面距离常用的方法如图，若a，作a的垂面，设垂足为A，找出和的交线l，则点A到直线l的距离就等于a和平面的距离2求平行平面距离常用的方法(1)直接利用定义求证(或连、或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之(2)把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离最后转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之【典例3】在棱长为1的正方体ABCDABCD中(1)求点A到平面BD的距离；(2)求点A到平面ABD的距离；(3)求平面ABD与平面BCD的距离；(4)求直线AB与平面CDAB的距离 点评(1)求距离的一般步骤是：一作，二证，三计算即先作出表示距离的线段，再证明它就是要求的距离，然后再计算，其中第二步的证明易被忽视，应引起重视(2)求距离问题体现了化归与转化的思想，一般情况下需要转化为解三角形探究3：如图，在棱长为2的正方体AC1中，G是AA1的中点，求BD与平面GB1D1的距离点评：求线面距离，关键是选恰当的点，本题解法一直接作出距离