（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第七章 立体几何 课时分层作业四十八 7.7.2 利用向量求空间角和距离 理.doc

课时分层作业 四十八利用向量求空间角和距离一、选择题(每小题5分,共25分)1.若直线l的方向向量与平面的一个法向量的夹角等于120,则直线l与平面所成的角等于()a.120b.60c.30 d.60或30【解析】选c.设直线l与平面所成的角为,直线l与平面的法向量的夹角为.则sin =|cos |=|cos 120|=.又因为090,所以=30.2.在棱长为1的正方体abcd -a1b1c1d1中,e,f分别为棱aa1,bb1的中点,g为棱a1b1上的一点,且a1g=(01),则点g到平面d1ef的距离为()a.b.c.d. 【解析】选d.如图所示,以射线da,dc,dd1分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则g(1,1),e,d1(0,0,1),f,=,=(0,1,0),=.过点g向平面d1ef作垂线,垂足为h,由于点h在平面d1ef内,故存在实数x,y,使=+x+y=,由于ghef,ghed1,所以解得故=,所以|=,即点g到平面d1ef的距离是.3.(2018赣州模拟)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为()a.45b.135c.45或135d.90【解析】选c.cos=,即=45,其补角为135.所以两平面所成的二面角为45或135.【变式备选】(2018合肥模拟)在正方体abcd -a1b1c1d1中,点e为bb1的中点,则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为()a.b.c.d. 【解析】选b.以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系a -xyz,设棱长为1.则a1(0,0,1),e,d(0,1,0),所以=(0,1,-1),=.设平面a1ed的一个法向量为n1=(1,y,z),所以有即所以 所以n1=(1,2,2).因为平面abcd的一个法向量为n2=(0,0,1),所以cos=,即所成的锐二面角的余弦值为.4.如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,m,n分别是棱cd,cc1的中点,则异面直线a1m与dn所成的角的大小是()a.30b.45c.60d.90【解析】选d.以a为原点,以ab所在直线为x轴,ad所在直线为y轴,aa1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,设棱长为1,则a1(0,0,1),m,d(0,1,0),n,=,=.cos=0,所以a1m与dn所成的角的大小是90.【一题多解】连接d1m,a1d1平面cc1d1d,则a1d1dn,dnd1m,a1d1d1m=d1,所以dn平面a1d1m,a1m平面a1d1m,所以dna1m.【误区警示】用直线的方向向量的夹角求异面直线的夹角时,注意区别:当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是此异面直线所成的角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线所成的角.【变式备选】将正方形abcd沿对角线 ac折起,当以a,b,c,d四点为顶点的三棱锥体积最大时,异面直线ad与bc所成的角为()a.b.c.d. 【解析】选c.不妨以abc为底面,则由题意,当以a,b,c,d为顶点的三棱锥体积最大,即点d到底面abc的距离最大时,平面adc平面abc,取ac的中点o,连接bo,do,则易知do,bo,co两两互相垂直,所以分别以,所在直线为z,x,y轴建立空间直角坐标系,令bo=do=co=1,则有o(0,0,0),a(0,-1,0),d(0,0,1),b(1,0,0),c(0,1,0),=(0,1,1),=(-1,1,0),所以cos=,所以异面直线ad与bc所成的角为.5.如图,在空间直角坐标系中,正方体棱长为2,点e是棱ab的中点,点f是正方体的面aa1d1d上一点,且cfb1e, 则点f的轨迹是()a.线段b.圆的一部分c.椭圆的一部分d.抛物线的一部分【解析】选a.设f(0,y,z)由已知可得e(1,0,0),b1(2,0,2),c(2,2,0),所以=(-1,0,-2),=(-2,y-2,z).因为cfb1e,所以=0,即2-2z=0,即z=1.故f的轨迹是直线的一部分,线段.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设动点p在棱长为1的正方体abcd -a1b1c1d1的对角线bd1上,记=,当apc为钝角时,的取值范围是_.【解析】以,为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系d -xyz,则a(1,0,0),b(1,1,0),c(0,1,0),d1(0,0,1),则=(1,1,-1),得=(,-),所以=+=(1-,-,-1),=+=(-,1-,-1).显然apc不是平角,所以apc为钝角等价于cosapc=cos=0,0,即(1-,-,-1)(-,1-,-1)=(-1)(3-1)0,得1.所以的取值范围是.答案:7.如图所示,四边形abcd,abef都是矩形,它们所在的平面互相垂直,ad=af=1, ab=2,点m,n分别在它们的对角线ac,bf上,且cm=bn=a(0a),当mn的长最小时,a的值为_.【解析】如图所示,作moab,垂足为o,连接on,因为四边形abcd,abef都是矩形,点m,n分别在它们的对角线ac,bf上,且cm=bn=a(0a),所以onab,=,=,所以om=,on=,因为omon,所以mn=,所以a=时,mn的长最小.答案:8.在正方体abcd-a1b1c1d1中,e是棱cc1的中点,f是侧面bcc1b1内的动点,且a1f平面d1ae,则a1f与平面bcc1b1所成角的正切值的取值范围是_.【解析】建立如图所示的坐标系,令ab=1,则a(0,0,0),e,d1(0,1,1),b(1,0,0),c1(1,1,1),a1(0,0,1),f(1,t,s),平面d1ae的法向量为n=(x,y,z),则=(1,t,s-1),=,=(0,1,1),所以n=0,n=0,即令z=2,则所以n=(1,-2,2).又因为a1f平面d1ae,所以n=0,即1-2t+2(s-1)=0,即s-1=t-,所以=.由于n1=(1,0,0)是平面bcc1b1的一个法向量,且n1=1,所以cos=,记与平面bcc1b1所成角为,则sin =,cos =,所以tan =,因为s=t+1,所以t,故t0,因为,所以tan 2,2.答案:2,2三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018郑州模拟)在三棱柱abc-a1b1c1中,侧面abb1a1为矩形,ab=1,aa1=,d为aa1的中点,bd与ab1交于点o,co侧面abb1a1.(1)证明:bcab1.(2)若oc=oa,求直线c1d与平面abc所成角的正弦值.【解析】(1)由题意tanabd=,tanab1b=,注意到0abd,0ab1b,所以abd=ab1b,所以abd+bab1=ab1b+bab1=,所以ab1bd,又co侧面abb1a1,所以ab1co.又bd与co交于点o,所以ab1平面cbd,又因为bc平面cbd,所以bcab1.(2)如图,以o为原点,分别以od,ob1,oc所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系oxyz,因为d为aa1的中点,所以=,所以oc=oa=ab1=,则a,b,c,b1,d,又因为=2,所以c1.所以=,=,=.设平面abc的法向量为n=(x,y,z),则根据n=0,n=0可取n=(1,-)是平面abc的一个法向量,设直线c1d与平面abc所成的角为,则sin =.10.在三棱锥v -abc中,平面vab平面abc,vab为等边三角形,acbc且ac=bc=,o,m分别为ab,va的中点.(1)求证:vb平面moc.(2)求证:平面moc平面vab.(3)求三棱锥v -abc的体积.【解析】(1)因为o,m分别为ab,va的中点,所以omvb.又因为vb平面moc,所以vb平面moc .(2)因为ac=bc,o为ab的中点,所以ocab.又因为平面vab平面abc,且oc平面abc,所以oc平面vab.所以平面moc平面vab.(3)在等腰直角三角形acb中,ac=bc=,所以ab=2,oc=1.所以等边三角形vab的面积svab=.又因为oc平面vab,所以三棱锥c -vab的体积等于ocsvab=.又因为三棱锥v -abc的体积与三棱锥c -vab的体积相等,所以三棱锥v -abc的体积为.1.(5分)在三棱锥p-abc中,ab=pc=,ac=pb=,bc=pa=2,则异面直线pa与bc所成角的余弦值为()a.b.c.d. 【解析】选c.在pab中,由余弦定理,得cos=,在pac中,由余弦定理,得cos=.因为=(-)=-,又=|cos=2=,=|cos=2=,所以=-=-1.事实上=|cos=4cos,于是cos=-,从而,异面直线pa与bc所成角的余弦值为.2.(5分)在四面体p-abc中,pa,pb,pc两两垂直,设pa=pb=pc=a,则点p到平面abc的距离为()a.ab.ac.ad.a【解析】选b.根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系p-xyz,则p(0,0,0),a(a,0,0),b(0,a,0),c(0,0,a).过点p作ph平面abc,交平面abc于点h,则ph的长即为点p到平面abc的距离.因为pa=pb=pc,所以h为abc的外心.又因为abc为正三角形,所以h为abc的重心,可得h点的坐标为.所以ph=a.【变式备选】在三棱锥p-abc中,pa,pb,pc两两垂直,且pa=1,pb=2,pc=3,则点p到abc的重心g的距离为_.【解析】pa,pb,pc两两垂直,以p为坐标原点,pa,pb,pc所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,且pa=1,pb=2,pc=3,所以p(0,0,0),a(1,0,0),b(0,2,0),c(0,0,3),abc的重心g的坐标为,pg=.所以点p到abc的重心g的距离是.答案:3.(5分)已知平行六面体abcd-a1b1c1d1,ac1与平面a1bd,cb1d1交于e,f两点.给出以下命题,其中真命题有_.(写出所有正确命题的序号)点e,f为线段ac1的两个三等分点;=-+;设a1d1的中点为m,cd的中点为n,则直线mn与面a1db有一个交点;e为a1bd的内心;设k为b1cd1的外心,则为定值.【解析】连接a1c1,a1c,ac,设ac1与a1c交于o点,连接a1e并延长交ac于h点,由平行四边形对角线互相平分得oa=oc1,又a1h是面a1db与面a1ac的交线,所以h为ac与bd的交点,即为中点,从而e为a1ac的重心,a1e=2eh,ae=2oe,又oe=of,从而ae=ef,同理可得c1f=2of,所以点e,f为线段ac1的两个三等分点,故正确;=-=-=-(+)=-(-)-(-)=+-,所以不对;取dd1的中点k,连接km,kn,则kma1d,kna1b,由面面平行的判定定理得面kmn面a1bd,再由面面平行的性质定理得mn面a1bd,即mn与面a1bd没有交点,故错;由的分析可得:e为a1bd的重心,故错;a1db1c,bdb1d1,由面面平行的判定定理可得:面a1bd面b1cd1,所以k,f到面a1bd的距离相等,设为h,vk-bed=hsbed,=h,又=3sbed,所以=,故正确.答案:4.(12分)如图,在三棱柱abc-a1b1c1中,bac=90,ab=ac=2,a1a=4,a1在底面abc的射影为bc的中点,d为b1c1的中点. (1)证明:a1d平面a1bc.(2)求二面角a1-bd-b1的平面角的余弦值.【解析】(1)取bc的中点e,连接a1e,ae,de,由题意得a1e平面abc,所以a1eae,因为ab=ac,所以aebc,故ae平面a1bc,由d,e分别是b1c1,bc的中点,得deb1b且de=b1b,所以dea1a,所以四边形a1aed是平行四边形,故a1dae,又因为ae平面a1bc,所以a1d平面a1bc.(2)作a1fbd,且a1fbd=f,连接b1f.由ae=be=,a1ea=a1eb=90,得a1b=a1a=4,由a1d=b1d,a1b=b1b,得a1dbb1db,由a1fbd,得b1fbd,因此a1fb1为二面角a1-bd-b1的平面角,由a1d=,a1b=4,da1b=90,得bd=3,a1f=b1f=,由余弦定理得cosa1fb1=-.【一题多解】本题(2),还可以有如下解法:以cb的中点e为原点,分别以ea,eb,ea1为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系exyz,如图所示.由题意知各点坐标如下:a1(0,0,),b(0,0),d(-,0,),b1(-,).因此=(0,-),=(-,-,),=(0,0).设平面a1bd的法向量为m=(x1,y1,z1),平面b1bd的法向量为n=(x2,y2,z2).由即可取m=(0,1).由即可取n=(,0,1).于是|cos|=.由题意可知,所求二面角的平面角是钝角,故二面角a1-bd-b1的平面角的余弦值为-.5.(13分)如图,在三棱锥s -abc中,sa底面abc,ac=ab=sa=2,acab,d,e分别是ac,bc的中点,f在se上,且sf=2fe. (1)求证:af平面sbc.(2)在线段de上是否存在点g,使二面角g -af -e的大小为30?若存在,求出dg的长;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由ac=ab=sa=2,acab,e是bc的中点,得ae=.因为sa底面abc,所以saae.在rtsae中,se=,所以ef=se=.因此ae2=efse,又因为aef=aes