二次函数与几何的综合.doc

二次函数与几何的综合 靖江外国语学校 殷建涛近年来，二次函数与几何的综合题成为中考的热点.解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，相互渗透.下面就二次函数与三角形、四边形、圆的综合运用分别举例分析.1.二次函数与三角形例1.（苏州2014）如图，二次函数y=a（x22mx3m2）（其中a，m是常数，且a0，m0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，3），点D在二次函数的图象上，CDAB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分DAE（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由分析:（1）由C在二次函数y=a（x22mx3m2）上，则其横纵坐标必满足方程，代入即可得到a与m的关系式（2）求证为定值，一般就是计算出AD、AE的值，然后相比而求其长，过E、D作x轴的垂线段，进而通过设边长，利用直角三角形性质得方程求解，是求解此类问题的常规思路，如此易得定值（3）要使线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，且（2）中，则可考虑若GF使得AD：GF：AE=3：4：5即可由AD、AE、F点都易固定，且G在x轴的负半轴上，则易得G点大致位置，可连接CF并延长，证明上述比例AD：GF：AE=3：4：5即可解：（1）将C（0，3）代入二次函数y=a（x22mx3m2），则3=a（003m2），解得 （2）证明：如图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N由a（x22mx3m2）=0，解得则 A（m，0），B（3m，0）CDAB，点D的坐标为（2m，3）AB平分DAE，DAM=EAN，DMA=ENA=90，ADMAEN设E坐标为，x=4m，E（4m，5），AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，,即为定值（3）如图2，记二次函数图象顶点为F，则F的坐标为（m，4），过点F作FHx轴于点H连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G tanCGO=，tanFGH=，OG=3mGF=4， AD=3，AD：GF：AE=3：4：5，以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时G点的横坐标为3m点评: 本题考查了二次函数性质、勾股定理及利用直角三角形性质求解边长等知识，总体来说本题虽难度较大，但问题之间的提示性较明显，所以是一道质量较高的题目.2.二次函数与四边形例2.(连云港2014) 已知二次函数y=x2+bx+c，其图象抛物线交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，直线l过点C，且交抛物线于另一点E（点E不与点A、B重合）（1）求此二次函数关系式；（2）若直线l1经过抛物线顶点D，交x轴于点F，且l1l，则以点C、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由（3）若过点A作AGx轴，交直线l于点G，连接OG、BE，试证明OGBE分析:（1）由二次函数y=x2+bx+c，其图象抛物线交x轴于点A（1，0），B（3，0），直接利用待定系数法求解，即可求得此二次函数关系式；（2）以点C、D、E、F为顶点的四边形构成平行四边形，有两种情形，需要分类讨论，避免漏解：若CD为平行四边形的对角线，如图21所示；若CD为平行四边形的边，如图22所示；（3）首先过点E作轴于点H，设直线CE的解析式为：y=kx+3，然后分别求得点G与E的坐标，即可证得OAGBHE，则可得AOG=HBE，继而可证得OGBE解: （1）二次函数y=x2+bx+c，其图象抛物线交x轴于点A（1，0），B（3，0）， 解得：，此二次函数关系式为：y=x24x+3；（2）假设以点C、D、E、F为顶点的四边形能成为平行四边形若CD为平行四边形的对角线，如答图21过点D作DMAB于点M，过点E作ENOC于点N，y=x24x+3=（x2）21，点D（2，1），点C（0，3），DM=1，l1l，当CE=DF时，四边形CEDF是平行四边形，ECF+CFD=180，OCF+OFC=90，ECN+DFM=90，DFM+FDM=90，ECN=FDM，ECNFDM（AAS），CN=DM=1，ON=OCCN=31=2，当y=2时，x24x+3=2，解得：x=2；若CD为平行四边形的边，如答图22，则EFCD，且EF=CD过点D作DMy轴于点M，则DM=2，OM=1，CM=OM+OC=4；过点E作ENx轴于点N易证CDMEFN，EN=CM=4x24x+3=4， 解得：x=2综上所述，以点C、D、E、F为顶点的四边形能成为平行四边形；点E的坐标为（2+，2）、（2，2）、（2+，4）、（2，4）（3）如图，过点E作EHx轴于点H，设直线CE的解析式为：y=kx+3，A（1，0），AGx轴，点G（1，k+3），即OA=1，AG=k+3，E是直线与抛物线的交点， 解得：点E（k+4，（k+1）（k+3），BH=OHOB=k+3，EH=（k+1）（k+3），OAG=BHE=90，OAGBHE，AOG=HBE，OGBE点评: 此题属于二次函数的综合题、综合性较强，难度较大，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数与二次函数的交点问题、平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用3.二次函数与圆例3.(盐城2014) 如图，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，1），另一顶点B坐标为（2，0），已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过B、C两点现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边ADy轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当AD与y轴重合时运动停止（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；（2）若运动过程中直尺的边AD交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；（3）如图，设点P为直尺的边AD上的任一点，连接PA、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ=时，线段PA、PB、PC之间的数量关系请直接写出结论，并指出相应的点P与抛物线的位置关系（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D在抛物线外）分析:（1）求C点坐标，考虑作x，y轴垂线，表示横纵坐标，易得CDAAOB，所以C点坐标易知进而抛物线解析式易得（2）横坐标相同的两点距离，可以用这两点的纵坐标作差，因为两点分别在直线BC与抛物线上，故可以利用解析式，设横坐标为x，表示两个纵坐标作差记得关于x的二次函数，利用最值性质，结果易求（3）计算易得，BC=，因为Q为BC的中点，PQ=恰为半径，P点必在圆上此时连接PB，PC，PA，因为BC为直径，故BP2+CP2=BC2为定值，而PA不固定，但不超过BC，所以易得结论BP2+CP2PA2，题目要求考虑三种情况，其中P在抛物线上时，P点只能与B或C重合，此时，PA，PB，PC可求具体值，则有等量关系解：（1）如图1，过点C作CDy轴于D，此时CDAAOB，CDAAOB，AD=BO=2，CD=AO=1，OD=OA+AD=3，C（1，3）将B（2，0），C（1，3）代入抛物线y=x2+bx+c，解得 b=，c=3，抛物线的解析式为y=x2+x3（2）设lBC：y=kx+b，B（2，0），C（1，3），来源:学.科.网，解得 ，lBC：y=3x6，设M（xM，3xM6），N（xN，xN2+xN3），xM=xN（记为x），yMyN，线段MN长度=3x6（x2+x3）=（x+）2+，（2x1），当x=时，线段MN长度为最大值（3）答：P在抛物线外时，BP2+CP2PA2；P在抛物线上时，BP+CP=AP；P在抛物线内，BP2+CP2PA2如图2，以Q点为圆心，为半径作Q，OB=2，OA=1，AC=AB=，BC=，BQ=CQ=，BAC=90，点B、A、C都在Q上P在抛物线外，如图3，在抛物线外的弧BC上任找一点P，连接PC