matlab在高数中的应用.ppt

1 学习用软件求函数微积分的方法 2 学习用软件解决微积分应用问题 1 2 高等数学与matlab 符号数学基础 符号数学工具箱 SymbolicMathToobox主要功能 符号表达式的创建 符号矩阵的运算 符号表达式的化简和替换 符号微积分 符号代数方程 符号微分方程 2 符号表达式 函数 的创建符号表达式是代表数字 函数 和变量的matlab字符串或字符串数组 1 直接法 例1 创建函数y 2x y 2 x y 2 x 1 符号变量 自变量 的建立x sym x 建立符号变量x 此后 用户可以在表达式中使用变量x进行各种运算 例2 创建函数y ax b 例3 创建函数 y sym a x b symsxy y g exp y x a x bg exp y x 提示 sym是定义单个符号 syms是创建多个符号变量 推荐使用此符号定义符号函数 2 间接法命令symsyms 关于sym和syms对单个符号变量的定义 看以下实例体会 x sym x y sym y z sym z m sym m 上式等价于 symsxyzm 注意 一次定义多个变量 用syms这种格式定义符号变量时 不要在变量名上加字符分界符 变量间用空格而不要用逗号分隔 3 符号表达式的运算 1 四则运算 例5 计算函数 clearsymsxf 2 x 3g 3 x 2 5 x 4h1 f gh2 f gh3 f gh4 f g clearf sym 2 x 3 g sym 3 x 2 5 x 4 h1 f gh2 f gh3 f gh4 f g 的四则运算 与 结果为h1 7 x 1 3 x 2h2 3 x 7 3 x 2h3 2 x 3 3 x 2 5 x 4 h4 3 x 2 5 x 4 2 x 3 2 复合运算 用compose f g 返回复合函数f g x 复合函数运算的关建是要搞清楚自变量 中间变量 因变量 clearsymsuxf sin u g x 2 h1 compose f g h2 compose g f 例求函数 结果为 h1 sin x 2 h2 sin u 2 3 反函数运算 clearsymsxf 2 x 3f1 finverse f 格式finverse f 返回f的反函数 例7 求函数 的反函数 结果为 f1 3 2 1 2 x i 符号表达式转换成数值表达式格式eval f 即求符号表达式的数值 4 符号与数值间的转换 例8 求函数 的反函数在x 3处的值 clearsymsxf 2 x 3f1 finverse f x 3y1 eval f1 反函数的自变量仍然为x ii 数值转换成符号表达式格式sym p 例9 p 1 414 q sym p p 1 4140q 707 500 还有功能更迷人的subexpr S sigma 代换 5 变量替换 主要功能1 计算函数在某一点处的函数值 2 变量之间的互相替换 格式subs f old new 用新变量new替换f中的旧变量old 例10 用变量t替换函数f 2x 3的变量x 并计算当x 3时的函数值 clearsymsxt f 2 x 3 f1 subs f x t f2 subs f x 3 例10 用变量u v分别替换函数z 2x 3y的变量x y并计算x 3 y 2时的函数值 clearsymsxyuv z 2 x 3 y z1 subs z x y u v z2 subs z x y 3 2 1符号微积分下面着重介绍一些与微积分有关的命令 这些命令都需要符号表达式作为输入量 级数求和symsum S 对通项S求和 其中k为变量且从0变到k 1 symsum S v 对通项S求和 指定其中v为变量且v从0变到v 1 symsum S a b 对通项S求和 其中k为变量且从a变到b symsum S v a b 对通项S求和 指定其中v为变量且v从a变到b 符号定义 x sym x symsxyz 不能用逗号 高等数学中的符号运算 例1 求 键入symsksymsum k 得ans 1 2 k 2 1 2 k 例2 求 键入 symsky k 2symsum y 0 10 得ans 385 键入symskxy x k k symsum y k 0 inf 得ans exp x 例3 求 阶乘的计算 symsky k z subs y k 4 极限 求极限limit P 表达式P中自变量趋于零时的极限 limit P x a 表达式P中自变量趋于a时的极限limit P x a left 表达式P中自变量x趋于a时的左极限 limit P x a right 表达式P中自变量x趋于a时的右极限 例1 求 键入P sym sin x x P1 limit P 得P1 1 例1 求 键入P sym 1 x P1 limit P x 0 right 得P1 inf 例3 求 键入 symsxhP sin x h sin x h P1 limit P h 0 得P1 cos x 导数 求导数diff S v 求表达式S对变量v的一阶导数 diff S v n 求表达式S对变量v的n阶导数 例如 设y 求 键入命令 symsxy sin x 2 x 3dy diff y x dy3 diff y x 3 例 求y sinx xex的三阶导数 键入命令 symsxy sin x x exp x dy3 diff y 3 得dy3 cos x 3 exp x x exp x 例 求y lnx x的导数 可键入命令 symsxp log x x p1 diff p x 得 p1 log x x log log x 1 log x 例 求y xf x2 的导数 可键入命令 p x f x 2 p1 diff p x 得 p1 f x 2 2 x 2 D f x 2 参数求导 隐函数求导 例 已知x 5t cos t y 8sin t 求dy dx可键入命令 symstx 5 t cos t y 8 sin t Dy diff y t diff x t 得 Dy 8 cos t 5 cos t 5 t sin t 例 求xy e x y 的导数 可键入命令 p x y exp x y p1 diff p y diff p x 得 p1 x exp x y y exp x y 上机实验题一 基础型实验1 计算下列极限 2 创建表达式f 2x 4 g 4x2 5x 2 并计算 1 f g 2 f g 3 f g 4 f g 5 f g x 6 求g的反函数 3 计算下列导数 1 2 3 4 4 求曲线在t 0相应点处的切线方程和法线方程 二 应用型实验 1 已知单摆的振动周期 其中 为摆长 单位为 设原摆长为 为使周期T增大 摆长约需加长多少 要求 1 创建周期函数的符号表达式 2 对符号表达式求导 3 将符号表达式转换成数值 2 一只在星际空间飞行的火箭 当它以恒定速率燃烧它的燃料时 运动函数表示为 其中 的喷出气流相对于火箭体的 其 喷射速度是一个常量 是与燃烧速率 成正比的一个常量 1 求此火箭的速度表达式 2 求此火箭的加速度表达式 3 设 并设燃料在 内燃烧完 求 和 时的速度 4 求在 和 时的加速度 积分 求积分int P 对表达式P进行不定积分 int P v 以v为积分变量对P进行不定积分 int P v a b 以v为积分变量 以a为下限 b为上限对P进行定积分 例1 求 可键入symsxy 2 x 1 x 2 2y1 int y 得y1 1 1 x 2 例3 求 可键入y1 int x 1 z 2 z 得y1 atan z x 例2 求 可键入symsxy x log 1 x y1 int y 0 1 得y1 1 4 符号积分 可键入 symsxty 2 xy1 int y sin t log t 得 y1 log t 2 sin t 2 例1 求 其中为符号表达式 上机实验题 一 基础型实验 1 计算下列不定积分 1 2 3 4 2 计算下列积分 4 3 2 1 3 求下列极限 1 2 4 求函数 的极值 二 应用型实验 空中缆绳长度问题 某旅游景点从山脚到山顶有一缆车索道 全长约 高度差为 采用循环单线 修建 从下站到上站行经 个铁塔 将缆绳 分为 段 各段的水平距离用 表示 高差 用 表示 其数据见下表 每一段缆绳下垂的最低点不低于两端 铁塔最低塔顶悬挂绳处 要求 1 用折线法 2 用抛物线法 估计整个索道工程所用的缆绳总长度 泰勒展式 泰勒展开及一元函数极值1 学习用软件求函数的泰勒展开式 通过绘制泰勒多项式的图形 直观理解泰勒多项式在局部逼近函数的意义 2 掌握用软件求一元函数极值的法 复杂表达式的化简 symsxyzabcf x y a b c z x a 2pretty f 常用化简命令 降幂排列 collect P x 2 展开 expand P 3 重叠 horner P 4 因式分解 factor P 5 化简 simplify P 1 泰勒展开命令 格式 说明 例1 对函数 1 求麦克劳林展开式的前4 5 6项 2 计算处的函数值及近似值 并并比较误差 symsxf exp x f1 taylor f 4 f2 taylor f 5 f3 taylor f x 0 1 ff ff1f2f3 yy eval ff e yy 234 yy 1 计算y exp x 的4 5 6阶麦克劳林展式在0 1处的值 计算展开式与真实值的误差 f exp x f1 1 x 1 2 x 2 1 6 x 3f2 1 x 1 2 x 2 1 6 x 3 1 24 x 4f3 1 x 1 2 x 2 1 6 x 3 1 24 x 4 1 120 x 5 yy 0 90480 90480 90480 9048e 1 0e 005 0 40850 0082 0 0001 例2 求 在 处的 阶泰勒展开式和 处的 阶泰勒 展开式 clearsymsxy cos x f1 taylor y 3 f2 taylor y 10 5 y cos x 在x 10处的5阶泰勒展式 例2 分别求函数 在 和 处的泰勒展开式的前 项 clearsymsxu f1 taylor 1 1 x u x 3 0 f2 taylor 1 1 x u u 3 0 结果为 f1 1 u x u 1 2 u u 1 x 2f2 1 log 1 1 x u 1 2 log 1 1 x 2 u 2 2 一元函数极值 格式x fminbnd fun x1 x2 x y fminbnd fun x1 x2 其中 是函数字符串或函数文件创 建的函数 是搜索极值的区间端点 是所求的极小值点坐标和函数 值 例4 求函数的极值 cleary1 2 x 3 9 x 2 12 x 3 ezplot y1 0 4 画出图像 xmin ymin fminbnd y1 1 5 2 5 y2 2 x 3 9 x 2 12 x 3 xmax y fminbnd y2 0 5 1 5 ymax y 求极大值 例5 墙高 尺 距屋边 用一梯子由地面经过墙顶至屋边 如 梯子长度为 尺 则墙高最大为多少尺 问 梯长最短为多少 解 1 梯长 尺 果有一 结果为 xmin 18 0000 clearL sqrt x 8 2 27 2 1 8 x 2 ezplot L 10 60 xmin Lmin fminbnd L 15 20 Lmin 46 8722 2 梯长 时 b x 7 8 x sqrt 45 2 7 8 x 2 ezplot b 0 25 xmax bb fminbnd bb 15 20 b bb xmax 17 2903 bb 25 7429 b 25 7429 上机实验 一 基础型实验 1 对函数 在 展开为 阶泰勒公式 2 对函数 1 分别展开为1 3 5阶麦克劳林公式 2 计算 的近似值 并比较误差 3 求函数 的极值 二 应用型实验 1 一幢楼房的后墙紧靠一个温室 温室宽 高 现用一梯子越过温室 一头 放在地平面 一头靠在楼房墙上 问梯子的 最小长度是多少 如果有一梯子长度为 问温室最多能修多高 2 飞越黄河十字壶口 为迎接香港回归 柯受良1997年6月1日 驾车飞越黄河壶口 东岸跑道长 柯受良 驾车从跑道东端起动到达跑道终端时速度为 他随即从仰角 冲出 飞越跨度为 安全落到西岸木桥上 问 1 柯受良跨越黄河用了多长时间 西 2 若起飞点高出河面 车飞行的最高点离河面多少米 柯受良驾 3 西岸木桥桥面与起飞点的高度差是多少米 要求 1 创建符号运动方程 2 解方向符号方程 3 先求符号极值 方向 再转 换成数值极值 东 第二次上课的 第二次上课的 多元函数微分 一 多元函数z f x1 x2 xn 的求导命令 多元函数微分 例1 设 z x4 y4 4x2y2 求 clearsymsxyzz x 4 y 4 4 x 2 y 2 zxx diff z x 2 zyy diff z y 2 zxy diff diff z x y 运行结果 zxx 12 x 2 8 y 2zyy 12 y 2 8 x 2zxy 16 x y clearsymsxyFF sin y exp x x y 2 yx diff F x diff F y 求 例2 隐函数求导 设siny ex xy2 0 运行结果 yx exp x y 2 cos y 2 x y clearsymsxyzuu x sin y 2 exp y z du diff u x dx diff u y dy diff u z dz 例3 计算函数的全微分 运行结果 du dx 1 2 cos 1 2 y exp y z dy exp y z dz 二 多元函数的极值1 无条件极值 1 命令格式 步骤 绘制曲面图形 观察极值点用命令求极值 例4 求函数f x3 y3 3x2 3y2 9x的极值x 4 0 5 4 y x X Y meshgrid x y f X 3 Y 3 3 X 2 3 Y 2 9 X surf X Y f f1 x 1 3 x 2 3 3 x 1 2 3 x 2 2 9 x 1 x1 f1min fminsearch f1 2 0 运行结果 x1 1 00000 0000f1min 5 0000f2 x 1 3 x 2 3 3 x 1 2 3 x 2 2 9 x 1 x2 f2min fminsearch f2 2 3 运行结果 x2 3 00002 0000f2min 31 0000fmax f2min运行结果 fmax 31 0000即极小值f 1 0 5 极大值f 3 2 31 2 用判定定理求极值 解方程组 对每一驻点 x0 y0 求出二阶偏导数的值 A fxx x0 y0 B fxy x0 y0 C fyy x0 y0 判别 若AC B2 0且A0且A 0 极小值f x0 y0 若AC B2 0 f x0 y0 不是极值 若AC B2 0 失效 例5 求例3的极值 symsxyz x 3 y 3 3 x 2 3 y 2 9 x s solve diff z x diff z y s double s xs y A diff z x 2 B diff diff z x y C diff z y 2 P A C B 2 P double subs P x y s 1 4 1 s 1 4 2 运行结果 P 727272 72 A1 double subs A x y s 1 4 1 s 1 4 2 运行结果 A1 126 186 zmin double subs z x y s 2 1 s 2 2 运行结果 zmin 5 ymin s 2 2 运行结果 ymin 0 zmax double subs z x y s 3 1 s 3 2 运行结果 zmax 31 xmax s 3 1 运行结果 xmax 3 ymax s 3 2 运行结果 ymax 2 2 条件极值 拉格朗日数乘法问题 求函数z f x y 在条件下的可能极值点 基本理论 构造拉格朗日函数其中r为参数 得x y及 则 x y 是f x y 在条件下的可能极值点 解方程组 例6 设生产某种产品的数量与所用的两种原料A B的数量x y间的关系式f x y 0 005x2y 欲用150元购料 已知A B原料的单价分别为1元 2元 问购进两种原料各多少 可使生产数量最多 解 生产数量函数 f x y 0 005x2y条件 x 2y 150 symsxyr f 0 05 x 2 y L f r x 2 y 150 s solve diff L x diff L y x 2 y 150 S double s xs ys r 运行结果 S 075010025250 fmax double subs f x y S 2 1 S 2 2 运行结果 fmax 12500 xmax S 2 1 运行结果 xmax 100 ymax S 2 2 运行结果 ymax 25 故购进原料A为100个单位 原料B为25个单位时 生产的产品最多为12500个单位 三 多元函数微分学的应用 基本理论 空间曲线 的参数方程 1 空间曲线的切线与法平面 上的点M x t0 y t0 z t0 处的切线方程为 上点M处的法平面方程为 例7 求曲线在对应于t 1的点处的切线及法平面方程 symst M t 1 t 1 t tt 2 动点M T diff M 曲线在点M的切向量 t 1 M0 eval M 运行结果 M0 0 50002 00001 0000 T0 eval T 运行结果 T0 0 2500 1 00002 0000故切线方程为法平面方程为 2 曲面的切平面与法线基本原理 曲面F x y z 在点M x0 y0 z0 的切平面方程为 Fx x0 y0 z0 x x0 Fy x0 y0 z0 y y0 Fz x0 y0 z0 z z0 0法线方程为 例8 求曲面ez z xy 3在点 2 1 0 处的切平面及法线方程 symsxyz F exp z z x y 3 求曲面的法向量 n diff F x diff F y diff F z x 2 y 1 z 0 n0 eval n 运行结果 n0 120故切平面方程 x 2 2 y 1 0即x 2y 4 0法线方程为 3 近似计算基本理论 二元函数z f x y 在点p x y 处的改变量 z dz fx x y x fy x y y亦即f x x y y f x y dzz的绝对误差 z dz fx x y x fy x y y其中x y的绝对误差 x x y y 例9 有一无盖圆柱形容器 容器的壁与底的厚度为0 1cm 内高为20cm 内半径为4cm 求容器外壳所含体积的近似值 z的相对误差 解 设容器内半径为r 内高为h 则容器内体积为v r2hr0 4h0 20 r 0 1 h 0 1容器外壳所含体积v1 v r0 h0 vr r0 h0 r vh r0 h0 h symsrh v pi r 2 h vv diff v r diff v h r 4 h 20 v0 eval v vv eval vv m 0 10 1 dv vv m v1 v0 dv运行结果 v1 1 06060e 003故容器外壳所含体积大约为1060 6cm3 例10 测得一块三角形土地的两边边长分别为63 0 1m和78 0 1m 这两边的夹角为60 1 试求三角形面积的近似值 求其他绝对误差和相对误差 解 如图所示 三角形的两条边长分别为a 63cm b 78cm A 60 a 0 1 b 0 1 A 1 三角形的面积 symsabA s a b sin A 2 sd diff s a diff s b diff s A a 63 b 78 A 60 pi 180 s0 eval s 运行结果 s0 2 1278e 003 sd0 eval sd m 0 10 1pi 180 ds sd0 m 运行结果 ds 27 5468 es ds s0运行结果 es 0 0129故得三角形面积的近似值为2128m2 绝对误差为27 5468m2相对误差为1 29 实验题一 基础型1 求下列函数的偏导数 1 设z yx 求 2 设z xln xy 求2 设f x y z xy2 yz2 zx2求 求fxx 0 0 1 fxz 1 0 2 fyz 0 1 0 及fzzx 2 0 1 3 求曲线x t y t2 z t3在点 1 1 1 处的切平面方程 4 求旋转椭圆球面3x2 y2 z2 16在点 1 2 3 处的切平面及法线方程 二 应用型1 某厂要造一个体积为2m3的有盖长方体箱子 应该怎样选择尺寸 才能使用料最省 2 当圆锥体形变时 它的底半径R由30cm增加到30 1cm 高H由60cm减到59 5cm 试求体积变化的近似值 多元函数积分 二重积分 在直角坐标下化为二次积分 在极坐标下化为二次积分 命令格式 例1 计算 解 symsxyI int int x 2 y 2 y 1 1 x 1 1 I 8 3 例2 计算其中D是由抛物线及直线所围成的闭区域 解 步骤 1 求与的交点 2 作积分区域图形 3 积分 symsxyF1 y 2 x F2 y x 2 s solve F1 F2 s0 double s xs y 方法1 先对x后对y积分I1 int int x y y 2 y 2 y 1 2 I1 45 8 方法2 先对y后对x积分I2 int int x y y sqrt x y 1 2 int int x y y x 2 sqrt x x 1 4 I2 45 8 例3 计算 解 将直角坐标化为及坐标进行积分 symsartI int int exp r 2 r r 0 a t 0 2 pi I exp a 2 pi pi 三重积分 选看内容 在直角坐标下化为三次积分 在柱面坐标下化为三次积分 在球面坐标下下化为三次积分 命令格式 例4 计算为三个坐标面与平面所围成的闭区域 解 步骤 1 求积分区域与OX轴的交点 2 作积分区域与XOY平面的投影图形 3 化为三次积分 symsxyz s solve x 2 y z 1 0 y 0 z 0 s0 double s xs ys z s0 100 x1 0 0 005 s0 1 y1 1 x1 2 stem x1 y1 text 0 55 0 26 y 1 x1 2 xlabel x ylabel y title 积分区域 I int int int x z 0 1 x 2 y y 0 1 x 2 x 0 1 I 1 48 例5 利用柱面坐标计算三重积分其中是由曲面与平面所围成的闭区间 解 步骤 1 将平面与曲面化为柱面坐标 2 作积分区域的图形及在平面的投影图形 3 化为柱面积分 symsxyzrt x r cos t y r sin t z1 4 0 r 0 t subplot 1 2 1 ezsurf x y z1 0 2 0 2 pi holdon z2 x 2 y 2 z2 simplify z2 ezsurf x y z2 0 2 0 2 pi title 积分区域 holdoff subplot 1 2 2 ezsurf x y z1 0 2 0 2 pi holdon ezsurf x y z2 0 2 0 2 pi view 0 90 title 积分区域投影x 2 y 2 holdoff I int int int z r z z2 4 r 0 2 t 0 2 pi z2 r 2I 64 3 pi 三 应用 例6 设球体占有闭区域它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方 试求这球体的质心 解 密度 由对称性知质心坐标为 其中 步骤 1 作积分区域的图形 2 将密度函数用球面坐标表示 3 化为球面积分 symsrst R 2 取R 2作球面图 x1 R sin s cos t y1 R sin s sin t z1 R cos s R ezsurf x1 y1 z1 0 pi 0 2 pi axisequal x r sin s cos t y r sin s sin t z r cos s p x 2 y 2 z 2 密度 Mz int int int z p r 2 sin s