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文档简介
专题四 数列 第二讲 数列求和及综合应用适考素能特训 理一、选择题12016重庆测试在数列an中,若a12,且对任意正整数m,k,总有amkamak,则an的前n项和sn()an(3n1) b.cn(n1) d.答案c解析依题意得an1ana1,即有an1ana12,所以数列an是以2为首项、2为公差的等差数列,an22(n1)2n,snn(n1),选c.22016郑州质检正项等比数列an中的a1、a4031是函数f(x)x34x26x3的极值点,则log a2016()a1 b2c. d1答案a解析因为f(x)x28x6,且a1、a4031是方程x28x60的两根,所以a1a4031a6,即a2016,所以log a20161,故选a.32016太原一模已知数列an的通项公式为an(1)n(2n1)cos1(nn*),其前n项和为sn,则s60()a30 b60c90 d120答案d解析由题意可得,当n4k3(kn*)时,ana4k31;当n4k2(kn*)时,ana4k268k;当n4k1(kn*)时,ana4k11;当n4k(kn*)时,ana4k8k.a4k3a4k2a4k1a4k8,s60815120.故选d.4某年“十一”期间,北京十家重点公园举行免费游园活动,北海公园免费开放一天,早晨6时30分有2人进入公园,接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来,第二个30分钟内有8人进去2人出来,第三个30分钟内有16人进去3人出来,第四个30分钟内有32人进去4人出来按照这种规律进行下去,到上午11时30分公园内的人数是()a21147 b21257c21368 d21480答案b解析由题意,可知从早晨6时30分开始,接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项,2为公比的等比数列,出来的人数构成以1为首项,1为公差的等差数列,记第n个30分钟内进入公园的人数为an,第n个30分钟内出来的人数为bn则an42n1,bnn,则上午11时30分公园内的人数为s221257.5已知曲线c:y(x0)及两点a1(x1,0)和a2(x2,0),其中x2x10.过a1,a2分别作x轴的垂线,交曲线c于b1,b2两点,直线b1b2与x轴交于点a3(x3,0),那么()ax1,x2成等差数列 bx1,x2成等比数列cx1,x3,x2成等差数列 dx1,x3,x2成等比数列答案a解析由题意,得b1,b2两点的坐标分别为,.所以直线b1b2的方程为y(xx1),令y0,得xx1x2,所以x3x1x2,因此,x1,x2成等差数列62016江西南昌模拟设无穷数列an,如果存在常数a,对于任意给定的正数(无论多小),总存在正整数n,使得nn时,恒有|ana|1,所以对于正数01,不存在正整数n,使得nn时,恒有|an2|0成立,即2不是数列的极限对于,|an2|,令1log2,所以对于任意给定的正数(无论多小),总存在正整数n,使得nn时,恒有|an2|1,所以对于正数01,不存在正整数n,使得nn时,恒有|an2|0,an13an,an为等比数列,且公比为3,sn3n1.82016唐山统考sn为等比数列an的前n项和,若2s4s22,则s6的最小值为_答案解析由题意得2(a1a1qa1q2a1q3)a1a1q2,整理,得(a1a1q)(12q2)2,即s2(12q2)2.因为12q20,所以s20.又由2s4s22,得s4s21.由等比数列的性质,得s2,s4s2,s6s4成等比数列,所以(s4s2)2s2(s6s4),所以s6s4s21s22,当且仅当s2,即s2时等号成立,所以s6的最小值为.92016武昌调研设sn为数列an的前n项和,sn(1)nan(nn*),则数列sn的前9项和为_答案解析因为sn(1)nan,所以sn1(1)n1an1(n2),两式相减得snsn1(1)nan(1)n1an1,即an(1)nan(1)nan1(n2),当n为偶数时,ananan1,即an1,此时n1为奇数,所以若n为奇数,则an;当n为奇数时,ananan1,即2anan1,所以an1,此时n1为偶数,所以若n为偶数,则an.所以数列an的通项公式为an所以数列sn的前9项和为s1s2s3s99a18a27a36a43a72a8a9(9a18a2)(7a36a4)(3a72a8)a9.三、解答题102016合肥质检在数列an中,a1,an1an,nn*.(1)求证:数列为等比数列;(2)求数列an的前n项和sn.解(1)证明:由an1an知,是以为首项,为公比的等比数列(2)由(1)知是首项为,公比为的等比数列,n,an,sn,则sn,得sn1,sn2.112015安徽高考设nn*,xn是曲线yx2n21在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标(1)求数列xn的通项公式;(2)记tnxxx,证明:tn.解(1)y(x2n21)(2n2)x2n1,曲线yx2n21在点(1,2)处的切线斜率为2n2,从而切线方程为y2(2n2)(x1)令y0,解得切线与x轴交点的横坐标xn1.(2)证明:由题设和(1)中的计算结果知tnxxx222.当n1时,t1.当n2时,因为x2,所以tn2.综上可得对任意的nn*,均有tn.122016河南开封质检已知数列an满足a11,an11,其中nn*.(1)设bn,求证:数列bn是等差数列,并求出an的通项公式;(2)设cn,数列cncn2的前n项和为tn,是否存在正整数m,使得tn对于nn*恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由解(1)bn1bn2(常数),数列bn是等差数列a11,b12,因此bn2(n1)22n,由bn得an.(2)由cn,an得cn,cncn22,tn223,依题意要使tn对于nn*恒成立,只需3,即3,解得m3或m4,又m为正整数,所以m的最小值为3.典题例证2016山东高考已知数列an的前n项和sn3n28n,bn是等差数列,且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式;(2)令cn.求数列cn的前n项和tn.审题过程依据an与sn的关系可求an,进而求出bn的通项先化简数列cn,然后依据其结构特征采取错位相减求和.(1)由题意知当n2时,ansnsn16n5,当n1时,a1s111,所以an6n5.设数列bn的公差为d,由得可解得b14,d3.所以bn3
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