高考数学总复习 86抛物线 新人教B版.doc

8-6抛物线基础巩固强化1.动点p到直线xy40的距离等于它到点m(2,2)的距离，则点p的轨迹是()a直线b抛物线c椭圆 d双曲线答案a解析m(2,2)在直线xy40上，而|pm|即为p到直线xy40的距离动点p的轨迹为过点m垂直于直线xy40的直线故选a.2(2012山东苍山县期末)设椭圆1(m0，n0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为()a.1 b.1c.1 d.1答案b解析抛物线y28x的焦点f(2,0)，由条件得故选b.3(文)(2011陕西文，2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是()ay28x by24xcy28x dy24x答案c解析由抛物线准线方程为x2知p4，且开口向右，抛物线方程为y28x.故选c.(理)已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，p是抛物线y24x上一动点，则点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()a2 b3c. d.答案a解析直线l2：x1为抛物线y24x的准线，由抛物线的定义知，p到l1的距离等于p到抛物线的焦点f(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y24x上找一个点p，使得p到点f(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为f(1,0)到直线l1：4x3y60的距离，即dmin2，故选a.4(2012厦门市质检)抛物线y2mx的焦点为f，点p(2,2)在此抛物线上，m为线段pf的中点，则点m到该抛物线准线的距离为()a1 b.c2 d.答案d解析点p(2,2)在抛物线上，(2)22m，m4，p到抛物线准线的距离为2(1)3，f到准线距离为2，m到抛物线准线的距离为d.5(文)(2011石家庄模拟)直线3x4y40与抛物线x24y和圆x2(y1)21从左到右的交点依次为a、b、c、d，则的值为()a16 b.c4 d.答案b解析由得x23x40，xa1，xd4，ya，yd4，直线3x4y40恰过抛物线的焦点f(0,1)|af|ya1，|df|yd15，.故选b.(理)若抛物线y24x的焦点是f，准线是l，则经过点f、m(4,4)且与l相切的圆共有()a0个 b1个c2个 d3个答案c解析经过f、m的圆的圆心在线段fm的垂直平分线上，设圆心为c，则|cf|cm|，又圆c与l相切，所以c到l距离等于|cf|，从而c在抛物线y24x上故圆心为fm的垂直平分线与抛物线的交点，显然有两个交点，所以共有两个圆6(文)(2012山西四校联考)已知双曲线1(a0，b0)与抛物线y28x有一个公共的焦点f，且两曲线的一个交点为p，若|pf|5，则双曲线的渐近线方程为()ayx byxcyx dyx答案b解析设点p(m，n)，依题意得，点f(2,0)，由点p在抛物线y28x上，且|pf|5得由此解得m3，n224.于是有由此解得a21，b23，该双曲线的渐近线方程为yx，选b.(理)(2012辽宁文，12)已知p、q为抛物线x22y上两点，点p、q的横坐标分别为4、2，过p、q分别作抛物线的切线，两切线交于点a，则点a的纵坐标为()a1 b3c4 d8答案c解析本题考查了导数的几何意义由已知可设p(4，y1)，q(2，y2)点p、q在抛物线x22y上，p(4,8)，q(2,2)又抛物线可化为yx2，yx.过点p的切线斜率为k14，切线方程为y4x8，又过点q的切线斜率为k22，过点q的切线为y2x2，联立解得x1，y4.点a的纵坐标为4.点评注意对抛物线方程的整理，化为二次函数形式，然后利用导数求切线方程7(文)(2011烟台检测)已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2m时，测量水面宽为8m，当水面上升m后，水面的宽度是_m.答案4解析建立平面直角坐标系如图，设开始时水面与抛物线的一个交点为a，由题意可知a(4，2)，故可求得抛物线的方程为yx2，设水面上升后交点为b，则点b的纵坐标为，代入抛物线方程yx2可求出b点的横坐标为2，所以水面宽为4m.(理)(2012陕西理，13)下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水位下降1m后，水面宽_m.答案2解析本题考查了抛物线方程在实际问题中的应用如图建立坐标系设方程x22py(p0)，由题意知点(2，2)在抛物线上，可得p1，则方程为x22y，当y3时，x，所以水面宽2m.点评抛物线方程在实际问题中的应用，关键是合理建立平面直角坐标系，还要注意数据的实际意义8(文)抛物线的焦点为椭圆1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为_答案y24x解析由c2945得f(，0)，抛物线方程为y24x.(理)若点(3,1)是抛物线y22px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p_.答案2解析设弦两端点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，则，两式相减得，2，y1y22，p2.9(2012银川一中三模)已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a、b两点，若线段ab的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为_答案x1解析由消去x得，y22pyp20，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y22p，由条件知，y1y24，p2，抛物线的准线方程为x1.10已知动圆过定点p(1,0)，且与直线x1相切(1)求动圆圆心m的轨迹c的方程；(2)设a、b是轨迹c上异于原点o的两个不同点，若oaob，证明直线ab恒过定点，并求出该定点的坐标解析(1)设圆心m(x，y)由题意知点m到点p的距离等于点m到直线x1的距离，故点m的轨迹c是以p(1,0)为焦点，直线x1为准线的抛物线轨迹c的方程是y24x.(2)当直线ab的斜率存在时，设直线ab的方程为ykxb(k0)代入c的方程并整理得k2x2(2kb4)xb20.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，x1x2.故y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2.由oaob得x1x2y1y20，即0，解得b4k或b0(舍去)此时，直线ab的方程为：ykx4k，即yk(x4)此时直线ab过定点(4,0)当直线ab的斜率不存在时，由oaob可知a、b两点的坐标分别是(4，4)、(4,4)此时直线ab也过定点(4,0)综上所述，直线ab恒过定点(4,0).能力拓展提升11.(文)已知p为抛物线y24x上一个动点，q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点p到点q的距离与点p到抛物线的准线距离之和的最小值是()a5 b8c.1 d.2答案c解析抛物线y24x的焦点为f(1,0)，圆x2(y4)21的圆心为c(0,4)，设点p到抛物线的准线距离为d，根据抛物线的定义有d|pf|，|pq|d|pq|pf|(|pc|1)|pf|cf|11.(理)(2012安徽理，9)过抛物线y24x的焦点f的直线交该抛物线于a、b两点，o为坐标原点，若|af|3，则aob的面积为()a. b.c. d2答案c解析设afx(0p4，又|fm|y02，y02，故选c.13已知抛物线y22px(p0)上一点m(1，m)(m0)到其焦点的距离为5，双曲线y21的左顶点为a，若双曲线的一条渐近线与直线am平行，则实数a的值是_答案解析根据抛物线定义可得，抛物线准线方程为x4，则抛物线方程为y216x.把m(1，m)代入y216x得m4，即m(1,4)在双曲线y21中，a(，0)，则kam.解得a.14(文)已知点a(2,0)、b(4,0)，动点p在抛物线y24x上运动，则取得最小值时的点p的坐标是_答案(0,0)解析设p，则，y2y288，当且仅当y0时取等号，此时点p的坐标为(0,0)(理)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点的直线l依次交抛物线及其准线于点a、b、c，若|bc|2|bf|，且|af|3，则抛物线的方程是_答案y23x解析解法1：过a、b作准线垂线，垂足分别为a1、b1，则|aa1|3，|bb1|bf|，|bc|2|bf|，|bc|2|bb1|，|ac|2|aa1|2|af|6，|cf|3，p|cf|，抛物线方程为y23x.解法2：由抛物线定义，|bf|等于b到准线的距离，由|bc|2|bf|得bcm30，又|af|3，从而a在抛物线上，代入抛物线方程y22px，解得p.15(文)(2011韶关月考)已知动圆过定点f(0,2)，且与定直线l：y2相切(1)求动圆圆心的轨迹c的方程；(2)若ab是轨迹c的动弦，且ab过f(0,2)，分别以a、b为切点作轨迹c的切线，设两切线交点为q，证明：aqbq.解析(1)依题意，圆心的轨迹是以f(0,2)为焦点，l：y2为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x28y.(2)证明：因为直线ab与x轴不垂直，设ab：ykx2.a(x1，y1)，b(x2，y2)由可得x28kx160，x1x28k，x1x216.抛物线方程为yx2，求导得yx.所以过抛物线上a、b两点的切线斜率分别是k1x1，k2x2，k1k2x1x2x1x21.所以aqbq.(理)若椭圆c1：1(0b0)的焦点在椭圆c1的顶点上(1)求抛物线c2的方程；(2)若过m(1,0)的直线l与抛物线c2交于e、f两点，又过e、f作抛物线c2的切线l1、l2，当l1l2时，求直线l的方程解析(1)已知椭圆的长半轴长为a2，半焦距c，由离心率e得，b21.椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，p2，抛物线的方程为x24y.(2)由题知直线l的斜率存在且不为零，则可设直线l的方程为yk(x1)，e(x1，y1)，f(x2，y2)，yx2，yx，切线l1、l2的斜率分别为x1、x2，当l1l2时，x1x21，即x1x24，由得x24kx4k0，由(4k)24(4k)0，解得k0.又x1x24k4，得k1.直线l的方程为yx1.16(文)(2012东北三校联考)椭圆c：1的焦点在x轴上，右顶点a为抛物线y216x的焦点(1)求椭圆c的方程；(2)已知点q(，0)，若斜率为的动直线l与椭圆c交于不同的两点m、n，求的最小值解析(1)抛物线y216x的焦点为f(4,0)，故椭圆c中a4，所以椭圆c的方程为1.(2)设直线l的方程为yxb.由消去y整理得，5x28bx(8b216)0，因为动直线l与椭圆c交于不同的两点，所以128b220(8b216)0，解得b.设m(x1，y1)、n(x2，y2)，则x1x2b，x1x2，y1y2(x1b)(x2b)x1x2(x1x2)b2.因为(x1，y1)，(x2，y2)，所以(x1，y1)(x2，y2)x1x2(x1x2)y1y22.因为b0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则()an0 bn1cn2 dn3答案c解析设抛物线上点a(，y1)，b(，y2)，且y1y2，焦点f(，0)，由|af|bf|得，(yy)()0，y1y2，y1y2.a、b关于x轴对称过点f作直线y(x)，y(x)分别与抛物线有2个交点等边三角形有afb和afb，2个，故选c.2过抛物线yax2(a0)的焦点f作一直线交抛物线于a、b两点，若线段af、bf的长分别为m、n，则等于()a. b.c2a d.答案b解析特例法取通径ab，则mn，故.3设双曲线1(a0，b0)的渐近线与抛物线yx21相切，则该双曲线的离心率等于()a. b2c. d.答案c解析双曲线的渐近线方程为yx，与抛物线方程联立得x2x10，240b24a2，c2a24a2，c25a2，e，故选c.4已知抛物线y24x的焦点为f，准线与x轴的交点为m，n为抛物线上的一点，且|nf|mn|，则nmf()a. b.c. d.答案a解析如图，过点n向准线引垂线，垂足为p，由抛物线的定义知|np|nf|mn|.在rtnmp中，sinnmpnmpnmf，故选a.5若直线l与抛物线c：y22px(p0)交于a(x1，y1)、b(x2，y2)两点，f是抛物线c的焦点，则“弦长|ab|x1x2p”是“直线l经过点f”的()a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件答案c解析由抛物线的定义知，|af|x1