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文档简介
积分的应用 不定积分的应用 定积分的应用 第四章 微分方程 学习重点 微分方程的概念 一阶微分方程的求解 微分方程 含有未知函数的导数或微分的方程 如 等 特点 和可以不出现 但的导数一定要出现 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数 上面三个微分方程的阶数分别是二阶 一阶 三阶 微分方程的解 满足微分方程的函数 特解 满足微分方程且不含任意常数的函数 通解 满足阶微分方程且含个独立任意常数的函数 微分方程的概念 课堂练习P1751及2题 例 对微分方程 即 是它的解 且是通解 若给定条件 则可得特解 也是一特解 但不含于通解中 特别地称为奇解 称为初始条件 微分方程的概念 又如 对于微分方程 容易验证 都是微分方程的解 通解或特解 特解 特解 通解 既非特解也非通解 既非特解也非通解 即 例1 验证下列所给函数是所给微分方程的解 解 解 因为 所以 一 可分离变量的微分方程 求解方法 两边同时积分 一阶微分方程 求解方法 两边积分 一 可分离变量的微分方程 一阶微分方程 两边积分 得 因此 形如的微分方程的求解方法是 两边直接积分 得解为 解原方程可变形为 分离变量 例2 求下列微分方程的通解或特解 两边积分 得 所以 原方程的通解为 隐函数形式 解原方程可变形为 例2 求下列微分方程的通解或特解 即 两边积分 得 所以 原方程的通解为 解原方程可变形为 例2 求下列微分方程的通解或特解 两边积分得 即 得 所以 原方程的通解为 解 将初始条件代入 得特解 例2 求下列微分方程的通解或特解 原方程可变形为 两边积分 课堂练习 且线段PQ被Y轴平分 曲线过点求该曲线方程 解 由题设及导数的几何意义 得微分方程 由曲线过点 这是一个多值函数 曲线方程为 可将其改写成 对一阶线性齐次微分方程 这是一个可分离变量的微分方程 这是 2 的通解 二 一阶线性微分方程 一阶微分方程 2 的通解是 猜想 1 的解是 则 即 这种方法称作常数变易法 故 1 的通解是 2 的通解是 1 的通解是 非齐次线性微分方程的通解 非齐次的特解 对应齐次的通解 线性微分方程解的结构 称为叠加原理 解这是一个一阶线性微分方程 方程的通解为 例4求解下列微分方程 通解公式 1 解原方程的通解为 例4 2 凑微分 解 将原方程化为 例4 则方程的通解为 课堂练习 解 将原方程化为 例4 变通公式 原方程的通解为 解 原方程可化为 例4 5 公式的变通 如果微分方程为 则方程的通解为 则方程的通解为 课堂练习 型 可降解的高阶微分方程 求解方法 连续积分n次 例5 1 求解微分方程 解由原方程积分得 再积分得 再积分得
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