大学高等数学ppt课件第一章3导数.ppt

导数 第三节 学习重点 函数的连续性概念 导数的定义及几何意义 函数的连续性 continuity 气温的变化 河水的流动 植物的生长等都是连续地变化着 反映在函数关系上是函数的连续性 当时间变化很微小时 气温的变化也很微小 一般的 当自变量改变很微小时 因变量也很微小 这个特性称为连续性 连续函数在图像上是一条连续无间断点的曲线 连续的定义 自变量的增量 函数的增量 如果函数y f x 在x0点连续 则必须同时满足下列三个条件 1 f x 在x0的某个邻域内有定义极限值存在极限值与函数值相等 增量的概念 则有 连续函数在几何图象上是一条连续不断的曲线 连续性举例 1 讨论绝对值函数在x 0处的连续性 解因为 所以 所以 所以绝对值函数在x 0处连续 连续性举例 2 证明 余弦函数在内连续 证明 所以 由的任意性可知原命题成立 一般地 证明一个函数在某个区间内连续时 宜使用等价定义式 若要证明函数在某点处连续 则宜使用原定义式 连续性举例 解因为 要使函数在点连续 则应有 所以 右连续 Continuityfromtheright 单侧连续 左连续 Continuityfromtheleft 初等函数的连续性 函数在开区间上每一点都连续 称为在开区间内连续 函数在开区间上每一点都连续 且在点右连续 点左连续 称为在闭区间上连续 由连续性的定义及极限的运算法则 可以得到如下结论 初等函数在其定义区间内都是连续的 所谓定义区间 即指包含在定义域内的区间 函数的间断点discontinuity Discontinuityatx 1andx 2 若函数有下列三种情形之一 则称函数在点处不连续 点称为函数的间断点 不连续点即为间断点 函数的间断点的分类 第一类间断点 左 右极限都存在的间断点 可去间断点 左 右极限相等的第一类间断点 跳跃间断点 左 右极限不相等的第一类间断点 第二类间断点 非第一类的间断点 无穷间断点 使函数为无穷大的间断点 振荡间断点 极限不存在 也非无穷大的间断点 可去间断点 1 第一类 点x 1是函数f x 的可去间断点 可通过改变函数f x 在x 1处的定义 令f x 1 则f x 在x 1成为连续 函数的间断点的类型 可去间断点 2 第一类 函数的间断点的类型 例如 但不存在 点称为函数的可去间断点 可通过补充函数在处的定义 令 则函数在处连续 跳跃间断点 第一类 点x 0是函数f x 的跳跃间断点 函数的间断点的类型 函数的间断点的类型 无穷间断点 第二类 振荡间断点 第二类 点x 0是函数f x 的振荡间断点 函数的间断点的类型 解这是一个初等函数 其定义域为 而 所以 x 1是函数的第一类的可去间断点 x 2是函数的第二类的无穷间断点 例题 解 由的定义可知 函数在内连续 而 所以 x 1是函数的第二类间断点 无穷间断点 x 0是函数的第一类间断点 跳跃间断点 解由连续性的定义可知 要使函数在x 0点连续 则应有 而 最值定理 Themax mintheorem 闭区间连续函数的性质 在闭区间 a b 上连续的函数 一定能取得它的最大值和最小值 说明 可在区间内部取得最值 也可在区间端点取得最值 介值定理Theintermediatevaluetheorem 设函数f x 在闭区间 a b 上连续 且最大值M不等于最小值m 那末 对介于m与M之间的任意数C 在开区间 a b 内至少存在一点 使得 零点存在定理 设函数f x 在闭区间 a b 上连续 且f a 与f b 异号 那末 在开区间 a b 内至少存在一点 使得 由零点存在定理可知 原方程在 1 5 内必有根 练习 解 解 又 而 例题 导数概念的物理背景 变速直线运动的即时速度 极限思想 令t t0 取平均速度的极限 则可得到在t0时刻的即时速度 即 直观想法 时间间隔越小 平均速度越接近即时速度 如果质点做匀速直线运动 则任意时刻的速度也就是平均速度 如果质点做变速直线运动 该如何确定某一时刻的即时速度呢 问题 设某质点做直线运动 运动方程为S S t 我们可用一段时间内 质点所发生的位移除以所花的时间 t 得到平均速度 即 导数概念的几何背景 曲线的切线问题 问题 如右图所示 已知曲线及曲线上的一点M 如何确定曲线在点M处的切线 过点M作曲线的割线MN 当动点N沿曲线向定点M靠拢时 割线MN则绕定点M旋转而趋于极限位置MT 得到曲线在点M的切线 切线 割线的极限位置 上述过程可用极限式表示如下 变化率问题 设某个变量Q随时间t的变化而变化 时刻t取值Q t 从时刻t经过 t时间 量Q的改变量为 量Q的平均变化率为 导数Derivative的概念 也可记作 若这个极限不存在 则称在点x0处不可导 设函数y f x 在点x x0的某个邻域内有定义 当自变量x在x0处取得增量 x 点x0 x仍在该邻域内 时 相应地函数y取得增量 y f x0 x f x0 若 y与 x之比当 x 0的极限存在 则称函数y f x 在点x0处可导 derivable 并称这个极限为函数y f x 在点x0处的导数 derivative 记为 即 在引例中有 导数定义的不同形式 导数是函数变化率的精确描述 从数量方面刻画了变化率的本质 差商 解答 例题设 求 解 所以 如果将式中的定点x 2改为任意点x 则有如下结果 其结果表示是x的函数 称之为导函数 若函数y f x 在开区间I内的每点处都可导 就称函数y f x 在开区间I内可导 这时 对于任意x I 都对应着一个确定的导数值 这样构成了一个新的函数 这个函数称为原来函数y f x 的导函数 简称导数derivative 记作 把x0换成x 可得 或 点导数与导函数的关系 导函数的概念 如上例中 利用定义求导数举例 例1求常值函数的导数 解 所以常数的导数等于零 即 例2求正弦函数的导数 所以 同理可求得 解 对一般的幂函数有 例3求幂函数的导数 解 所以 例如 例4求对数函数的导数 解 所以 特别 单侧导数 左导数 derivativeontheleft 右导数 derivativeontheright 和 例5已知 解因为 所以 从而 导数的几何意义 法线是过切点且与切线垂直的直线 的切线方程为 法线方程为 解根据导数的几何意义 所求切线的斜率为 所以 所求切线方程为 所求法线的斜率为 所求法线方程为 例6求双曲线在点处的切线的斜率 并写出曲线在该点处的切线方程和法线方程 即 即 函数的可导性与连续性的关系 函数f x 在某点可导 则在该点连续 证明设函数在点可导 则存在 于是 所以 即函数在点处连续 例7讨论函数f x x 在点x 0的连续性和可导性 故函数f x x 在点x 0连续 故函数f