高中数学必修五_知识点总结【经典】.pdf

第 1 页 共 1 页 必必 五五 知知识识点点总总结结 第第一一章章 解解三三角角形形知知识识要要点点 一一 弦弦定定理理和和余余弦弦定定理理 1 弦定理 在C 中 a b c 别 角 C的对边 则 2 sinsinsin abc R C R C 的外接圆的半 2 弦定理的变形 式 2 sinaR 2 sinbR 2 sincRC sin 2 a R sin 2 b R sin 2 c C R sin sin sina b cC 3 角形面 式 111 sinsinsin 222 C SbcabCac 4 余弦定理 在C 中 222 2cosabcbc 推论 bc acb A 2 cos 222 Baccabcos2 222 推论 Cabbaccos2 222 推论 ab cba C 2 cos 222 二二 解解 角角形形 处理 角形问题 必 结合 角形全等的判定定理理解斜 角形的四类基 可解型 特 别要多角度 几何作图 角函数定 余弦定理 勾股定理等角度 去理解 边边角 型问题可能 两解 一解 无解的 种情况 根据已知条 判断解的情况 并能 确求解 1 1 三三角角形形中中的的边边角角关关系系 令 角形内角和等于 令8代 ac bca B 2 cos 222 第 2 页 共 2 页 以 角形中任意两边之和大大于于第 边 任意两边之差小小于于第 边 3 角形中大边对大大角 小边对小小角 4 弦定理中 a 2R sinA b 2R sinB c 2R sinC 其中 R 是 ABC 外接圆半 5 在余弦定理中 2bccosA 222 acb 6 角 形 的 面 式 S 2 1 ah S 2 1 absinC 2 1 bcsinA 2 1 acsinB S cPbPaPP 其中 h 是 BC 边 高 P 是半周长 2 2 利利用用正正 余余弦弦定定理理及及三三角角形形面面积积公公式式等等解解任任意意三三角角形形 令 已知两角 一边 求其它边角 常选用 弦弦定理 以 已知两边 其中一边的对角 求另一边的对角 常选用 弦弦定理 3 已知 边 求 个角 常选用余余弦弦定理 4 已知两边和它们的夹角 求第 边和其他两个角 常选用余余弦弦定理 5 已知两边和其中一边的对角 求第 边和其他两个角 常选用 弦弦定理 3 3 利利用用正正 余余弦弦定定理理判判断断三三角角形形的的形形状状 常用方法是 边 角 角 边 4 4 三三角角形形中中的的三三角角变变换换 令 角的变换 因 在 ABC 中 A B C 所 sin A B sinC cos A B cosC tan A B tanC 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin CBACBA 以 角形边 角关系定理 面 式 弦定理 余弦定理 r 角形内 圆半 p 周长之半 3 在 ABC 中 熟记并会证明 A B C 等差数列的充 必要条 是 B 60 ABC 是 角形的充 必要条 是 A B C 等差数列且 a b c 等比数列 第 3 页 共 3 页 解解 角角形形的的应应用用 1 1 坡坡角角和和坡坡度度 坡面 水 面的锐二面角叫做坡角 坡面的垂直高度h和水 宽度l的比叫做坡度 用 i表示 根据定 可知 坡度是坡角的 即tani l h 2 2 俯俯角角和和仰仰角角 如图所示 在同一铅垂面内 在目标视线 水 线所 的夹角中 目标视线在水 视线 的 方时叫做仰角 目标视线在水 视线的 方时叫做 角 3 3 方方位位角角 指 方向 时针转到目标方向线的水 角 如 B 点的方位角 注 仰角 角 方位角的区别是 者的参照 同 仰角 角是相对于水 线而言 的 而方位角是相对于 方向而言的 4 4 方方向向角角 相对于某一 方向的水 角 第 4 页 共 4 页 5 5 视视角角 由物体两端射出的两条 线 在眼球内交 而 的角叫做视角 第第二二章章 数数列列知知识识要要点点 一一 数数列列的的概概念念 1 数数列列的的概概念念 一般地 按一定 序排列 一列数叫做数数列列 数列中的 一个数叫做 个数列的 数 列的一般形式可 写 123 n a a aaLL 简记 数列 n a 其中第一 1 a也 首首 n a是数列的第n 也叫做数列的通通 数列可看作是定 域 整数集N 或它的子集 的函数 自变 小到大取值时 该函数对应的一列函数值就是 个数列 2 数数列列的的 类类 按数列中 的多数 1 穷穷数数列列 数列中的 限个 即 数 限 2 无无穷穷数数列列 数列中的 无限个 即 数无限 3 通通 式式 第 5 页 共 5 页 如果数列 n a的第n n a 数n之间的函数关系可 用一个式子表示 n af n 那 个式子就叫做 个数列的通通 式式 数列的通 式就是相应函数的解 析式 4 数数列列的的函函数数特特征征 一般地 一个数列 n a 如果 第二 起 一 都大于它前面的一 即 1nn aa 那 个数列叫做递递增增数数列列 如果 第二 起 一 都小于它前面的一 即 1nn aa 递增数列 0 n da 且 即首 递 时 n S 最大值且 n S的最大值 所 非负数 之和 2 1 00ad且 即首负递增 时 n S 最小值且 n S的最小值 所 非 数 之和 等等比比数数列列 1 等等比比数数列列的的概概念念 如果一个数列 第二 起 一 前一 的比是同一个 零的常数 那 个数列 就叫做等比数列 个常数叫做等比数列的 比 比通常用 母q表示 0q 即 1n n a q q a 非零常数 也是证明或判断一个数列是否 等比数列的依据 2 等等比比数数列列的的通通 式式 设 等 比 数 列 n a的 首 1 a 比 q 则 通 式 1 1 nn m nm aa qa qnm nmN 3 等等比比中中 1 若aAb 等比数列 则A叫做a b的等比中 且 2 Aab 第 8 页 共 8 页 2 若数列 n a 等比数列 则 12 nnn a aa 等比数列 即 1n a 是 n a 2n a 的等比中 且 2 12 nnn aaa 反之若数列 n a满足 2 12 nnn aaa 则数列 n a是等比数列 4 等等比比数数列列的的性性质质 1 等比数列 n a中 若 mnpq mnpqN 则 mnpq aaaa 若 2mnp 则 2 mnp aaa 2 若数列 n a和 n b均 等比数列 则数列 nn ab 也 等比数列 3 等比数列 n a的首 1 a 比 q 则 11 00 101 n aa a qq 或 递 数列 1 n qa 常数列 5 等等比比数数列列的的前前n 和和 1 数列 n a的前 n 和 n S 1231 nn aaaaanN L 2 数列 n a的通 前 n 和 n S的关系 1 1 1 2 n nn S n a SSn 3 设等比数列 n a的首 1 a 比 0q q 则 1 1 1 1 1 1 n n na q Saq q q 由等比数列的通 式 前 n 和 式可知 已知 1 nn a q n a S中任意 个 便可建立方 程组求出另外两个 6 等等比比数数列列的的前前n 和和性性质质 设等比数列 n a中 首 1 a 比 0q q 则 第 9 页 共 9 页 1 连续m 的和 组 等比数列 即 12122 mmmm aaaaaa LL 21223mmm aaa L 等 比 数 列 即 232 mmmmm SSSSS L 等差数列 2 1q 时 1 11111 1 1 111111 n nnn n aq aaaaa Sqqq qqqqqq 设 1 1 a t q 则 n n Stqt 四四 递递推推数数列列求求通通 的的方方法法总总结结 1 递递推推数数列列的的概概念念 一般地 把数列的若 连续 之间的关系叫做递推关系 把表达递推关系的式子叫做递 推 式 而把由递推 式和初始条 给出的数列叫做递推数列 2 两两个个恒恒等等式式 对于任意的数列 n a恒 1 12132431nnn aaaaaaaaaa L 2 234 1 1231 0 n nn n aaaa aaanN aaaa L 3 递递推推数数列列的的类类型型 求求通通 方方法法总总结结 类类型型一一 式式法法 已知 n S 即 12 n aaaf n L 求 n a 用作差法 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 类类型型二二 累累 法法 已知 数列 n a的首 1 a 且 1 nn aaf nnN 求 n a通 第 10 页 共 10 页 给递推 式 1 nn aaf nnN 中的 n 依 取 1 2 3 n 1 可得到 面 n 1 个式 子 2132431 1 2 3 1 nn aafaafaafaaf n L 利用 式 12132431nnn aaaaaaaaaa L可得 1 1231 n aaffff n L 类类型型 累累乘乘法法 已知 数列 n a的首 1 a 且 1 n n a f nnN a 求 n a通 给递推 式 1 n n a f nnN a 中的 n 一 取 1 2 3 n 1 可得到 面 n 1 个式子 234 1231 1 2 3 1 n n aaaa ffff n aaaa L 利用 式 234 1 1231 0 n nn n aaaa aaanN aaaa L可得 1 1231 n aaffff n L 类类型型四四 构构造造法法 形形如如qpaa nn 1 n nn qpaa 1 qpbk 常数 的递推数 列都可 用 定定系系数数法法转转 比比 k的的等等比比数数列列后后 再求 n a qpaa nn 1 解解法法 把原递推 式转 1 tapta nn 其中 p q t 1 再利用换元法转 等比数列求解 n nn qpaa 1 解解法法 该类型较要复杂一些 一般地 要 在原递推 式两边同 除 1 n q 得 qq a q p q a n n n n 1 1 1 引入辅 数列 n b 其中 n n n q a b 得 q b q p b nn 1 1 再应用qpaa nn 1 的方法解决 第 11 页 共 11 页 类类型型五五 倒倒数数法法 已知 数列 n a的首 1 a 且 1 0 n n n pa arnN qar 求 n a通 1 111 1111 nn n nnnnnnn paqarrqrq a qarapaapapap ap 设 1 1 11 nn nn bb aa 则 1nn rq bb pp 若 rp 则 11 nnnn qq bbbb pp 即数列 n b是 q p 差的等差数列 若 rp 则 1nn rq bb pp 转换 类型四 五五 数数列列常常用用求求和和方方法法 令 令 式式法法 直接应用等差数列 等比数列的求和 式 整数的 方和 式 立方和 式等 式求解 以 以 组组求求和和法法 一个数列的通通 式式是由若 个等等差差或或等等比比或或可可求求和和的的数数列列组 则求和时可用 组求 和法 别求和而后相 3 3 裂裂 相相消消法法 第 12 页 共 12 页 把数列的通 拆 两 之差 在求和时一些 负负 相相互互抵抵消消 于是前 次 和就变 了首 尾少数 之和 4 4 错错位位相相 法法 如果一个数列的各 是由一个等差数列和一个等比数列对应 的乘 组 的 时可把 式 子 121nnn Saaaa L的 两 边 同 乘 比 01 q qq 且 得 到 121nnn qSa qa qaqa q L 两式错位相 整理即可求出 n S 5 5 常常用用 式式 1 方和 式 2 222 121 121 6 n nn nn L 2 立方和 式 2 2 3 333 1 121121 2 n n nnnn LL 3 裂 式 1111111 11 111 1 1 n nnnn nkknnk nnnkn knnnnk 式裂 根式裂 数数列列的的应应用用 令 令 零零 整整取取模模型型 银行 一种叫作零 整取的储蓄业 即 定时 入一笔相同数目的现金 是零 到约定日期 可 取出全部 利和 是整取 规定 入的钱 计复利 注 单利的计算是仅在原 金 计算利息 对 金所产生的利息 再计算利息 其 式 利息 金 利率 期 符号 p 表 金 n 表 期 r 表利率 s 表 金和利息和 即 利和 则 s p 1 nr 零 整取是等差数列求和在 济方面的应用 第 13 页 共 13 页 以 以 定定期期自自 转转 模模型型 银行 一种储蓄业 定期 款自 转 例如 储户某日 入一笔 1 期定期 款 1 后 如果储户 取出 利和 则银行自 办理转 业 第 2 的 金就是第 1 的 利和 注 复利是把 期 的 利和作 一期的 金 在计算时 一期 金的数额是 同的 复利 的计算 式是 s p 1 r n 定期自 转 复利 是等比数列求和在 济方面的应用 3 3 期期付付款款模模型型 期付款要求 付款金额相同外 各 付款的时间间隔也相同 期付款总额要大于一 性付款总额 二者的差额 多少 付款 关 且付款的 数越少 差额越大 期付款是等 比数列的模型 采用 期付款的方法 购买售 a 元的商品 或贷款 a 元 期付款数相同 购 买后 1 个 或 1 付款一 如 去 到第 n 付款后全部付清 如果 利率 或 利率 b 按复利计算 那 期付款 x 元满足 列关系 设第 n 款后 利 款数 n a 则 1 1 aabx 21321 1 1 1 nn aabx aabxaabx L 由 11 11 nnnn xx aabxaba bb 知 数列 n x a b 是 1 11 xxx aabxba bbb 首 1qb 比 的等比数列 1 1 1 11 n n n xxx aaqbab bbb 1 nx ab b 1 n n xx aab bb 0 n a 得 1 0 nxx ab bb 1 11 n n abb x b 第 14 页 共 14 页 第第三三章章 不不等等式式知知识识要要点点 一一 等等式式的的解解法法 1 1 不不等等式式的的同同解解原原理理 原理 1 等式的两边都 或 去 同一个数或同一个整式 所得 等式 原 等式是 同解 等式 原理 2 等式的两边都乘 或除 同一个 数或同一个大于零的整式 所得 等式 原 等式是同解 等式 原理 3 等式的两边都乘 或除 同一个负数或同一个小于零的整式 并把 等式改 第 15 页 共 15 页 变方向后所得 等式 原 等式是同解 等式 2 2 一一元元二二次次不不等等式式的的解解法法 一元二 等式的解集的端点值是对应二 方程的根 是对应二 函数的图 x 轴交点的 横坐标 二 函数 的图象 两相异实根 两相等实根 无实根 注注意意 1 一 元 二 方 程 2 0 0 axbxca 的 两 根 12 x x是 相 应 的 等 式 2 0 0 axbxca 的解集的端点的取值 是抛物线 2 0 yaxbxc a x轴的 交点的横坐标 2 表中 等式的二 系数均 如果 等式的二 系数 负 应 利用 等式的性 质转 二 系数 的形式 然后讨论解决 3 解集 0 0 0 2 0 0 axbxca 或 或 对于含 多个绝对值的 等式 利用绝对值的意 脱去绝对值符号 二二 基基 等等式式 令 基 等式 若0a 0b 则 2 ab ab 且仅 ab 时 等号 立 2 ab 数a b的算术 均数 ab 数a b的几何 均数 第 17 页 共 17 页 变形应用 2 0 0 2 ab abab 且仅 ab 时 等号 立 以 基 等式推广形式 如果 a bR 则 22 2 ab 2 ab ab 2 11 ab 且仅 ab 时 等号 立 3 基 等式的应用 设x y都 数 则 若xys 和 定值 则 xy 时 xy取得最大值 2 4 s 若xyp 定值 则 xy 时 和xy 取得最小值2p 注注意意 在应用的时候 必 注意 一一 二二定定 相相等等 个条 同时 立 4 常用 等式 2 2222 22 2abRababababab 若 则 第 18 页 共 18 页 简简单单的的线线性性规规划划问问题题 1 二元一次不等式表示平面区域 在 面直角坐标系中 已知直线 Ax By C 0 坐标 面内的点 P x0 y0 新 新 新 新 源 源源 源源 源 源 源源 源 源 源 特 特 特 特特 特特 特 王 王新 新 王 王 h t tp ww w x j kt y g c o m wx c w xc k t 1 26 c om w xc k t 1 26 c om 王 王新 新 王 王 特 特 特 特特 特特 特 源 源源 源源 源 源 源源 源 源 源 新 新 新 新 B 0 时 Ax0 By0 C 0 则点 P x0 y0 在直线的 方 Ax0 By0 C 0 则点 P x0 y0 在直线的 方 新 新 新 新 源 源源 源源 源 源 源源 源 源 源 特 特 特 特特 特特 特 王 王新 新 王 王 h t tp ww w x j kt y g c o m wx c w xc k t 1 26 c om w xc k t 1 26 c om 王 王新 新 王 王 特 特 特 特特 特特 特 源 源源 源源 源 源 源源 源 源 源 新 新 新 新 对于任意的二元一 等式 Ax By C 0 或 0 无论 B 值 是负值 们都 可 把 y 的系数变形 数 新 新 新 新 源 源源 源源 源 源 源源 源 源 源 特 特 特 特特 特特 特 王 王新 新 王 王 h t tp ww w x j kt y g c o m wx c w xc k t 1 26 c om w xc k t 1 26 c om 王 王新 新 王 王 特 特 特 特特 特特 特 源 源源 源源 源 源 源源 源 源 源 新 新 新 新 B 0 时 Ax By C 0 表示直线 Ax By C 0 方的区域 Ax By C 0 表示直 线 Ax By C 0 方的区域 新 新 新 新 源 源源 源源 源 源 源源 源 源 源 特 特 特 特特 特特 特 王 王新 新 王 王 h t tp ww w x j kt y g c o m wx c w xc k t 1 26 c om w xc k t 1 26 c om 王 王新 新 王 王 特 特 特 特特 特特 特 源 源源 源源 源 源 源源 源 源 源 新 新 新 新 2 线性规划 求线性目标函数在线性约束条 的最大值或最小值的问题 统 线性规划问题 新 新 新 新 源 源源 源源 源 源 源源 源 源 源 特 特 特 特特 特特 特 王 王新 新 王 王 h t tp ww w x j kt y g c o m wx c w xc k t 1 26 c om w xc k t 1 26 c om 王 王新 新 王 王 特 特 特 特特 特特 特 源 源源 源源 源 源 源源 源 源 源 新 新 新 新 满足线性约束条 的解 x y 叫做可行解 由所 可行解组 的集合叫做可行域 类 似函数的定 域 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解 新 新 新 新 源 源源 源源 源 源 源源 源 源 源 特 特 特 特特 特特 特 王 王新 新 王 王 h t tp ww w x j kt y g c o m wx c w xc k t 1 26 c om w xc k t 1 26 c om 王 王新 新 王 王 特 特 特 特特 特特 特 源 源源 源源 源 源 源源 源 源 源 新 新 新 新生产实际中 许 多问题都可 结 线性规划问题 新 新 新 新 源 源源 源源 源 源 源源 源 源 源 特 特 特 特特 特特 特 王 王新 新 王 王 h t tp ww w x j kt y g c o m wx c w xc k t 1 26 c om w xc k t 1 26 c om 王 王新 新 王 王 特 特 特 特特 特特 特 源 源源 源源 源 源 源源 源 源 源 新 新 新 新 3 线性规划问题一般用图解法 其步骤如下 1 根据题意 设出变 x y 2 找出线性约束条 3 确定线性目标函数 z f x y 4 画出可行域 即各约束条 所示区域的 共区域 5 利用线性目标函数作 行直线系 f x y t t 参数 6 察图形 找到直线 f x y t 在可行域 使 t 取得欲求最值的位置 确定最优解 给出答案 新 新 新 新 源 源源 源源 源 源 源源 源 源 源 特 特 特 特特 特特 特 王 王新 新 王 王 h t tp ww w x j kt y g c o m wx c w xc k t 1 26 c om w xc k t 1 26 c om 王 王新 新 王 王 特 特 特 特特 特特 特 源 源源 源源 源 源 源源 源 源 源 新 新 新 新 第 19 页 共 19 页 四四 典典型型解解题题方方法法总总结结 1 线线性性目目标标函函数数问问题题 目标函数是线性关系式如zaxbyc 0b 时 可把目标函数变形 azc y