2019_2020学年高中数学第4章定积分2微积分基本定理学案北师大版.docx

2微积分基本定理学 习 目 标核 心 素 养1了解微积分基本定理的含义(难点)2会利用微积分基本定理求函数的定积分(重点)1借助图形理解定积分与曲边梯形的关系，提升了学生的直观想象的核心素养.2利用微积分基本定理求定积分的学习，培养了学生数学运算的核心素养.1微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)F(x)，则有f(x)dxF(b)F(a)2定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则f(x)dxS上(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则f(x)dxS下(2)(3)(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则f(x)dxS上S下，若S上S下，则f(x)dx0.1下列定积分的值等于1的是()A.xdxB.(x1)dxC.1dx D.dxC选项A，因为x，所以xdx；选项B，因为x1，所以(x1)dx；选项C，因为x1，所以1dxx1；选项D，因为，所以dxx.2(sin x)dx等于()A0B2C2 D4A(sin x)dxcos xcos 2cos 00.3dx_.ln 2根据题意得dxln 22ln 2.利用微积分基本定理求定积分【例1】计算下列定积分(1)(x22x3)dx；(2)(cos xex)dx；(3)dx；(4) sin2dx.思路探究：(1)、(2)先求被积函数的一个原函数F(x)，然后利用微积分基本定理求解；(3)、(4)则需先对被积函数变形，再利用微积分基本定理求解解(1)(x22x3)dxx2dx2xdx3dxx23x.(2)(cos xex)dxcos xdxexdxsin xex1(3)2x1，而(x2xln x)2x1.dx(x2xln x)4ln 2(4)原式(1cos x)dx(1cos x)dx1dxcos xdx.求简单的定积分应注意两点：1掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；2精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限1dx_.ln 2dxdx(ln 11)ln 2.求分段函数的定积分【例2】计算下列定积分(1)f(x)求f(x)dx；(2)|x21|dx.思路探究：(1)按f(x)的分段标准，分成，(2,4三段求定积分，再求和(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分解(1)f(x)dxsin xdx1dx(x1)dx(cos x)x1(40)7.(2)|x21|dx(1x2)dx(x21)dx2分段函数的积分问题1本例(2)中被积函数f(x)含有绝对值号，可先求函数f(x)的零点，结合积分区间，分段求解2分段函数在区间a，b上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行3带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解2计算定积分： (|2x3|32x|)dx.解设f(x)|2x3|32x|，x3,3，则f(x)所以 (|2x3|32x|)dx利用定积分求参数探究问题1满足F(x)f(x)的函数F(x)唯一吗？提示不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值2如何求对称区间上的定积分？提示在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便【例3】(1)设函数f(x)ax2c(a0)，若f(x0)，0x01，求x0的值；(2)已知f(x)是一次函数，其图像过点(3,4)，且1，求f(x)的解析式思路探究：(1)先利用微积分基本定理求出定积分，然后列出关于x0的方程，求出x0的值(2)设出f(x)的解析式，再根据已知条件列方程组求解解(1)f(x)ax2c(a0)，且ax2c，f(x)dx(ax2c)dxcaxc，解得x0或x0(舍去)(2)依题意设一次函数f(x)的解析式为f(x)kxb(k0)函数图像过点(3,4)，3kb4.f(x)dx(kxb)dxb，b1由得，k，b，f(x)x.1含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提2计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念3若函数f(x)ax2bxc(a0)且f(1)4，f(1)1，f(x)dx3，求函数f(x)的解析式解由题意知f(1)abc4，f(1)2ab1，又由f(x)dx(ax2bxc)dx3，知c3.联立，解得a1，b3，c2，所以函数f(x)的解析式为f(x)x23x21定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数2定积分计算时常用的几个结论(1)f(x)dxf(x)dx.(2)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(acb)，该结论称为定积分对积分区间的可加性，积分区间的可加性也可以推广：f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx，其中ax1xnb.(3)若在区间a，b上，f(x)0，则f(x)dx0.推论1：若在区间a，b上，f(x)g(x)，则f(x)dxg(x)dx.推论2：|f(x)dx|f(x)|dx.(4)若函数f(x)为偶函数，则不含常数项的原函数F(x)为奇函数，f(x)dxF(x)|F(a)F(a)2F(a)；(5)若函数f(x)为奇函数，则不含常数项的原函数F(x)为偶函数，f(x)dxF(x)|F(a)F(a)0.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数()(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.()(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数()答案(1)(2)(3)2(sin xcos x)dx的值是()A0B.C2D43已知2(kx1)dx