选修1-2复数代数形式的乘除运算.doc

第三章 数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.2 复数代数形式的乘除运算课前准备【课型】新授课 【课时】1教时【课标要求】1.知识与能力掌握复数代数形式的乘除运算法则，熟练进行复数的乘法和除法运算理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质2.过程与方法运用类比方法，经历由实数系中的乘除法到复数系中乘除法的过程培养学生的发散思维和集中思维的能力，以及问题理解的深刻性、全面性3.情感态度与价值观通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法【重点.难点】重点：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算难点：复数除法的运算法则【教学用具】多媒体.教学过程一、知识回顾：复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).以上可以得出：复数的加减法法则及运算律和多项式的加减法比较类似，那么复数的乘除和多项式的乘除又是如何呢？二、新课讲授【规定】复数的乘法法则：设z1abi，z2cdi是任意两个复数，那么它们的积：(abi)(cdi)acbciadibdi2(acbd)(adbc)i.【明确】两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可两个复数的积是一个确定的复数【探究】复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？【解答】设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3R). z1z2=z2z1.证明：z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.z1z2=z2z1. (z1z2)z3=z1(z2z3).证明：(z1z2)z3=(a1+b1i)(a2+b2i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3+(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，(z1z2)z3=z1(z2z3).z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：z1(z2+z3)=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+b1i)(a2+a3)+(b2+b3)i=a1(a2+a3)-b1(b2+b3)+b1(a2+a3)+a1(b2+b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)iz1(z2+z3)=z1z2+z1z3.【例】计算(12i)(34i)(-2i)【解】(12i)(34i) (-2i)(34i6i8i2) (-2i)(112i) (-2i)(-22+2)(11+4)i-20+15i.【总结】此题主要是巩固复数乘法法则及运算律，以及乘法公式的推广应用特别要提醒其中(2i)4i8，而不是8.【例】计算：（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)2.【分析】本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式（与实数系中乘法公式相对应的公式）计算【解】（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i）2=9-(-16)=25;（2）（1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i.【总结】这两个式子可以和多项式中的平方差公式、完全平方公式作类比，在以后的计算中直接用，简化运算过程，而且不必记忆公式【问题】在例3中3-4i与3+4i的积恰好是一个实数，观察这两个复数之间有何联系？【思考】学生独立思考.【总结】实部和实部相等，虚部和虚部互为相反数【定义】共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不为0的两个共轭复数也叫共轭虚数【明确】z的共轭复数常用表示即：若zabi，则abi.【思考】若z1,z2是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点有什么样的位置关系？（2）z1z2是怎样的一个数？【解答】（1）设z1=a+bi, z2=a-bi ( a、bR) z1, z2在复平面内对应的点分别为( a，b)，( a，-b) ( a，b)与( a，-b)关于x轴对称（2）z1z2=（ a+bi）（a-bi ）=a2b2i2=a2b2 z1z2是实数【总结】共轭复数的性质：设z=a+bi, ( a、bR) 【探究】类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算，试探究复数除法的法则【规定】复数的除法是乘法的逆运算，即把满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,yR)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di)即(a+bi)(c+di)=x+yi(x+yi)(c+di)=(cxdy)+(dx+cy)i.(cxdy)+(dx+cy)i=a+bi.由复数相等定义可知解这个方程组，得于是有:(a+bi)(c+di)= i. (c+d i0)【思考】在实际进行复数运算时，每次都按照乘法逆运算的办法来求商，这是十分麻烦的如何简化求商的过程？这种简化的求商过程与实数系中作何种运算的过程相类似？【引导】可以类比根式的除法，从而得到简便的操作方法【解答】(1)在进行复数除法运算时，通常先把(abi)(cdi)写成的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数cdi，化简整理后即可(2)这种求商过程与作根式除法时的处理是很类似的在作根式除法时，分子、分母都乘以分母的“有理化因式”，从而使分母“有理化”这里分子和分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数)，从而使分母“实数化”【例】计算(12i)(34i)【分析】先把(12i)(34i)写成的形式，然后分子、分母都乘以34i，计算整理即可【解】 (12i)(34i)i.课时小结【课后小结】复数的乘法法则是：(a+