1.1.1平面直角坐标系与曲线方程.ppt

1 1 1平面直角坐标系与曲线方程 1平面直角坐标系 教学目标 理解并能运用曲线的方程 方程的曲线的概念 建立 数 与 形 的桥梁 培养学生数形结合的意识 教学重点 求曲线的方程教学难点 掌握用直接法 代入法 交轨法等求曲线方程的方法 坐标平面上的点和有序数对建立了一一对应的关系 代数有序数对 几何点 点 曲线 坐标 方程间的关系 几何代数点点的坐标即有序实数对 x y 按规律的运动 受某关系的制约 曲线C 二元方程 研究与讨论 1 在直线坐标系中 方程与曲线 一三象限角平分线的关系是什么 答 满足方程的点在一三象限的角平分线上 在一三象限角平分线上的点同时也满足方程 研究与讨论 2 过点A 2 0 平行于轴的直线与方程的关系是什么 答 过A 2 0 平行于的直线上的点满足方程 但满足方程的点不一定在直线上 研究与讨论 3 到两坐标轴的距离相等的点的轨迹与方程 的关系是什么 答 到两坐标轴的距离相等的点不一定满足方程 但满足方程的点一定在曲线上 到两坐标轴的距离相等 问题与讨论 问题 对于曲线C与方程的关系可能有哪几种情形 情形1 在曲线C上的点满足方程 同时 以方程的解为坐标的点在曲线C上 情形2 在曲线C上的点满足方程 但以方程的解为坐标的点不一定在曲线C上 情形3 在曲线C上的点不一定满足方程 但以方程的解为坐标的点在曲线C上 情形4 曲线C上的点与以方程的解为坐标的点没有必然的联系 1 方程的曲线定义 一般地在直角坐标系中 如果某曲线C 看作适合某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程 的实数解建立了如下的关系 1 曲线C上的点的坐标都是这个方程f x y 0的解 2 以这个方程f x y 0的解为坐标的点都是曲线上的点 那么这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 对曲线的方程定义的理解 1 命题1说明 曲线上没有坐标不满足方程的点 也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而毫无例外 纯粹性 2 命题2说明 适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏 完备性 3 这两个命题是互逆的命题 并不是等价的命题 因而在证明某方程是曲线的方程时必须分别予以证明 练习A 1 下面给出的方程F与曲线C中 其中的曲线是方程的曲线的是 曲线 方程 C 练习A 2 下面给出的方程F与曲线C中 其中的曲线是否为方程的曲线 为什么 方程F 曲线C 方程F 曲线C 答 不是 因为还有满足方程的点没有在曲线上 答 是 因为曲线的方程的两个命题都成立 练习A 如图 方程表示的曲线的是 练习B 1 证明 以坐标原点为圆心 半径为5的圆的方程是 并判断点 与是否在这个圆上 分析 应该如何证明某曲线是一个方程的曲线 应该证明关于方程的曲线的两个命题都成立 如果点在方程为的曲线上 则sin 练习B证明 证明 1 设M x0 y0 是圆上任意一点 因为点M到坐标原点的距离等于5 所以 也就是 即 M x0 y0 是方程的解 2 设M x0 y0 是方程的解 那么 两边开方取算术根 得 即点M x0 y0 到坐标原点的距离等于 点M x0 y0 是这个圆上的点 由1 2可知 是以坐标原点为圆心 半径等于5的圆的方程 练习B 点是否在曲线上的检验 把点M1 3 4 的坐标代入方程 左右两边相等 3 4 是方程的解 所以点M1在这个圆上 左右两边不等 不是方程的解 所以M2不在这个圆上 要点 1 掌握证明方程是某曲线的方程的方法 要证明两个命题都成立 2 检验点是否在曲线上的方法 点的坐标是否适合曲线的方程 把M2的坐标代入方程 练习 如果点在方程为的曲线上 则sin 解 因为点 在曲线上 所以点 的坐标适合方程 所以 我们在必修课和选修1 1中学习过一些曲线的方程 阅读课本P3 如何求曲线的方程 2 求曲线方程的一般步骤 建系设标 建立适当的坐标系 用M x y 表示曲线上任意一点 列式 列出限制条件 写出满足条件p的点 的集合P p M 代入 用坐标表示条件p M 列出方程f x y 0 4 化简 化方程为最简形式 证明 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 习惯上加以补充说明 查缺补漏 说明 一般情况下 化简前后方程的解集是相同的 步骤 5 可以省略不写 如有特殊情况 可适当予以说明 另外 根据情况 也可以省略步骤 2 直接列出曲线方程 3 求轨迹方程的常见方法 1 直接法 直接法即是根据已知条件探求动点所满足的等量关系 且把这个等量关系中各个变量用动点坐标表示出来 一般有五个步骤 2 几何法 就是从问题的几何特征出发 运用平面几何的知识 建立几何图形中几何量 线段长 角等 的关系 从而可先确定出动点的轨迹是什么图形或转化为动点坐标的形式即得到所求的曲线方程 建系设点 写等式即找相等关系 等式坐标化 化简 修正 3 代入法 这个方法又叫相关点法或坐标代换法或坐标转移法或主从动点法 如果动点M x y 依赖于已知曲线F x y 0上的另一个动点P x y 而运动 则利用动点P x y 是定曲线F x y 0上的动点 另一动点M x y 依赖于P x y 那么想办法用M x y 的坐标把P x y 的坐标表示出来即关系式x f x y y g x y 后代入方程F x y 0中 得到动点P的轨迹方程 例3 已知x轴上的一定点A 1 0 Q为椭圆上的动点 求AQ中点M的轨迹方程 解 设动点M的坐标为 x y Q X0 Y0 则M是AQ的中点得 因为Q x0 y0 点为椭圆上的点 所以点M的轨迹方程是 代入法 练习C 1 根据方程F 自己构造曲线C 使曲线C满足该题所提出的要求 已知方程F 构造曲线C 使曲线C上的点都满足方程F 而满足方程F的点不全在曲线C上 已知方程F 构造曲线C 使曲线C上的点不全满足方程 而满足方程的点都在曲线C上 已知方程F 构造曲线C 使满足方程F的点都在曲线C上 且曲线C上的点都满足方程F 练习C 已知方程F 构造曲线C 使曲线C上的点都满足方程F 而满足方程F的点不全在曲线C上 解 如图 构造曲线C为双曲线 的一支 则满足曲线上的点全满足方程 而满足方程的点不全在曲线C上 或在满足方程的所有点中挖掉一部分点 练习C 已知方程F 构造曲线C 使曲线C上的点不全满足方程 而以方程的解为坐标点都在曲线C上 解 构造的曲线C是抛物线 或另外增加一条曲线 则曲线C上的点不全满足方程F 而以方程F的解为坐标的点都在曲线C上 即在方程的曲线上增加了一些点或另外的曲线 练习C 已知方程F 构造曲线C 使满足方程F的点都在曲线C上 且曲线C上的点都满足方程F 解 构造的曲线C由以原点为圆心 以1为半径的圆和直线 组成 则满足方程的点都在曲线C上 且曲线C上的点都满足方程F 学习小结 曲线与方程的关系 曲线上的每一点的坐标都满足方程 以方程的解为坐标的点都在曲线上 才称曲线为方程的曲线 方程为曲线的方程 如何证明 判断曲线是方程的曲线 方程是曲线的方程和点与曲线的关系 点 曲线 方程之间的内在联系 点 曲线 方程间的关系 几何代数点点的坐标 满足几何条件 满足代数条件 曲线 方程 点 曲线 方程间的关系 几何代数点点的坐标 满足几何条件 满足代数条件 曲线 方程 1 数轴 直线坐标系 2 平面直角坐标系 3 空间直角坐标系 任意点P 实数x 有序实数对 x y 有序实数组 x y z 建立坐标系目的是确定点的位置 创建坐标系的基本原则 1 任意一点都有确定的坐标与它对应 2 依据一个点的坐标就能确定此点的位置 求出此点在该坐标系中的坐标 阅读理解课本P2 回答思考交流问题 曲线与方程 是解析几何的重要概念 在直角坐标系中 如果曲线C上的点与一个二元方程f x y 0的实解有如下关系 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那末 这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 这段话既抽象 读起来又拗口 如何理解 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 图 1 中曲线与方程y 之间关系是符合以上两条标准的 图 2 中曲线与方程y 仅符合标准2 图 3 中曲线与方程y 仅符合标准1 则我们称图 1 的曲线是方程y 的曲线 方程y 称为图 1 中曲线的方程 而图 2 3 所示曲线则不能称为方程y 的曲线 例1判断以下方程是否为曲线的方程 1 经过点 3 0 且垂直于x轴的直线与 x 3 2 与坐标轴距离相等的点的集合与x y 0 例2 直角坐标系中 方程 x y 1的曲线是 A B C D C 说明 1 特点 明确给出了圆心坐标和半径 2 确定圆的方程