数学物理方法第(梁昆淼)部分知识点.pdf

1 数学物理方法第 梁昆淼 部分知识点数学物理方法第 梁昆淼 部分知识点 1 复变函数 2 1 1 复数与复数运算 2 1 2 复变函数 2 1 3 导数 2 1 4 解析函数 2 2 复变函数的积分 3 2 1 复变函数的积分 3 2 2 柯西定理 3 2 4 柯西公式 4 3 级数 4 3 2 幂级数 4 3 4 解析函数与幂级数 4 3 5 洛朗级数 5 3 8 孤立奇点 5 4 留数 5 4 1 柯西公式的另一种形式 5 4 2 用级数分析来分析留数定理 5 4 3 无限远点的留数 6 4 4 留数定理计算型积分 6 4 7 围线积分方法 6 5 傅里叶变换 7 5 1 傅里叶级数 7 5 2 傅立叶积分 7 5 3 傅立叶变换 8 5 4 拉普拉斯变换 8 7 数学物理定解问题 9 7 1 数学物理方程的导出 9 本征函数法 10 弦振动方程的第一类边值问题 10 热传导方程第二类边值问题 11 勒让德多项式 13 微分方程的幂级数解法 13 勒让德方程的本征方程 15 贝塞尔函数 16 2 1 1 复变函数复变函数 1 11 1 复数与复数运算复数与复数运算 复数的代数式 复数的三角式 复数的指数式 复数的加法运算满足交换律 结合律 乘法满足交换律 结合律 分配率 1 21 2 复变函数复变函数 例 分别求解方程 sinz 2 cosz 2 若函数 xf在 0 z的领域内 包括 0 z本身 已经单值确定 并且 0lim 0 zfzf zz 则称 f z 在 0 z点连续 1 31 3 导数导数 若函数在一点的导数存在 则称函数在该点可导 f z u x y iv x y 的导数存在的条件 i x u y u x v y v 在点不仅存在而且连续 ii C R 条件在该点成立 C R 条件为 y yxu x yxv y yxv x yxu 1 41 4 解析函数解析函数 若函数 在点 及其邻域上处处可导 则称 在 点解析的 在区域 B 上每一点都解析 则称 是区域 B 上的解析函数 解析的必要条件 函数 在点 z 的领域内 i x u y u x v y v 存在 ii C R 条件在该点成立 解析的充分条件 3 函数 f z u iv 在领域内 i x u y u x v y v 不仅存在而且连续 ii C R 条件在该点成立 解析函数和调和函数的关系解析函数和调和函数的关系 若函数 在区域 B 上解析 则 u v 均为 B 上的调和函数 调和函数 当一个复函数 中的 u v 同时满足 2 2 x u 2 2 y u 0 它们又称为共轭调和函数共轭调和函数 由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数 但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一 定是解析函数 因为它们不一定满足 C R 条件 当知道 中的 时 如何求 通过 C R 条件列微分方程 2 2 复变函数的积分复变函数的积分 2 12 1 复变函数的积分复变函数的积分 复变函数的积分归结为两个实变函数的曲线积分 llll dyyxudxyxvidyyxvdxyxuidydxyxivyxudzzf 若曲线l由参数方程 txx tyy 21 ttt 给出 则有dtty idttxdttzidydxdz 可得积分的计算公式 dttytytxutxtytxvidttytytxvtxtytxu dtty itxtytxivtytxu dttztytxivtytxuidydxyxivyxudzzf t t t t t t t tll 2 1 2 1 2 1 2 1 性质 性质 1 常数因子可以移到积分号之外 2 函数的和的积分等于各函数的积分之和 3 反转积分路径 积分变号 4 全路径上的积分等于各段上积分之和 5 积分不等式 1 6 积分不等式 2 其中 M 是 在 上的最大值 是 的全长 2 22 2 柯西定理柯西定理 4 2 42 4 柯西公式柯西公式 柯西公式 柯西公式 柯西导数公式柯西导数公式 d z f i n zf C n n 1 2 3 3 级数级数 3 23 2 幂级数幂级数 达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法 对于幂级数 i 当极限值小于 1 时 幂级数在点 z 处绝对收敛 ii 当极限值大于 1 时 幂级数在点 z 处发散 iii 当极限值等于 1 时 敛散性不能判断 收敛半径 收敛半径 若 则幂函数绝对收敛 定理定理 幂级数的和是收敛圆内的解析函数 3 43 4 解析函数与幂级数解析函数与幂级数 泰勒展开泰勒展开 2 1 2 n zz ze n z 12 1 5 3 sin 12 n 53 n zzz zz n 2 4 2 1cos 242 n zzz z n 1 1 32 1ln 1 n 32 n zzz zz n 5 3 53 5 洛朗级数洛朗级数 洛朗级数 k k k azczf d a f i ck 2 1 称为洛朗系数 3 83 8 孤立奇点孤立奇点 非孤立奇点非孤立奇点 若函数 f z 在 z a 点的无论多么小的领域内 总有除 z a 以外的奇点 则 z a 是 f z 的非孤立 奇点 孤立奇点孤立奇点 若函数在 z a 不可导 或无定义 而在去心领域 0 z a 解析 则 z a 是 f z 的一个孤立奇 点 奇点分类奇点分类 有限远奇点 极限性质 洛朗级数 可去奇点 limf z 有限值 不含负幂项 极点 limf z 含有限个负幂项 本性奇点 limf z 无定值 含无限个负幂项 4 4 留数留数 4 14 1 柯西公式的另一种形式柯西公式的另一种形式 一阶极点留数一阶极点留数 若 g z 在单连区域 D 内解析 a 在 D 内 在 D 内作一环绕点 a 的围线 C 令 f z g z z a 则有 C asfidzzf Re2 lim Rezfazasf az 一阶极点留数的一种算法一阶极点留数的一种算法 如果 z z zf 那么 Res a a af m 阶极点的留数公式 1 1 Re 1 1 az m m m zfaz dz d m asf 4 24 2 用级数分析来分析留数定理用级数分析来分析留数定理 k k k azczf 则有 Res 1 caf 多连区域的柯西定理多连区域的柯西定理 如果在围线 C 的内部包含 n 个孤立奇点 利用多连区域的柯西定理就有 无穷远点 极限性质 洛朗级数 可去奇点 limf z 有限值 不含正幂项 极点 limf z 含有限个正幂项 本性奇点 limf z 无定值 含无限个正幂项 6 n k k C asfidzzf 1 Re2 4 34 3 无限远点的留数无限远点的留数 1 2 1 Recdzzf i sf 定理定理 1 如果当 z 时 若 zf z 0 则 Resf 0 定理定理 2 0 Re Resf a 1 k sf n k 4 44 4 留数定理计算型积分留数定理计算型积分 第一种类型 第一种类型 2 0 sin cosdR型积分型积分 令 i ez izdzd 2 1 cos 1 zz 2 1 sin 1 zz 1 2 0 sin cos z dzzfdR 在单位圆内各个奇点的 留数之和 第二种类型 第二种类型 dxxf 型积分 型积分 注意 需要满足条件0 lim z zzf idxxf 2 在上半平面的奇 点留数之和 界限上的乘以 0 5 第三种类型 第三种类型 dxexf imx 型积分型积分 注意需要符合条件0 lim z zf i2 dxexf imx f z eimz在上半平面的奇点留数之和 4 74 7 围线积分方法围线积分方法 泊松积分 泊松积分 abax e a bxdxe 4 0 22 2 1 cos 菲涅尔积分 菲涅尔积分 22 1 sincos 0 2 0 2 dxxdxx 7 5 5 傅里叶变换傅里叶变换 5 15 1 傅里叶级数傅里叶级数 若函数 以 2 为周期 将 展开为级数 傅里叶系数 1 1 其中 2 0 1 0 若周期函数若周期函数 f x 是奇函数 是奇函数 则展开为傅里叶正弦级数 1 若周期函数若周期函数 f x 是偶函数 是偶函数 则展开为傅里叶余弦级数 1 定义在有限区间上的函数的傅里叶展开 定义在有限区间上的函数的傅里叶展开 0 0 这时应延托成为奇周期的函数 0 0 这时应延托成为偶周期的函数 5 25 2 傅立叶积分傅立叶积分 0 sin cos dkkxkDkxkCxf dkfkD dkfkC sin 1 cos 1 C k 是偶函数 D k 是奇函数 傅里叶公式傅里叶公式 令 2 1 kiDkCkf 则dkekfxf ikx d efkf ik 2 1 1 kfFxf xfFkf 8 5 35 3 傅立叶变换傅立叶变换 线性定理线性定理 22112211 fFCfFCfCfCF 导数定理导数定理 xfikFxfF xfFik dx xfd F n n n 积分定理积分定理 1 0 xfF ik dfF x x 延迟定理延迟定理 0 0 xfFexxfF ikx 相似定理相似定理 1 a k f a axfF 卷积定理卷积定理 2 2121 kfkfdxffF 5 45 4 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 dtetp pt 0 注意当 t 1 时 42 cos 2 2 3 xO m x n xJm M 阶贝塞尔方程的本征问题阶贝塞尔方程的本征问题 0 2 2 R m d dR d d 自然边界条件自然边界条件 0 00 k 边界条件 边界条件 0 b R d dR 本征函数 本征函数 nmn JR 本征值 本征值 0 bJbJ mm 的解的解 18 正交性 正交性 b jmnm dJJ 0 0 模 模 b nmn dJN 0 22 1 2 2 2 2 2 bJ b m bJ a b nm n nm 展开定理展开定理 1 n nmnJ ff b nm n n dJf N f 0 2 1 贝塞尔函数的性质贝塞尔函数的性质 母函数 母函数 m m m z z x z