高中数学知识点总结.pdf

编写 Reigyotoo 一 指数函数和对数函数 1 指数函数 1 图像 y ax 0 a 1 且 a 1 y ax a 1 且 a 1 y 1 y 1 2 运算法则 am an am n am an am n 2 对数函数 1 图像 y logax 0 a 1 且 a 1 y logax a 1 且 a 1 x 1 x 1 2 运算法则 logaM logaN loga M N logaM logaN loga M N logaMn n logaM alogaN N 换底公式 logNM logaM logaN 特别地 e 为底数的记作 ln 称为 自然对数 10 为底记作 lg 1 编写 Reigyotoo 二 平面向量 B 1 向量的加法 1 三角形法则 AB BC AC 首尾相连 A C D C 2 平行四边形法则 AB AD AC 合力 A B 2 向量的减法 1 与向量a 的模相等 方向相反的向量就是 a a b a b 2 反推 AB AD AC AC AD AB 3 向量坐标的运算 设向量a x1 y1 和b x2 y2 a b x1 x2 y1 y2 a b x1 x2 y1 y2 a x1 y1 a b x1 x2 y1 y2 a x2 y2 推出 4 向量位置关系的判断 设向量a x1 y1 和b x2 y2 x1 y1 交叉减交叉减 平行 平行 x x1 1y y2 2 x x2 2y y1 1 0 0 x2 y2 直线加直线加 垂直 垂直 x x1 1x x2 2 y y1 1y y2 2 0 0 2 编写 Reigyotoo 三 三角函数 1 诱导公式 1 相同的角 2k k Z 整数 2 函数名称不变 2 即 3 函数名称改变 2 2 4 目标函数符号判断 将原函数中的 看成锐角 看它变化后 就是 等 的 角落在第几象限 再根据下表判断符号 例 1 cos 1 将 看成锐角 那么 就在第三象限 2 的函数名称不变 仍为 cos 3 cos 在第三象限为 4 因此 cos cos 例 2 sin 2 1 将 看成锐角 那么 2 就在第二象限 2 2 的函数名称需改变 变为相对的 sin 3 sin 在第二象限为 4 因此sin 2 cos 第二象限 sinsin 为 第一象限 全部为 第三象限 tantan 为 第四象限 cocos s 为 3 编写 Reigyotoo 2 函数 y Asin x 的图像 1 标准图像 记住两图像的 0 点 极值 1 1 周期 2 单调区间 sinx 2k 2 2k 3 2 下降 2k 2 2k 2 上升 cosx 2k 2k 下降 2k 2 k 1 上升 2 y Asin x 的图像 先平移 再横向 再纵向 1 先向左 或右 平移 个单位 2 再横向压缩 倍 1 或拉伸 1 倍 0 1 3 再纵向拉伸 倍 1 或压缩 1 倍 0 1 3 实际例子 已知 y Asin x 极值 A A 周期 T 2 单调区间 2k 2 x 2k 3 2 得 1 2k 2 x 1 2k 3 2 1 5 0 5 0 5 1 5 0 4 2 3 4 5 4 3 2 7 4 2 sin cos 4 编写 Reigyotoo 3 三角函数的恒等变换 1 两角和 差的正弦 余弦 正切 cos cos cos sin sin 同函数异号 cos cos cos sin sin 同函数异号 sin sin cos cos sin 异函数同号 sin sin cos cos sin 异函数同号 tan tan tan 1 tan tan 上同下异 tan tan tan 1 tan tan 上同下异 2 积化和差 sin cos 1 2 sin sin cos sin 1 2 sin sin cos cos 1 2 cos cos sin sin 1 2 cos cos 3 积化和差 sin sin 2sin 2 cos 2 sin sin 2cos 2 sin 2 cos cos 2cos 2 cos 2 cos cos 2sin 2 sin 2 5 编写 Reigyotoo 4 二倍角 sin2 2sin cos cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 tan2 2tan 1 tan2 5 半角 sin 2 1 cos 2 cos 2 1 cos 2 tan 2 1 cos 1 cos 4 4 正弦定理正弦定理 外接圆半径外接圆半径 引申引申 a 2Ra 2RsinAsinA b 2RsinBb 2RsinB c 2RsinCc 2RsinC 所以 所以 a a b b c c 2R2RsinAsinA 2R2RsinBsinB 2R2RsinCsinC sinAsinA sinBsinB sinCsinC 正弦求面积 正弦求面积 5 5 余弦定理 必须倒背如流 余弦定理 必须倒背如流 记忆 所求角余弦值为记忆 所求角余弦值为 夹边平方夹边平方和和 对边平方 对边平方 2 2 倍夹边倍夹边 6 编写 Reigyotoo 6 三角函数的经典题目 1 求 sin2x cos2x 的值域 周期 单调区间 解 sin2x cos2x 2 sin2x 2 2 cos2x 2 2 2 sin2x 4 cos2x 4 2 sin2x 4 值域 2 2 周期 T 2 2 单调增区间 2k 2 2x 4 2k 2 k 3 8 x k 8 单调减区间 2k 2 2x 4 2k 3 2 k 8 x k 5 8 2 已知 tan 3 4 求 sin cos 解 tan sin cos 3 4 sin 3 4 cos 由 sin2 cos2 1 3 4 cos 2 cos2 1 25 16 cos2 1 cos 4 5 sin tan cos 3 4 4 5 3 5 sin 3 5 cos 4 5 或 sin 3 5 cos 4 5 7 编写 Reigyotoo 四 数列 1 等差数列 3 等差中项 若 a b c 成等差数列 则 a c 2ba c 2b 推广 各项下标的和相等 则各项的和和相等 例 1 5 9 2 6 7 则 a1 a5 a9 a2 a6 a7 4 证明等差数列 a an 1 n 1 a an n d d 常数常数 或或 a an n a an n 1 1 d d 常数常数 2 等比数列 3 等比中项 若 a b c 成等比数列 则 推广 各项下标的和相等 则各项的积积相等 例 1 5 9 2 6 7 则 a1 a5 a9 a2 a6 a7 4 证明等比数列 常数常数 或或 常数常数 注意 有时候在计算的结果会出现形如3an 1 2an的等式 实际上已经得证 因为该等式可变形为 即公比为即公比为 3 数列求通项公式 将题目给出的关系式通过运算得到差为常数 等 差 或商为常数 等比 若题目给出 Sn 则必有 a an n S Sn n S Sn n 1 1 不能用 不能用 S Sn n 1 1 S Sn n 这样求出来的是 这样求出来的是 a an 1n 1不是不是 a an n 例 Sn n2 1 2 n 解 an Sn Sn 1 n2 1 2 n n 1 2 1 2 n 1 2n 1 2 2 1 2 凑出 n 1 3 2 n 1 2 8 编写 Reigyotoo 4 特殊数列求和 1 错位相减 说明 凡是出现类似 n an an等形式时 都用错位相减法 要注意 an的 n 不一定是正数 也可以是负数 负的时候 要注意 实际上每一项会是 的形式 同样用此方法 例 求数列和 Sn 1 21 2 22 3 23 n 2n 解 Sn 1 21 2 22 3 23 n 1 2n n 2n 2Sn 1 22 2 23 3 24 n 1 2n n 2n 1 得 2Sn Sn n 2n 1 1 21 22 23 2n Sn n 2n 1 2 22 23 2n 等比数列求和 Sn n 2n 1 2 1 2n 1 2 Sn n 1 2n 1 2 2 积转差 说明 凡是出现类似 1 2 3 1 3 5 等分母为两数的积 的形式均可使用 例 求数列和 Sn 1 1 3 1 3 5 1 5 7 1 2n 1 2n 1 解 原式 1 2 1 1 1 3 1 3 1 5 1 5 1 7 1 2n 1 1 2 n 1 1 2 1 1 2 n 1 2n 1 4 n 1 9 编写 Reigyotoo 5 高级技巧 构造法 高考有时会出此类高难度题目 只有用构造法才可解 但比较难懂 1 已知 a1 1 an 1 2an 1 求 an 解 an 1 2an 1 设存在 k 令到 an 1 k 2 an k an 1 2an 2k k an 1 2an k 对比原式 an 1 2an 1 可知 k 1 an 1 1 2 an 1 设 bn an 1 则 bn 1 2bn 又 b1 a1 1 1 1 2 bn是首项为 2 公比为 2 的等比数列 即 bn 2 2n 1 2n 又 bn an 1 an bn 1 2n 1 2 已知 a1 1 an 1 2an n 求 an 解 an 1 2an n 设存在 k 令到 an 1 k n 1 m 2 an kn m an 1 kn k m 2an 2kn 2m an 1 2an kn m k 对比原式 an 1 2an n 可知 k 1 m 1 an 1 n 1 1 2 an n 1 设 bn an n 1 则 bn 1 2bn 又 b1 a1 1 1 1 1 1 3 bn是首项为 3 公比为 2 的等比数列 即 bn 3 2n 1 又 bn an n 1 an 3 2n 1 n 1 10 编写 Reigyotoo 3 已知 a1 1 an 1 2an 2n 求 an 解 an 1 2n 1 2an 2n 1 2n 2n 1 an 1 2n 1 2an 2n 1 2 设bn an 2n 得bn 1 bn 1 2 又 b1 a1 21 1 2 所以bn是首项为 1 2 公差为 1 2 的等差数列 bn 1 2 n 1 1 2 n 2 an 2n bn 2n n 2 n 2n 1 4 已知 a1 1 an 1 2an 3n 求 an 解 an 1 2an 3n 设存在 k 令到 an 1 k 3n 1 2 an k 3n an 1 2an 2 k 3n k 3n 1 an 1 2an k 3n对比原式 an 1 2an 3n 可知 k 1 an 1 1 3n 1 2 an 3n 设 bn an 3n 则 bn 1 2bn 又 b1 a1 31 1 3 2 bn是首项为 2 公比为 2 的等比数列 即 bn 2 2n 1 2n 又 bn an 3n an 3n 2n 11 编写 Reigyotoo 五 不等式 1 基本不等式 a b 2 ab a 0 b 0 当且仅当 a b 时取等号 运用时 更多时候是 a b 2 ab 记忆 开口向和 2 经典例题 x 0 y 0 2x y 1 求 1 x 1 y 的最小值 解 2x y 1 1 x 1 y 1 1 x 1 y 2x y 2 y x 2x y 1 2 1 2 y x 2x y 3 2 2 当且仅当 y x 2x y 时取等号 3 一元二次方程 或不等式 1 一元二次不等式相当简单 解法和一元二次方程一样 只需要知 道 大于取两边 小于取中间 高考几乎不考 例 x 3 x 3 0 则 x 3 或 x 3 x 3 x 3 0 则 3 x 3 2 韦达定理 韦达定理 超重要 平面解析几何题极可能牵涉 超重要 平面解析几何题极可能牵涉 已知一元二次方程 已知一元二次方程 axax2 2 bx c 0 bx c 0 以及它的两个解以及它的两个解 x x1 1 x x2 2 则有 则有 12 编写 Reigyotoo 4 简单的线性规划问题 高考暂不考了 例 已知 7x 7y 5 求 z 28x 21y 的最小值 7x 14y 6 14x 7y 6 x 0 y 0 1 首先将 y 单独放在左边 且令其系数为且令其系数为 1 5 7 1 2 3 7 2 6 7 0 y 0 2 看不等号开口方向 开口向 y 则图像取直线上方 小于 y 则 取直线下方 3 将目标函数根据斜率过原点画出直线 4 将该直线用直尺平移 直至接触到可行域 5 与可行域的交点确定 看直线的截距 题目要求最小值 则直 线和 y 轴截距数值最小 求最大值则和 y 轴截距数值最大 0 00 0 10 0 20 0 30 0 40 0 50 0 60 0 70 0 80 0 90 1 00 00 140 290 430 570 710 86 5 7 1 2 3 7 2 6 7 28x 21y 0 13 编写 Reigyotoo 六 立体几何 1 空间中直线与直线的关系 1 平行 2 相交 特殊 相交垂直 3 异面 特殊 异面垂直 4 异面直线所成的角 例如有 l1和 l2异面 作 l3 l1且与 l2相交 则 l3与 l2的角就是 l1 和 l2所成的角 2 空间中直线与平面的关系 1 直线在平面内 2 平行 判定 一直线平行于一平面内的一直线 则这直线平行于 这个平面 数学写法 直线 a b 平面 a b b 则 a 判定的引申 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平 面和这个平面相交 那么这条直线和交线平行 可以这么理解 过直线 的平面以该直线为轴心旋转 若这些平面于另一个平面相交 则交线和 该直线平行 见下图 3 相交 特殊情况为垂直 判定 一直线垂直于一平面内相交的两 条直线 则此直线垂直于这个平面 数学写法 直线 a b c 平面 a b a c b c A b c 则 a 线面垂直的性质 一直线垂于一平面 则该直线垂于该平面里面 的所有直线 1 2 a1 a2 a 14 编写 Reigyotoo 3 空间中平面与平面的关系 1 平行 判定 平面中的两条相交直线分别同时平行于另一个平面 则这两个平面平行 数学写法 直线 a b 平面 a b a b a b A 则 2 垂直 判定 一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个 平面互相垂直 数学写法 直线 a 平面 a a 可以理解为 过直线 a 与 垂直的平面以直线 a 为轴心旋转 这 样产生无数个平面 这些平面均与 垂直 见下图 性质 两平面垂直 其中一平面内的直线垂直于两平面的交线 则该直线垂直于另一平面 4 直线与平面所成的角 二面角 三垂线定理 1 直线与平面缩成的角 就是直线与射影成的角 如下图 1 a 2 15 编写 Reigyotoo 2 二面角 两平面各一直线均垂直于交钱且相交 则它们所成的角 就是这两个面所成的角 求二面角一般用三垂线定理 见第 3 点 3 三垂线定理 平面内的一条直线 若与穿过这个平面的一条斜 线在这个平面上的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 注意 此定理不可以直接用 需要证明 证明过程如下 证明 CA 平面 射影性质 CA 直线 a 又 BA 直线 a CA BA A CA BA 平面 ABC 直线 a 平面 ABC 直线 a CB 总结 总结 立体几何证明的常用方法 立体几何证明的常用方法 三垂线定理的证明过程是立体几何证明的常用方法 其一般流程为 已知直线 a 和三角形 ABC a 和 AB 同属平面 且 a AB 先证明直 线 CA 平面 然后因为 a 可推出 CA a 垂直于平面则垂直于 平面内所有直线 然后反过来 因为 a AB a CA 推出 a 平面 ABC 最后推出 a CB a B A C 16 编写 Reigyotoo 5 立体的体积和表面积公式 1 柱状体的体积 表面积较为简单 包括 正方体 长方体 多棱柱 圆柱 体积 V 底面积 高 表面积 S 底面积 2 底周长 高 2 锥状体的体积 表面积 包括 圆锥和多棱锥 要注意多棱锥的各侧面不一定全相等 体积 V 1 3 底面积 高 表面积 逐个算 只有圆锥体由于侧面一定为扇形 所以有公式 S圆锥 r2 rl l 为圆锥母线 就是圆锥的侧线 3 台体的体积 表面积 V正棱台 1 3 h S上底 S下底 S上底 S下底 V圆台 1 3 h r上底 2 r上底 r下底 r下底 2 S正棱台 S上底 S下底 1 2 C上底 C下底 h侧面 S圆台 r上底 r下底 l r上底 2 r下底 2 4 球体 球体 球 球 球 球 17 编写 Reigyotoo 七 七 平面解析几何平面解析几何 最重 最重要要章节 章节 1 直线 1 直线的斜率 直线与 x 轴正方向夹角的正切值 设夹角为 则斜率 k tan 画图时应如何快速判断直线的大致形状 k 0 直线平行于 x 轴 k 0 斜向第一象限 k 0 斜向第二象限 k 不存在 垂直于 x 轴 再看 y 轴截距 即 x 0 时 y 为多少 y 0 直线过 y 轴正半轴 y 0 直线过 y 轴负半轴 注意 k 0 和 k 不存在虽然是特殊情形 但做大题时应最先讨论 因为在此情形下问题会变得异常简单 这就是拿零散分的好机会 事实 上这些特殊情形也确实需要考虑 2 两点坐标求斜率 k y2 y1 x2 x1 记忆方法 两点坐标对应减 y 在上 对于两直线 斜率分别为 k1和 k2 有 k1 k2 平行 k1 k2 1 垂直 18 编写 Reigyotoo 3 直线的方程 a 点斜式 已知直线的斜率 k 和经过的一点 P x0 y0 则有 y y y y0 0 k x k x x x0 0 最常用最常用 b 斜截式 已知直线的斜率和 y 轴的截距 b 则有 y kx by kx b 较常用较常用 c 两点式 已知直线经过的两点坐标 A x1 y1 B x2 y2 则有 y y1 y2 y1 x x1 x2 x1 两点式太复杂 所以不需要记 当知道两点坐标时 可先算出直 线斜率 再用点斜式来写出直线方程 d 截距式 已知直线在 x 轴的截距 a 和在 y 轴的截距 b 则有 x a y 1 这个式没有任何用处 可能是为了和椭圆 双曲线的标准式统一 e 直线的一般方程 标准式 Ax By C 0Ax By C 0 f 中点坐标 已知两点 A x1 y1 B x2 y2 则线段线段 AB 的中点坐标为 x1 x2 2 y1 y2 2 很好理解 19 编写 Reigyotoo 2 圆 1 圆的一般方程 标准式 2 两点距离公式 两点距离公式 已知两点 A x1 y1 B x2 y2 则点 A B 的距离为 形状上类似勾股定理 3 点到直线的距离公式 点到直线的距离公式 已知点 P x0 y0 与直线 l Ax By C 0 点到直线的距离点到直线的距离 4 解题常用手段 利用垂弦定理垂弦定理 将半径 r 圆心到直线的距离 d 以及弦长的一半构造直角三角形 如下图 5 求交点坐标 就是联解方程 直线相交 可得出一个解 因为交点只有一个 或 者无解 即无交点 所以平行 而直线与曲线相交 则有三种情况 无解 无交点 一个解 相切 两个解 相交 同样也可以用点到直线距离来判断位置关系 但较麻烦 需要注意的是需要注意的是联解联解两圆 必定可以解出一条直线两圆 必定可以解出一条直线方程方程 以此判断是以此判断是 否相交错误的 应该用两圆圆心距离对比两圆半径之和来判断 否相交错误的 应该用两圆圆心距离对比两圆半径之和来判断 y A a b M r l x 0 20 编写 Reigyotoo 3 圆锥曲线 1 椭圆 定义 PF1 PF2 2a 即 椭圆是到两点距离之和为 常数的点的集合 标准方程 x2 a2 y2 b2 1 a b 0 焦点在 x 轴 或 x2 b2 y2 a2 1 a b 0 焦点在 y 轴 其中 a2 b2 c2 离心率 e 0 e 1 越接近 0 越扁 越接近 1 越圆 由离心率带出的另一定义 到定点 焦点 与定直线 准线 的 距离之比为常数 e 的点的集合 y x 0 F1 c 0 F2 c 0 a a b b P x 0 F1 c 0 F2 c 0 P y G x a2 c x a2 c e PF2 PG 21 编写 Reigyotoo 2 双曲线 定义 PF1 PF2 2a 即 椭圆是到两点距离之差为 常数的点的集合 标准方程 x2 a2 y2 b2 1 a 0 b 0 焦点在 x 轴 或 y2 a2 x2 b2 1 a 0 b 0 焦点在 y 轴 其中 c2 a2 b2 注意这里 a 不一定大于 b 与椭圆不同 判 断焦点在什么轴上应该根据 x2和 y2前面的符号判断 x2前面的符号为 焦点在 x 轴 y2前面符号为 焦点在 y 轴 离心率 e e 1 越接近 1 越接近直线 越大越扁 可无限大 由离心率带出的另一定义 到定点 焦点 与定直线 准线 的 距离之比为常数 e 的点的集合 x 0 F1 c 0 F2 c 0 a a b b P y x F1 c 0 F2 c 0 y x y x a2 c x a2 c e PF2 PG P G 渐近线 y a x 共轭双曲线 一组渐近线相同 焦点 不同的双曲线 如下图 22 编写 Reigyotoo 3 抛物线 定义 MF MG 即抛物线是定点 焦点 与定直线 准线 的距离相等的点的集合 并可知抛物线离心率 e 1 标准方程 y2 2px p 0 开口向右 y2 2px p 0 开口向左 x2 2py p 0 开口向上 x2 2py p 0 开口向下 注意 由于标准方程是 2p 但焦点 准线都是 2 所以要特 别注意标准方程中的 p 除以 4 才是焦点和准线 和初中阶段的抛物线标准方程作对比 y ax2 bx c a 0 y 1 2p x2 p 0 可看作是二次项系数为 1 2p 没有一次项 没有常数项的抛物线 方程 所以过原点 F P 2 0 x y x P 2 M G 0 23 编写 Reigyotoo 4 平面解析几何中常用的圆的性质 1 直径所对的圆周角是直角 如上图 APB 2 垂弦定理 直径垂直于弦则必平分弦 3 垂弦定理逆定理 垂直平分弦的直线必过圆心 5 对于平面解析几何或者立体解析几何 如果碰到一道题 图形的边 长全部都给出 却没有给出一个坐标 那么就尝试将图形放在直角坐标 系中 解决起来将会出乎意料地简单 6 平面几何证明 选讲 几何证明选讲中的定理基本在初中阶段都已经学过 这里就不再赘 述了 唯一没有学过的是四点共圆 四点共圆 一四边形若对角互补 则其四个端点必在同一圆上 四点共圆 一四边形若对角互补 则其四个端点必在同一圆上 题外话 任意三点必共圆 因为任意三点必确定一个三角形 而任 意的三角形都必有外接圆 所以任意三点必共圆 P A B D C O 24 编写 Reigyotoo 7 极坐标和参数方程 选讲 说明 极坐标和参数方程实际上主要应用于物理学领域 在高中数 学则属于选讲内容 然而由于其学习的主要是与直角坐标方程的互相转 化 难度不高 而且和平面解析几何的关联极大 所以在这里一并讲 高考中属于难度中等有机会拿分的题目 1 极坐标 注意极坐标系和直角坐标系的区别 极坐标系只有一根极轴 没有 y 轴 极轴绕极点旋转 极坐标系中的每一点坐标用极径 和极角 来表 示 a 极坐标方程与直角坐标方程互化 极坐标与直角坐标的关系如右图 所以 x x coscos y y sinsin 2 2 x x2 2 y y2 2 tantan x x 0 0 b 极坐标方程和直角坐标方程互化通过上述公式进行 极坐标方程 用于表达各种曲线的时候比较方便 某些特殊的曲线更是只能用极坐标 方程来表达 但在表达直线的时候极坐标方程却十分复杂和麻烦 高考一般会在考察平面解析几何时给出极坐标方程 我们要先将极 坐标方程化成直角坐标方程才可以进行下一部计算 由于难度不大 这 些分应该尽量争取 极点 o 极轴 极径 x M 极角 x y o M x y x y 25 编写 Reigyotoo 2 参数方程 a 参数方程的本质是用同一个共同的未知数 参数 来表达直角坐 标系中的 x 和 y 例如圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 转换成参数方程 r cos r sin 参数方程中未知数只剩下 b 参数方程还可以选取不同的参数 如椭圆 直角坐标系的标准方程 x2 a2 y2 b2 1 选择 作为参数 x a cos y b sin 选择 t 作为参数 x a 1 t 2 y b t c 直角坐标方程与参数方程互化 直角坐标方程转参数方程相当艰难而且难懂 高考一般只会给出参 数方程要求转成直角坐标方程 转换法则 x 与 y 的表达式同时平方 然后两式相加 减消去参数 如椭圆 x a cos y b sin 同平方 x 2 a2 cos2 y2 b2 sin2 再化简得 x2 a2 y2 b2 1 要注意参数方程常有陷阱 要注意取值范围 要注意参数方程常有陷阱 要注意取值范围 例如 x a 1 t 2 y b t 这里 x 受开方的影响只取正 椭圆变成 为参数 为参数 t 为参数 26 编写 Reigyotoo 八 高等数学 导数 1 导