高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.5 距离素材2 新人教B版选修2-1.doc

3.2.5 距离课堂导学三点剖析一、由定义求距离【例1】 棱锥p-abcd的底面是正方形，侧面是pab，pac都垂直于底面，另两侧面与底面成45角，m、n分别为bc、cd的中点，最长的侧棱为15 cm.求：（1）棱锥的高；（2）底面中心o到平面pmn的距离.解析：棱锥的概念在本题求解中并无作用，重点应分析和利用好给出的面面关系. (1)设高为h,由平面pab，平面pac都垂直于底面，得pa底面ac.又pba=45，pa=ab=h,ac=h.由pa2+ac2=pc2及pc=15，得pa=5（cm）;(2)bdac，bdpa，zbd平面paq.又mnbd，mn平面paq，平面paq平面pmn.做ohpq于h，则oh之长即为所求.做agpq于g.在rtpaq中，aq=ac=h,pq=.ag= h.再由，得oh=ag=h=(cm).温馨提示 由于在棱锥中，随处可以找到解题必需的三角形，因此平面几何知识和解三角形的知识往往成为正确解题的关键.二、通过转化求距离【例2】如左下图，在棱长为a的正方体abcd-a1b1c1d1中，求平面ab1d1与平面c1bd的距离. 解：如右上图，可证得a1c平面ab1d1，a1c面c1bd.设a1c和平面ab1d1及平面c1bd分别交于p、q两点.则pq就是两平行平面ab1d1和平面c1bd的公垂线段.连结a1c1交b1d1于点o1，连结ac交bd于点o，由对角面a1c1ca与两平行平面ab1d1和平面c1bd分别相交于ao1和c1o知ao1oc1.由正方体的特性易计算对角面a1c1ca中，o1a1=a,a1a=a,a1c=a,于是在rtaa1o1中，ao1=a.由面积关系得a1p=.同理可求得cq=a,pq=a1c-2a1p=a-a=a.温馨提示 本例应用两方面的转化，其一是空间距离的转化，其二是空间问题转化为平面问题，转化为平面问题后，为使思路清晰，可画出辅助图形.这都是我们研究立体问题的基本思想方法，注意体会学习应用.另外本例在转化为对角面中计算问题后，也可以用三角形的中位线的性质得a1p=pq，cq=pq知a1p=pq=qc，即先证明p、q两点三等分对角线a1c后再计算.该例还有多种解法.三、利用向量求距离【例3】如下图，已知正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为a.(1)求证：平面b1ad1平面bc1d；（2）求平面b1ad1与平面bc1d间的距离.(1)证明：由正棱柱的性质知b1bdd1与ab1c1d分别为矩形，ab1dc1，d1b1db，故面b1ad1bc1d.(2)解：由两平行平面间距离的定义知，面b1ad1与面bc1d间的距离等于b1到面bc1d的距离.设b1m面bc1d，m为垂足，且b1m延长后交面abcd于n，以，分别为x,y,z轴的非负轴建立空间直角坐标系，则b1（a,0,a）,设n（x,y,0）,=(x-a,y,-a),=(-a,a,0),=(0,a,a).由，得=-a(x-a)+ay=0. 由，得=ay-a2=0. 解得y=a，x=2a.于是=（a,a,-a）.记,=,则|b1m|=|cos.由b1b=|cos,|=33a.故点b1到面bdc1的距离为a，亦即所求距离为a.温馨提示 利用向量方法求解的思路有两个：一是设公垂线段的向量坐标，借助于垂直将此向量坐标确定出来；二是求与公垂线平行的向量n,然后求端点在两异面直线上的向量在n上的射影即可.各个击破类题演练 1 设ac、bd分别是夹在两个平行平面、间的两条线段，且ac=13 cm，bd=15 cm，ac、bd在平面上的射影长的和是14 cm，求ac、bd分别在平面上的射影长以及平面和平面间的距离.解：过a、b分别作aa1,bb1,a1、b1为垂足，连结a1c、b1d，则a1c、b1d为ac和bd在平面内的射影，且aa1c、bb1d均为直角.，aa1,bb1,aa1(或bb1)就是与的公垂线段.设aa1=bb1=z,a1c=x,b1d=y.由题意得解得ac、bd在的射影长分别是5 cm、9 cm；两平面、间距离为12 cm.变式提升 1 如下图，已知长方体abcd-abcd中，棱aa=5,ab=12,求直线bc和平面abcd的距离.解：bcbc,bc平面abcd，bc平面abcd.于是bc到平面abcd的距离等于点b到平面abcd的距离.过点b在平面abba中作beab于点e.bc平面abba，be平面abba，bebc.又beab，而abbc=b,be平面abcd.即be为b点到平面abcd的距离.在rtabb中，bb=5，ab=12，ab=13.由面积关系abbb=beab，be=.所以bc和平面abcd的距离为6013.类题演练 2 如右图，在棱长为a的正方体abcd-a1b1c1d1中，e、f分别为棱ab和bc的中点.求点d到平面b1ef的距离.解：由于平面b1ef的法向量n1=(2,2,-1),又db1=（a,a,a）.点d到平面b1ef的距离d=a.点d到平面b1ef的距离为a.变式提升 2 如右图，四棱锥p-abcd的底面是边长为a的菱形，b=60，pc面abcd，pc=a,e是pa的中点.求e到面pbc的距离.解：eopc，pc面pbc，eo面pbc，所以点o到面pbc的距离等于e的面pbc的距离，作ofbc于f.因为pc面abcd，pc面pbc，所以面pbc面abcd，于是of面pbc，of的长等于o到面pbc的距离.由条件可得ob=a,of=a=a,所以e到面pbc的距离为a.类题演练 3 如下图，已知长方体abcd-a1b1c1d1中，ab=a,ad=b,aa1=c,求顶点c到体对角线ac1的距离.解：分别以ab、ad、aa1为x、y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，记点c在直线ac1的射影为g，则=（a,b,c）,=(0,0,c).由数量积的几何意义得| |=|=|=.在rtgcc1中，|=c,这就是顶点c到对角线ac1的距离.变式提升 3 如右图，在长方体a