数学人教版八年级上册最短路径

“最短路径问题”说题设计稿单位： 南宁市新阳西路学校 姓名： 磨雪梅题目：八年级上册课本第85页问题1 问题1 如图， 牧马人从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地牧马人到河边什么地方饮马,可使所走的路线全程最短？一、题目背景：本题出自人教版八年级数学上册13.4课题学习 最短路径问题的问题1. 它源自数学史上有名的“将军饮马问题”.涉及的知识点有：两点之间,线段最短(或三角形两边之和大于第三边)轴对称变换性质和作图. 涉及的数学方法有：图形变换法证明最值问题的常用方法.涉及的数学思想有数学建模思想，主要是转化和化归思想.最短路径问题近年在中考中频频出现，在日常生活中也有广泛应用.二、题目意思：1、题目类型是实际问题，是最短路径问题的经典题型,属于最短路径问题在现实生活中的应用.最短路径的选择是最值问题，与优化设计类策划型题目相关。2、题目的条件是: 从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； 在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和， 就是从A 地到饮马地点， 再回到B 地的路程之和； 3、待求的结论是: 怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小 4、题目的难点和关键点：难点： 怎样想到要把B点移到l的异侧 做关于l的对称点B 怎样求作C点使AC +CB最小 怎样证明作出的C点使AC +CB最小关键点：利用轴对称变换性质作图，等量化折为直.5、学情分析： 这种类型题,学生之前并未接触过,是比较陌生的题型.授课班级学生基础一般，而且对这种具有实际背景的最值问题，更会感到陌生.问题1实际上它是一道包含轴对称变换的作图题和证明题. 学生不会找使线段的和最短的点.轴对称作图为最短路径问题提供了方法依据，曾经学习过的两点之间,线段最短(或三角形两边之和大于第三边)提供了理论依据,讲题前可以先复习.三、解法设计： （一）复习旧知，说明题型，寻找理论依据【师】1、知识回顾 复习上节轴对称变换作图(成轴对称图形的两个图形形状大小不变),有关线段大小关系的结论， 即“两点之间，线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”2、说明学习的必要性. 我们把研究关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题称为最短路径问题近年在中考中频频出现最短路径问题，现实生活也广泛应用到最短路径的问题.【设计意图】边讲课边作图复习，并引出题型,说明刚才复习的内容是学习最段路径问题的方法和理论依据. 展示题目和图片.用数学史上的数学故事吸引学生的兴趣,并促进学生的思考. 【生】边听边回忆学过的知识. （二）分析题意，一次转化，构建数学模型【师生】共同读题 【教师启发】这是一个实际问题，我们通常会把实际问题转化为数学问题来解决,这就是数学建模思想.对于这道题我们应该怎样逐步去转化呢? 【学生】思考后回答:先将A，B 两地看成两个点，将河 看成一条直线 【教师启发】然后第二步呢?你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它转化为数学问题吗？ 【学生】尝试回答,互相讨论补充.【师生】经过教师启发引导,学生思考讨论,最后师生共同得出:1、从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； 2、在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和； 3、现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点。设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小【教师】用几何画板演示C 在l上移动,使学生生动直观感受AC +CB的变化,思考C点究竟在十么位置,才能使AC +CB最短.【设计意图】构建数学模型,让学生将实际问题转化为数学问题,即将最短路径问题转化为“线段和最小问题” .关键是把握题意,理清思路,顺利转化.体会数学建模思想.（三）难点突破，二次转化，等量化折为直【教师】 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？【学生】独立思考,画图分析,并尝试回答,相互补充.如有困难,可做如下提示. 【教师提示】如图 , 点A，B 在直线l 的异侧，如何在l上找到一个点,使得这个点分别到点A和点B的距离的和最短? 【教师】利用几何画板,虚线连接AB,并交直线l于点C. 【学生】利用学过的知识容易解决这个问题.即: 根据“两点之间，线段最短”,连接AB,与直线l相交于一点C,而A，C,B 三点共线,则AC +CB=AB为最短,可知点C即为所求.【教师启发】比较右边上面两图的异同 ,能不能将点B“移”到l 的另一侧B处，使得直线l 上的任意一点C，都保持CB=CB,从而使得AC +CB =AC + CB？能找到 符合条件的点B吗？又怎样找呢? 【学生】独立思考后,尝试画图,寻找符合条件的点,然后小组交流,学生代表汇报交流结果.【师生互动】师生共同补充,得出:只要作出点B关于直线l的对称点 B,就可以满足 CB = CB.再连接AB,则AC + CB= AB,AB与直线l的交点C即为所求.( 如果作A关于l的对称点A,连接AB,可以找到同样的点C ) 【教师】动态展示课件作图. 【师生】师生同述,教师简单板书,并黑板演示画图,同时学生在自己的练习本上画图. 【教师】展示课件作法和作图. 作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B；（2）连接AB，与直线l 相交于点C 则点C 即为所求【设计意图】关键是利用轴对称变换,将折化直,实现等量变换.即：使不在同一直线上有公共端点的两条线段的和，转化为三点共线的两条线段合成的一条线段的长度. 将“ 同侧”难解决的问题转化为“ 异侧”容易解决的问题,化折为直,化繁为简, 化难为易,化未知为已知,渗透数学中转化和化归思想.（四）另选路径,比较长短,证明AC +BC最短【教师启发】上面作图所得的点C,能使AC +BC最短吗？怎样证明? 课本中给了一些提示，告诉我们,证明“最大”“最小”这类问题，常常要另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明。我们不妨在l 上任取异于点C的另一点C.比较AC+B C和AC +BC的大小?【教师启发】展示课件作图.引导学生思考如下问题:1、连接AC，BC，BC; BC和BC相等吗?根据是十么?2、前面我们等量化折为直,因为CB = CB得出AC +CB=AC + CB= AB,如果BC=BC, 我们是否也可以等量转化线段的和,即:AC+B C= AC+BC吗?,实现将化此折为彼折呢?3、AC, BC,AB三条线段为边组成的ABC中,三边关系怎样?是否会有ABAC+BC,根据是十么？【师生互动】教师引导启发,学生思考讨论,共同顺利解决以上3点.【教师】解决好了以上3点,你能回答AC+B C和AC +BC的大小了吗?你能把思路理清,把证明过程写出来吗? 【学生】在教师引导下,学生共同回答AC+B C大于AC +BC,因为AC+B C大于AB,而又因为AC +BC = AB.【教师】课件展示证明过程如下:证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，成轴对称的两图形形状大小不变. BC =BC，BC=BC等量代换得出:AC +BC = AC +BC = AB， AC+B C= AC+BC 因为在ABC中，由三角形两边之和大于第三边知, ABAC+BC，AC +BCAC+BC即AC +BC 最短 【生】边听讲边思考边做笔记,写出证明过程,再次回味理清思路.【小结】学生可能会对只选一个C不放心，可以让学生再选一个C证明一次，学生可能会错误的选择作A关于l的垂线或作AB的中垂线交l的点为所求，后连接这点和B.用同样的方法证明这样的路径比用“对称”得出的路径要长，从而让学生认识到这样做的错误。 这时学生会发现，证明过程中，只用到C与C点不同，与它在十么位置没关系实际上，“任取”一点C，就是除点C外十么地方都可以，由于点C位置的任意性，所以结论对于直线上每一点（除C外）都成立【设计意图】再次利用到轴对称等量转换线段的和.再由三角形两边之和大于第三边得出结论. 关键是培养学生思维的转换性和连贯性,以及书写证明题的逻辑顺序性和完整性.理解C的任意性 .体会证明最值的常用方法以及再次转化和化归的数学思想. 【解法总结】共同回顾整个解法过程,理清总思路:作点关于线的对称点,实现“折”转“直”.再把线段和的比较转化成三角行三边关系的比较.四、反思拓展 （一）总结反思 ：本题难度较大,思路较长, 只有部分学生能够回答问题.学生出现的困难比较多.仍然不理解不能接受本题的难点和证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C（与点C 不重合）讲课时间不够,如思维跟不上,思维脱节.练习时间不充分,文字证明部分没有逻辑,运用时间过长,作图仍然不会做或做错,仍然不理解或似懂非懂,一知半解,需要课后进一步理解消化,并做相同类型题加以巩固.（二）拓展提升 ：1、两点一线型 （1）问题 如图所示,要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在十么地方才能使A、B到它的距离之和最短.（2）（3）（4）2、两线一点型 某班举行晚会，桌子摆成两直线（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线使其所走的总路程最短？ 3、两线两点型如图，C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。【设计意图】让学生感受生活中或中考中出现的最短路径问