高中数学第三章推理与证明3.1归纳与类比2学业分层测评北师大版选修.docx

3.1 归纳与类比（2）学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()A一条中线上的点，但不是中心B一条垂线上的点，但不是垂心C一条角平分线上的点，但不是内心D中心【解析】由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心【答案】D2下列推理正确的是()A把a(bc)与loga(xy)类比，则有loga(xy)logaxlogayB把a(bc)与sin(xy)类比，则有sin(xy)sin xsin yC把(ab)n与(ab)n类比，则有(xy)nxnynD把(ab)c与(xy)z类比，则有(xy)zx(yz)【解析】乘法的结合律与加法结合律相类比得(xy)zx(yz)故选D.【答案】D3设ABC的三边长分别为a，b，c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R()A.BC.D【解析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为V四面体SABC(S1S2S3S4)R，R.【答案】C4在等差数列an中，若an0，公差d0，则有a4a6a3a7.类比上述性质，在等比数列bn中，若bn0，公比q1，则关于b5，b7，b4，b8的一个不等关系正确的是()Ab5b7b4b8Bb7b8b4b5Cb5b7b4b8Db7b8b4b5【解析】b5b7b4b8b1(q4q6q3q7)b1q3(q1)q6(1q)b1q3(q1)2(1qq2)0，b5b7b4b8.【答案】C5已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则2”若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则()A1B2C3D4【解析】如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等体积法有4rr，故AOAMMO，故AOOM31.【答案】C二、填空题6(2016日照高二检测)二维空间中圆的一维测度(周长)l2r，二维测度(面积)Sr2，观察发现Sl；三维空间中球的二维测度(表面积)S4r2，三维测度(体积)Vr3，观察发现VS.已知四维空间中“超球”的三维测度V8r3，猜想其四维测度W_. 【解析】因为V8r3，所以W2r4，满足WV.【答案】2r47在RtABC中，若C90，ACb，BCa，则ABC的外接圆半径为r，将此结论类比到空间有_【解析】RtABC类比到空间为三棱锥ABCD，且ABAC，ABAD，ACAD；ABC的外接圆类比到空间为三棱锥ABCD的外接球【答案】在三棱锥ABCD中，若ABAC，ABAD，ACAD，ABa，ACb，ADc，则三棱锥ABCD的外接球半径R8等差数列有如下性质：若数列an是等差数列，则当bn时，数列bn也是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列cn是正项等比数列，则当dn_时，数列dn也是等比数列【解析】类比等差数列与等比数列的性质，可猜测dn时，dn为等比数列【答案】三、解答题9如图3113，在平面内有面积关系，写出图3113中类似的体积关系，并证明你的结论图3113【解】类比，有.证明：如图，设C，C到平面PAB的距离分别为h，h.则，故.10在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n19，nN)成立类比上述性质，相应地，在等比数列bn中，若b91，则有什么样的等式成立？【解】在等差数列an中，由a100，则有a1a2ana1a2a19n(n19，nN)成立，相应地，在等比数列bn中，若b91，则可得b1b2bnb1b2b17n(nb0)与x轴交于A，B两点，点P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求证：为定值b2a2；(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线1(a0，b0)与x轴交于A，B两点，点P是双曲线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求证为定值，并写出这个定值(不要求写出解题过程)【解】(1)证明如下：设点P(x0，y0)(x0a)，依题意，得A(a,0)，B(a,0)，所以直线PA的方程为y(xa)