高中数学必修一讲义(知识点带题目).pdf

编辑罗建勇 高高 中中 数数 学学 必必 修修 一一 讲讲 义义 目录 第一章第一章集集合与函数概念合与函数概念 1 1 集集合合 1 1 1 集合的表示及关系集合的表示及关系 1 1 1 2 集合的基本运算集合的基本运算 2 1 1 3 点集和集合的基本性质点集和集合的基本性质 3 1 2 函函数及其表示数及其表示 1 2 1 与与函数有关的概念函数有关的概念 5 1 2 2 函数的表示函数的表示 6 1 3 函数的基本性质函数的基本性质 1 3 1 函数单调性及最值函数单调性及最值 9 1 3 2 函数奇偶性函数奇偶性 11 1 3 3 函数周期性函数周期性 12 1 3 4 函数对称性函数对称性 14 第一章第一章 复习题复习题 14 第二章第二章基本初等函数 基本初等函数 2 1 指数函数指数函数 2 1 1 指数与指数幂运算指数与指数幂运算 20 2 1 2 指数函数及其性质指数函数及其性质 21 2 2 对数函数对数函数 2 2 1 对数概念及运算对数概念及运算 22 2 2 2 对数函数及性质对数函数及性质 23 2 3 幂函数和二次函数幂函数和二次函数 2 3 1 幂函数幂函数 24 2 3 2 二次函数二次函数 25 2 4 其它函数及概念其它函数及概念 2 4 1 反函数概念反函数概念 29 2 4 2 对勾函数对勾函数 30 2 4 3 三次函数三次函数 30 2 5 抽象函数抽象函数 2 5 1 函数抽象模型函数抽象模型 31 2 5 2 抽象函数的单调性分析抽象函数的单调性分析 32 第二章第二章复习题复习题 36 第三章第三章函函数的应用数的应用 3 1 函数与方程函数与方程 3 1 1 方程的根与函数零点方程的根与函数零点 44 第三章第三章 复习题复习题 46 必修一必修一 总复习题总复习题 54 1 第一章第一章集集合与函数概念合与函数概念 第一节第一节集合集合 知识点回顾知识点回顾 一 一 集合的表示及其关系集合的表示及其关系 一 集合的定义及表示 一 集合的定义及表示 1 把研究的对象统称为元素 把一些元素组成的总体叫做集合 集合三要素 确定性 互异性 无序性 2 只要构成两个集合的元素是一样的 就称这两个集合相等 3 常见集合 正整数集合 N或 N 整数集合 Z 有理数集合 Q 实数集合 R 4 集合的表示方法 列举法 描述法 二 集合的关系 二 集合的关系 1 一般地 对于两个集合 A B 如果集合 A 中任意一个元素都是集 合 B 中的元素 则称集合 A 是集合 B 的子集 记作BA 2 如果集合BA 但存在元素Bx 且Ax 则称集合 A 是集合 B 的真子集 记作 A B 3 把不含任何元素的集合叫做空集 记作 并规定 空集是任何集 合的子集 是任何非空集合的真子集 2 二 二 集合的基本运算集合的基本运算 1 一般地 由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合 称为集 合 A 与 B 的并集 记作 BA 2 一般地 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合 称 为 A 与 B 的交集 记作 BA 3 全集 补集 U C Ax xUxU 且 名称 记号意义性质示意图 子集 BA 或 AB A 中的任一元素都属 于 B 1 A A 2 A 3 若BA 且BC 则AC 4 若BA 且BA 则AB A B 或 BA 真子集 A B 或 B A BA 且 B 中至 少有一元素不属于 A 1 A A 为非空子集 2 若AB 且BC 则AC BA 集合 相等 AB A 中的任一元素都属 于 B B 中的任一元素 都属于 A 1 A B 2 B A A B 名称记号意义性质示意图 交集 AB x xA 且 xB 1 AAA 2 A 3 ABA ABB 并集 AB x xA 或 xB 1 AAA 2 AA 3 ABA ABB 补集 UA x xUxA 且 1 U AA 2 U AAU UUU ABAB UUU ABAB A 3 三 三 点集和集合的基本性质点集和集合的基本性质 1 点集 集合 Ax yyf x 这类集合称为点集 可以在平面直角 坐标系中表示 2 已知集合A有 1 n n 个元素 则它有2 n 个子集 它有2 1 n 个真子集 它有2 1 n 个非空子集 它有2 2 n 非空真子集 补充知识 含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 1 含绝对值的不等式的解法 不等式解集 0 xa a xaxa 0 xa a x xa 或 xa 0 axbc axbc c 把axb 看 成 一 个 整 体 化 成 xa 0 xa a 型不等式来求解 2 一元二次不等式的解法 判别式 2 4bac 0 0 0 二次函数 2 0 yaxbxc a 的图象 O O L O 一元二次方程 2 0 0 axbxca 的根 2 1 2 4 2 bbac x a 其中 12 xx 12 2 b xx a 无实根 2 0 0 axbxca 的解集 1 x xx 或 2 xx x 2 b x a R 2 0 0 axbxca 的解集 12 x xxx 4 内容考查内容考查 1 集合 1 2 3 的所有真子集的个数为 A 3B 6 C 7D 8 解析 含一个元素的有 1 2 3 共 3 个 含两个元素的有 1 2 1 3 2 3 共 3 个 空集是任何非空集合的真子集 故有 7 个 答案 C 2 下列五个写法 其中错误 写法的个数为 0 0 2 3 0 0 1 2 1 2 0 0 0 A 1B 2 C 3D 4 解析 正确 答案 C 3 已知 M x y x2 2 N y y x2 2 则 M N 等于 A NB MC RD 解析 M x y x2 2 R N y y x2 2 y y 2 故 M N N 答案 A 4 设全集 U a b c d e A a c d B b d e 则 UA UB 解析 UA UB U A B 而 A B a b c d e U 答案 5 设全集 U R A x x 1 B x 1 x 2 则 U A B 解析 A B x 1 x 2 R A B x x 1 或 x 2 答案 x x 1 或 x 2 5 第二节第二节函数及其表示函数及其表示 一 与函数有关的概念一 与函数有关的概念 1 函数的概念 设A B是两个非空的数集 如果按照某种对应法则f 对于集合A中任何 一个数x 在集合B中都有唯一确定的数 f x和它对应 那么这样的对应 包 括集合A B以及A到B的对应法则f 叫做集合A到B的一个函数 记作 fAB 函数的三要素 定义域 值域和对应法则 只有定义域相同 且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 2 区间的概念及表示法 设 a b是两个实数 且ab 满足axb 的实数x的集合叫做闭区间 记 做 a b 满足axb 的实数x的集合叫做开区间 记做 a b 满足axb 或axb 的实数x的集合叫做半开半闭区间 分别记做 a b a b 满足 xa xa xb xb 的实数x的集合分别记做 aabb 注意 注意 对于集合 x axb 与区间 a b 前者a可以大于或等于b 而后者 必须ab 3 求函数的定义域时 一般遵循以下原则 f x是整式时 定义域是全体实数 f x是分式函数时 定义域是使分母不为零的一切实数 f x是偶次根式时 定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合 对数函数的真数大于零 当对数或指数函数的底数中含变量时 底数须大于 零且不等于 1 tanyx 中 2 xkkZ 6 零 负 指数幂的底数不能为零 若 f x是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时 则其定义域一 般是各基本初等函数的定义域的交集 对于求复合函数定义域问题 一般步骤是 若已知 f x的定义域为 a b 其 复合函数 f g x的定义域应由不等式 ag xb 解出 4 求函数的值域或最值 观察法 对于比较简单的函数 我们可以通过观察直接得到值域或最值 配方法配方法 将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和 然后根据变量然后根据变量 的取值范围确定函数的值域或最值 的取值范围确定函数的值域或最值 判别式法 若函数 yf x 可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程 2 0a y xb y xc y 则在 0a y 时 由于 x y为实数 故必须有 2 4 0bya yc y 从而确定函数的值域或最值 不等式法 利用基本不等式确定函数的值域或最值 换元法 通过变量代换达到化繁为简 化难为易的目的 三角代换可将代数 函数的最值问题转化为三角函数的最值问题 反函数法 利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值 域或最值 数形结合法 利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值 函数的单调性法 二 函数的表示法二 函数的表示法 1 函数的表示方法 表示函数的方法 常用的有解析法 列表法 图象法三种 解析法 就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 列表法 就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系 图象法 就是用图象表示两个变量之间的对应关系 7 2 映射的概念 设A B是两个集合 如果按照某种对应法则f 对于集合A中任何一个元 素 在集合B中都有唯一的元素和它对应 那么这样的对应 包括集合A B以 及A到B的对应法则f 叫做集合A到B的映射 记作 fAB 给定一个集合A到集合B的映射 且 aA bB 如果元素a和元素b对应 那么我们把元素b叫做元素a的象 元素a叫做元素b的原象 3 函数的图象 1 利用描点法作图 确定函数的定义域 化解函数解析式 讨论函数的性质 奇偶性 单调性 画出函数的图象 2 利用基本函数图象的变换作图 要准确记忆一次函数 二次函数 反比例函数 指数函数 对数函数 幂函数 三角函数等各种基本初等函数的图象 平移变换 0 0 hh hh yf xyf xh 左移 个单位 右移 个单位 0 0 kk kk yf xyf xk 上移 个单位 下移 个单位 伸缩变换 01 1 yf xyfx 伸 缩 01 1 A A yf xyAf x 缩 伸 对称变换 x yf xyf x 轴 y yf xyfx 轴 yf xyfx 原点1 y x yf xyfx 直线 y yy yf xyfx 去掉 轴左边图象 保留 轴右边图象 并作其关于 轴对称图象 x x yf xyf x 保留 轴上方图象 将 轴下方图象翻折上去 8 1 使根式 x 1与 x 2分别有意义的 x 的允许值集合依次为 M F 则使根式 x 1 x 2有意义的 x 的允许值集合可表示为 A M FB M FC MFD FM 解析 根式 x 1 x 2有意义 必须 x 1与 x 2同时有意义才可 答案 B 2 函数 y x2 2x 3 x 0 的值域为 A RB 0 C 2 D 3 解析 y x2 2x 3 x 1 2 2 函数在区间 0 上为增函数 故 y 0 1 2 2 3 答案 D 3 等腰三角形的周长是 20 底边长 y 是一腰的长 x 的函数 则 y 等于 A 20 2x 0 x 10 B 20 2x 0 x 10 C 20 2x 5 x 10 D 20 2x 5 xy 20 2x x 5 答案 D 4 用固定的速度向右图形状的瓶子注水 则水面的高度 h 和时间 t 之间的关系是图 1 中的 图 1 解析 水面升高的速度由慢逐渐加快 答案 B 9 第三节第三节函数的基本性质函数的基本性质 一 函数的单调性及最值一 函数的单调性及最值 1 函数单调性的证明方法 1 定义法 定义法 设 2121 xxbaxx 那么 0 21 baxfxfxf在 上是增函数 0 21 baxfxfxf在 上是减函数 步骤 取值 作差 变形 定号 判断 格式 解 设 baxx 21 且 21 xx 则 21 xfxf 2 导数法导数法 设函数 xfy 在某个区间内可导 若0 x f 则 xf为增 函数 若0 x f 则 xf为减函数 3 斜率斜率法 法 设函数满足 0 0 f xf x xx 令 0 0 f xf x k xx k表示 x f x与 00 xf x连线的斜率 设 2121 xxbaxx 那么 1212 0 xxf xf x baxf xx xfxf 0 21 21 在 上是增函数 1212 0 xxf xf x baxf xx xfxf 0 21 21 在 上是减函数 4 性质 性质法 法 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 添加单调性不变 添加 分之一后单调性改变 5 复合函数 复合函数 同减异增 同减异增 对于复合函数 yf g x 令 ug x 若 yf u 为增 ug x 为增 x1x2 y f X x y f x 1 f x 2 o y f X y x o xx2 f x f x 2 1 1 10 则 yf g x 为增 若 yf u 为减 ug x 为减 则 yf g x 为增 若 yf u 为增 ug x 为减 则 yf g x 为减 若 yf u 为减 ug x 为增 则 yf g x 为减 2 最大 小 值定义 一般地 设函数 yf x 的定义域为I 如果存在实数M满足 1 对于任意的xI 都有 f xM 2 存在 0 xI 使得 0 f xM 那么 我们称M是函数 f x 的最大值 记作 max fxM 一般地 设函数 yf x 的定义域为I 如果存在实数m满足 1 对于任意的xI 都有 f xm 2 2 存在 0 xI 使得 0 f xm 那么 我们称m是函数 f x 的最小值 记作 max fxm 1 已知 0 x 3 2 则函数 f x x 2 x 1 A 有最小值 3 4 无最大值 B 有最小值3 4 最大值 1 C 有最小值 1 最大值19 4 D 无最小值和最大值 解析 f x x2 x 1 x 1 2 2 3 4 画出该函数的图象知 f x 在区间 0 3 2 上 是增函数 所以 f x min f 0 1 f x max f 3 2 19 4 答案 C 11 二 函数的奇偶性二 函数的奇偶性 定义及判定方法 函数的 性 质 定义图象判定方法 函数的 奇偶性 如果对于函数 xf的 定义域内任意一个x 都有 xfxf 那 么就称函数 xf为偶 函数 偶函数图象关 于y轴对称 1 利用定义 要先 判断定义域是否关于 原点对称 2 利用图象 图象 关于原点对称 如果对于函数 xf的 定义域内任意一个x 都有 xfxf 那么就称函数 xf为 奇函数 奇函数图象 关于原点对称 1 利用定义 要先 判断定义域是否关于 原点对称 2 利用图象 图象 关于 y 轴对称 性质 且在0 x 处有 定义 则 0 0f 1 已知 y f x 是定义在 R 上的奇函数 则下列函数中为奇函数的是 y f x y f x y xf x y f x x A B C D 解析 因为 y f x 是定义在 R 上的奇函数 所以 f x f x y f x 为 偶函数 y f x 为奇函数 令 F x xf x 所以 F x x f x x f x xf x 所以 F x F x 所以 y xf x 为偶函数 令 F x f x x 所以 F x f x x f x x f x x 所以 F x F x 所以 y f x x 为奇函数 答案 D 2 若偶函数 f x 在区间 1 上是增函数 则 A f 3 2 f 1 f 2 B f 1 f 3 2 f 2 12 C f 2 f 1 f 3 2 D f 2 f 3 2 f 1 解析 由 f x 是偶函数 得 f 2 f 2 又 f x 在区间 1 上是增函数 且 2 3 2 1 则 f 2 f 3 2 f 1 答案 D 3 若 f x m 1 x2 6mx 2 是偶函数 则 f 0 f 1 f 2 从小到大的顺序是 解析 f x m 1 x2 6mx 2 是偶函数 m 0 f x x2 2 f 0 2 f 1 1 f 2 2 f 2 f 1 f 0 答案 f 2 f 1 f 0 4 已知 f x是偶函数 xR 当0 x 时 f x为增函数 若 12 0 0 xx 且 12 xx 则 B B A 12 fxfx B 12 fxfx C 12 f xfx D 12 f xfx 三 函数的周期性三 函数的周期性 1 定义 若 axfxf 则函数 xfy 为周期为a2的周期函数 2 常见推周期性的表达式 1 axfxf 则 xf的周期Ta 2 0 axfxf 0 1 xf xf axf 1 f x a f x 0 f x 2 1 0 1 2 f xfxf xaf x 则 xf的周期2Ta 3 0 1 1 xf axf xf 则 xf的周期3Ta 13 4 1 21 21 21 xfxf xfxf xxf 且 1212 1 1 0 2 f af xf xxxa 则 xf的周期4Ta 5 axfxfaxf 则 xf的周期6Ta 2 2 2 2 2 222 22 22 2 f xxaxb f axf axf bxf bx f xfax faxfbx f xfbx taxbxtba f tf tba f xf xba f xba 6 若图象有两条对称轴 即 令则 即 所以函数以为周期 1 2007 启东质检 已知函数 y f x 是定义在 R 上的奇函数 且 f 2 0 对任意 x R 都有 f x 4 f x f 4 成立 则 f 2006 D A 4012B 2006C 2008D 0 2 2006 安徽 函数 f x对于任意实数x满足条件 1 2 f x f x 若 f 1 5 则 f f 5 解 1 4 2 f xf x f x 周期是 4 111 5 1 5 3 1 5 f ff ff ff 14 四 函数的对称性四 函数的对称性 1 函数 yf x 的图象的对称性 1 函数 yf x 的图象关于直线xa 对称 f axf ax 2 faxf x 2 函 数 yf x 的 图 象 关 于 直 线 2 ab x 对 称 f amxf bmx f abmxf mx 2 两个函数图象的对称性 1 函数 yf x 与函数 yfx 的图象关于直线0 x 对称 2 yf mxa 与函数 yf bmx 的图象关于直线 2 ab x m 对称 3 函数 xfy 和 1 xfy 的图象关于直线yx 对称 15 第一章第一章复习题复习题 1 集合 A 1 2 B 1 2 3 C 2 3 4 则 A B C A 1 2 3 B 1 2 4 C 2 3 4 D 1 2 3 4 解析 A B 1 2 A B C 1 2 3 4 答案 D 2 如图 1 所示 U 表示全集 用 A B 表示阴影部分正确的是 图 1 A A BB UA UB C A BD UA UB 解析 由集合之间的包含关系及补集的定义易得阴影部分为 UA UB 答案 D 3 若 f x 1 2x g 1 2x 1 x 2 x2 x 0 则 1 2 g的值为 A 1B 3 C 15D 30 解析 g 1 2x 1 x 2 x2 令1 2 1 2x 则 x 1 4 1 2 g 1 1 16 1 16 15 答案 C 16 4 设函数 f x x 1 2 x 1 4 x 1 x 1 则使得 f 1 f m 1 1 成立的 m 的值为 A 10B 0 2 C 0 2 10D 1 1 11 解析 因为 x 1 时 f x x 1 2 所以 f 1 0 当 m 1 1 即 m2m 1 或 2m 15 m6 8 12 分 已知集合 A 1 1 B x x2 2ax b 0 若 B 且 B A 求 a b 的值 解 1 当 B A 1 1 时 易得 a 0 b 1 2 当 B 含有一个元素时 由 0 得 a2 b 当 B 1 时 由 1 2a b 0 得 a 1 b 1 当 B 1 时 由 1 2a b 0 得 a 1 b 1 9 12 分 已知函数 f x x ax b a b 为常数 且 a 0 满足 f 2 1 方程 f x x 有唯一实数解 求函数 f x 的解析式和 f f 4 的值 解 f x x ax b且 f 2 1 2 2a b 又 方程 f x x 有唯一实数解 ax2 b 1 x 0 a 0 有唯一实数解 故 b 1 2 4a 0 0 即 b 1 又上式 2a b 2 可得 a 1 2 从而 f x x 1 2x 1 2x x 2 f 4 2 4 4 2 4 f 4 8 6 4 3 即 f f 4 4 3 18 10 12 分 已知函数 f x 4x2 4ax a2 2a 2 在闭区间 0 2 上有最小值 3 求 实数 a 的值 解 f x 4 2 2 a x 2 2a 1 当a 2 0 即 a2 即 a 4 时 f x min f 2 a2 10a 18 3 解得 a 5 10 综上可知 a 的值为 1 2或 5 10 11 12 分 某公司需将一批货物从甲地运到乙地 现有汽车 火车两种运输工具 可供选择 若该货物在运输过程中 含装卸时间 的损耗为 300 元 小时 其他主要 参考数据如下 运输工 具 途中速度 千 米 小时 途中费用 元 千米 装卸时间 小 时 装卸费用 元 汽车50821000 火车100441800 问 如何根据运输距离的远近选择运输工具 使运输过程中的费用与损耗之 和最小 解 设甲 乙两地距离为 x 千米 x 0 选用汽车 火车运输时的总支出分别 为 y1和 y2 由题意得两种工具在运输过程中 含装卸 的费用与时间如下表 运输工 具 途中及装卸费 用 途中时 间 汽车8x 1000 x 50 2 火车4x 1800 x 100 4 于是 y1 8x 1000 x 50 2 300 14x 1600 y2 4x 1800 x 100 4 300 7x 3000 19 令 y1 y2 0 得 x 200 当 0 x 200 时 y1200 时 y1 y2 此时应选用火车 故当距离小于 200 千米时 选用汽车较好 当距离等于 200 千米时 选用汽 车或火车均可 当距离大于 200 千米时 选用火车较好 20 第二章第二章基本初等函数 基本初等函数 第一节第一节指数函数指数函数 一 一 指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算 1 一般地 如果ax n 那么x叫做a的n次方根 其中 Nnn 1 2 当n为奇数时 aa nn 当n为偶数时 aa nn 3 我们规定 mn m n aa 1 0 mNnma 0 1 n a a n n 4 运算性质 Qsraaaa srsr 0 Qsraaa rs s r 0 Qrbabaab rr r 0 0 21 二 二 指数函数及其性质指数函数及其性质 1 指数函数 1 0 aaay x 函数名称指数函数 定义函数 0 x yaa 且1 a 叫做指数函数 图象 1a 01a 定义域R 值域 0 过定点图象过定点 0 1 即当0 x 时 1y 奇偶性非奇非偶 单调性在R上是增函数在R上是减函数 函数值的 变化情况 1 0 1 0 1 0 x x x ax ax ax 1 0 1 0 1 0 x x x ax ax ax a变化对 图象的影响a越大越靠近y轴 a越小越靠近y轴 x ay x y 0 1 O 1y x ay x y 0 1 O 1y 22 第二节第二节对数函数对数函数 一 对数概念及运算一 对数概念及运算 1 对数的定义 若 0 1 x aN aa 且 则x叫做以a为底N的对数 记作logaxN 其中a叫做底数 N叫做真数 负数和零没有对数 对数式与指数式的互化 log 0 1 0 x a xNaN aaN 2 几个重要的对数恒等式 log 10 a log1 aa log b aa b 3 常用对数与自然对数 常用对数 lg N 即 10 logN 自然对数 lnN 即logeN 其中2 71828e 4 对数的运算性质如果0 1 0 0aaMN 那么 加法 logloglog aaa MNMN 减法 logloglog aaa M MN N 数乘 loglog n aa nMMnR logaN aN 倒数关系 a b b a log 1 log 1 0 1 0 bbaa loglog 0 b n a a n MM bnR b 换底公式 log log 0 1 log b a b N Nbb a 且 23 二 对数函数及其性质二 对数函数及其性质 1 记住图象 1 0log aaxy a 函数 名称 对数函数 定义函数log 0 a yx a 且1 a 叫做对数函数 图象 1a 01a 定义域 0 值域R 过定点图象过定点 1 0 即当1x 时 0y 奇偶性非奇非偶 单调性在 0 上是增函数在 0 上是减函数 函数值的 变化情况 log0 1 log0 1 log0 01 a a a xx xx xx log0 1 log0 1 log0 01 a a a xx xx xx a变化对 图象的影响在第一象限内 a越大图象越靠低 在第四象限内 a越大图象越靠高 x y O 1 0 1x logayx x y O 1 0 1x logayx 24 第三节第三节幂函数和二次函数幂函数和二次函数 一 一 幂函数幂函数 1 幂函数的定义 一般地 函数yx 叫做幂函数 其中x为自变量 是常数 2 几种幂函数的图象 3 幂函数性质 过定点 所有的幂函数在 0 都有定义 并且图象都通过点 1 1 单调性 如果0 则幂函数的图象过原点 并且在 0 上为 增函数 如果0 则幂函数的图象在 0 上为减函数 在第一象限 内 图象无限接近x轴与y轴 奇偶性 当当 为奇数时 幂函数为奇函数 当为奇数时 幂函数为奇函数 当 为偶数时 幂函为偶数时 幂函 数为偶函数 数为偶函数 当 q p 其中 p q互质 p和qZ 若p为奇数q为奇 数时 则 q p yx 是奇函数 奇母奇子奇函数奇母奇子奇函数 若p为奇数q为偶数时 则 q p yx 是偶函数 奇母偶子偶函数奇母偶子偶函数 若p为偶数q为奇数时 则 q p yx 是非奇非偶函数 偶母有子非奇偶偶母有子非奇偶 25 二 二 二次函数二次函数 1 二次函数解析式 一般式 2 0 f xaxbxc a 顶点式 2 0 f xa xhk a 两根式 12 0 f xa xxxxa 2 求二次函数解析式的方法 待定系数法 先设解析式再求解析式 3 二次函数图象的性质 二次函数 2 0 f xaxbxc a 的图象是一条抛物线 对称轴方程为 2 b x a 顶点坐标是 2 4 24 bacb aa 当0a 时 抛物线开口向上 函数在 2 b a 上递减 在 2 b a 上 递增 当 2 b x a 时 2 min 4 4 acb fx a 当0a 时 抛物线开口向下 函 数在 2 b a 上递增 在 2 b a 上递减 当 2 b x a 时 2 max 4 4 acb fx a 二次函数 2 0 f xaxbxc a 当 2 40bac 时 图象与x轴有两个 交点 11221212 0 0 M xM xMMxx a 26 4 一元二次方程 2 0 0 axbxca 根的分布 设一元二次方程 2 0 0 axbxca 的两实根为 12 x x 且 12 xx 令 2 f xaxbxc 从以下四个方面来分析此类问题 开口方向a 对称轴位置 2 b x a 判别式 端点函数值符号 k x1 x2 x y 1 x 2 x 0 a O a b x 2 0 kf k x y 1 x 2 x O a b x 2 k 0 a 0 kf x1 x2 k x y 1 x 2 x 0 a O a b x 2 k 0 kf x y 1 x 2 x O a b x 2 k 0 a 0 kf x1 k x2 af k 0 0 kf x y 1 x 2 x 0 a O k x y 1 x 2 x O k 0 a 0 kf 27 k1 x1 x2 k2 x y 1 x2 x 0 a O 1 k 2 k 0 1 kf 0 2 kf a b x 2 x y 1 x 2 x O 0 a 1 k 2 k 0 1 kf 0 2 kf a b x 2 有且仅有一个根 x1 或 x2 满足 k1 x1 或 x2 k2 f k1 f k2 0 并同时考虑 f k1 0 或 f k2 0 这两种情况是否也符合 x y 1 x 2 x 0 a O 1 k 2 k 0 1 kf 0 2 kf x y 1 x 2 x O 0 a 1 k 2 k 0 1 kf 0 2 kf 5 二次函数 2 0 f xaxbxc a 在闭区间 p q上的最值 设 f x在区间 p q上的最大值为最大值为M 最小值为最小值为m 令 0 1 2 xpq 当 当0a 时 开口向上 时 开口向上 若 2 b p a 则 mf p 若 2 b pq a 则 2 b mf a 若 2 b q a 则 mf q f p f q 2 b f a f p f q 2 b f a f p f q 2 b f a 28 若 0 2 b x a 则 Mf q 0 2 b x a 则 Mf p 当当0a 时时 开口向下开口向下 若 2 b p a 则 Mf p 若 2 b pq a 则 2 b Mf a 若 2 b q a 则 Mf q 若 0 2 b x a 则 mf q 0 2 b x a 则 mf p f p f q 2 b f a 0 x f p f q 2 b f a 0 x f p f q 2 b f a f p f q 2 b f a f p f q 2 b f a 0 x f p f q 2 b f a f p f q 2 b f a 0 x 29 第四节第四节其它函数及概念其它函数及概念 一 反函数一 反函数 1 反函数的概念 设函数 yf x 的定义域为A 值域为C 从式子 yf x 中解出x 得式子 xy 如果对于y在C中的任何一个值 通过式子 xy x在A中都有唯一确定的值和它对应 那么式子 xy 表示x是y的函 数 函数 xy 叫做函数 yf x 的反函数 记作 1 xfy 习惯上 改写成 1 yfx 2 反函数的求法 确定反函数的定义域 即原函数的值域 从原函数式 yf x 中反解出 1 xfy 将 1 xfy 改写成 1 yfx 并注明反函数的定义域 3 反函数的性质 原函数 yf x 与反函数 1 yfx 的图象关于直线关于直线yx 对称 对称 函数 yf x 的定义域 值域分别是其反函数 1 yfx 的值域 定 义域 若 P a b在原函数 yf x 的图象上 则 P b a在反函数 1 yfx 的 图象上 4 对数函数和指数函数互为反函数 30 y xo 二 对勾函数 双勾函数 耐克函数 二 对勾函数 双勾函数 耐克函数 1 函数解析式 0 a f xxa x 2 函数 0 a f xxa x 的图象与性质 f x分别在 a a 上为增函数 分别在 0 a 0 a上为减函数 三 三 三次函数三次函数 1 定义 形如 32 0 yaxbxcxd a 的函数 称为 三次函数 2 单调性 一般地 当03 2 acb时 三次函数 0 23 adcxbxaxy在R上是单 调函数 a 0 时 单调递增函数 当 a0 时 两个单调增区间 一个单调减区间 当 a0 时 导函数值有两个大于零 当 a 0 时 有两个值小于 零 不是因为三次函数中 a 的原因 因为如果有 03 2 acb 的条件下 当 a0 三次函数单调增 31 第五节第五节抽象函数抽象函数 一 函数抽象模型一 函数抽象模型 1 正比例函数抽象模型 f xcx 1 f xyf xf yfc 2 指数函数抽象模型 x f xa 1 0f xyf x f yfa 3 对数函数抽象模型 logaf xx 1 0 1 f xyf xf yf aaa 4 幂函数抽象模型 f xx 1 f xyf x f yf 5 正切函数抽象模型 tanf xx 1 f xf y f xy f x f y 32 二 抽象函数的单调性分析二 抽象函数的单调性分析 1 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 xf对 任 意 实 数yx 都 满 足 yfxfyxf 且当0 x时 0 xf 判断 xf的单调性并证明 证明 令0 yx 则 0 0 00 fff 0 0 f 令xy 则0 0 xfxffxxf xfxf 在 R 上任取 21 xx 且使 21 xx 0 121212 xxfxfxfxfxf即 12 xfxf 由定义可知 xf在 R 上为单调递减函数 2 已知函数 xf的定义域是 0 满足 yfxfxyf 且当1 x时 0 xf 判断 xf的单调性并证明 证明 令1 yx 则 1 1 1 fff 0 1 f 令 x y 1 则0 1 1 1 x fxff x xf 1 xf x f 任取 0 21 xx 且使 21 xx 0 1 1 2 1 212 x x f x fxfxfxf即 12 xfxf 由定义可知 xf在 0上为单调递增函数 3 已 知 函 数 xf的 定 义 域 是 0 且 对 一 切00 yx 都 有 yfxf y x f 当1 x时 有0 xf 判断 xf的单调性并证明 证明 令1 yx 则 1 1 1 fff 0 1 f 任取 0 21 xx 且使 21 xx 则0 1 2 12 x x fxfxf即 12 xfxf 由定义可知 xf在 0上为单调递增函数 33 1 已知函数 f x对一切 x yR 都有 f xyf xf y 求证 1 f x是奇函数 2 2 若 f x 的图象关于直线 x 1 对称 则 f x 恒等于 0 解 1 在 f xyf xf y 中 令yx 得 0 ff xfx 令0 xy 得 0 0 0 fff 0 0f 0f xfx 即 fxf x f x是奇函数 2 f x 是奇函数 则 f x f x 且 f 0 0 图象关于直线 x 1 对称 即点 x y 2 x y 同在曲线上 有 f 2 x f x 且 f 2 f 0 0又已知 f x y f x f y f x f 2 x f 2 f x f 2 f x 2f x f 2 0 即 f x 0 方法提炼 赋值法 赋值的目的要明确 本题就是要凑出 f 0 f x 与 f x 的关系 领会函数式变换的依据 目的和策略的灵活性 2 已知函数 f x 的定义域是 x 0 的一切实数 对定义域内的任意 x1 x2都有 1212 f xxf xf x 且当1x 时 0 2 1f xf 1 求证 f x 是偶函数 2 f x 在 0 上是增函数 3 解不等式 2 21 2fx 解 1 令 12 1xx 得 1 2 1 ff 1 0f 令 12 1xx 得 1 0f 1 1 fxfxff xf x f x是偶函数 2 设 21 0 xx 则 2 2111 1 x f xf xf xf x x 22 11 11 xx f xff xf xx 34 21 0 xx 2 1 1 x x 2 1 x f x 0 即 21 0f xf x 21 f xf x f x在 0 上是增函数 3 2 1f 4 2 2 2fff f x是偶函数 不等式 2 21 2fx 可化为 2 21 4 fxf 又 函数在 0 上是增函数 0 2 21 4x 解得 10102 222 xx 且 即不等式的解集为 10102 222 xxx 且 3 定义在 R 上的函数 y f x f 0 0 当 x 0 时 f x 1 且对任 意的 a b R 有 f a b f a f b 1 求证 f 0 1 2 求证 对任意的 x R 恒有 f x 0 3 求证 f x 是 R 上的增函数 4 若 f x f 2x x2 1 求 x 的取值范围 1 证明 令 a b 0 则 f 0 f 2 0 又 f 0 0 f 0 1 2 证明 当 x 0 时 x 0 f 0 f x f x 1 f x 1 xf 0 又 x 0 时 f x 1 0 x R 时 恒有 f x 0 3 证明 设 x1 x2 则 x2 x1 0 f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 35 x2 x1 0 f x2 x1 1 又 f x1 0 f x2 x1 f x1 f x1 f x2 f x1 f x 是 R 上的增函数 4 解 由 f x f 2x x2 1 f 0 1 得 f 3x x2 f 0 又 f x 是 R 上的增函数 3x x2 0 0 x 3 关键点注 解本题的关键是灵活应用题目条件 尤其是 3 中 f x2 f x2 x1 x1 是证明单调性的关键 这里体现了向条件化归的策略 4 已知f x 是定义在 上的函数 且 f x 2 1 f x 1 f x 1 求证 f x 是周期函数 若 1 23f 试求 f 2001 f 2005 的值 解 1 1 2 1 f x f x f x 由已知 1 1 1 2 11 4 2 2 1 1 2 1 1 f x f xf x f xfx f x f xf x f x 1 8 4 4 8 4 f xfxf x f x 周期为 2 2001 1 23 ff 11 2005 5 14 23 1 23 fff f 36 第二章第二章 复习题复习题 1 计算 log225 log32 2 log59 的结果为 A 3B 4 C 5D 6 解析 原式 lg25 lg2 lg2 2 lg3 lg9 lg5 2lg5 lg2 3 2lg2 lg3 2lg3 lg5 6 答案 D 2 设 f x 2ex 1 x0 成立 则 x 应满足的条件是 A x 1 2 B 1 2 x 1 C x 1D 0 x0 且 a 1 则有1 2 a 100得 a 1 2 1 100 可得放射性元素满足 y 1 2 1 100 x 1 2 x 100 当 x 3 时 y 1 2 3 100 100 1 2 3 100 0 125 答案 D 6 函数 y log2x 与 y log1 2x 的图象 A 关于原点对称B 关于 x 轴对称 C 关于 y 轴对称D 关于 y x 对称 解析 据图象和代入式判定都可以做出判断 故选 B 答案 B 7 函数 y lg 2 1 x 1 的图象关于 A x 轴对称B y 轴对称 C 原点对称D y x 对称 解析 f x lg 2 1 x 1 lg 1 x 1 x f x lg 1 x 1 x f x 所以 y lg 2 1 x 1 关于原点对称 故选 C 答案 C 8 设 a b c 1 则下列不等式中不正确的是 A ac bcB logab logac C ca cbD logbcb 则 ac bc y logax 在 0 上 递增 因为 b c 则 logab logac y cx在 上递增 因为 a b 则 ca cb 故选 D 答案 D 9 已知 f x loga x 1 a 0 且 a 1 若当 x 1 0 时 f x 1 因而 f x 在 1 上是 增函数 答案 A 10 设 a 424 b 312 c 6 则 a b c 的大小关系是 A a b cB b cc aD a b c 解析 a 424 12243 b 12124 c 6 1266 243 124 66 12243 12124 1266 即 a b1 与 0 a1 时 图象如下图 1 满足题意 图 1图 2 39 2 当 0 af 1 则 x 的取值 范围是 A 1 10 1 B 0 1 10 1 C 1 10 10 D 0 1 0 解析 由于 f x 是偶函数且在 0 上是减函数 所以 f 1 f 1 且 f x 在 0 上是增函数 应有 x 0 1 lgx 1 解得 1 10 x0 且 a 1 的反函数的图象过点 2 1 则 a 解析 由互为反函数关系知 f x 过点 1 2 代入得 a 1 2 a 1 2 答案 1 2 14 方程 log2 x 1 2 log2 x 1 的解为 解析 log2 x 1 2 log2 x 1 log2 x 1 log2 4 x 1 即 x 1 4 x 1 解得 x 5 负值舍去 x 5 答案 5 15 设函数 f1 x x1 2 f 2 x x 1 f3 x x2 则 f1 f2 f3 2007 解析 f1 f2 f3 2007 f1 f2 20072 f1 20072 1 20072 1 1 2 2007 1 答案 1 2007 40 16 设 0 x 2 则函数 y 4x 1 2 3 2 x 5 的最大值是 最小值是 解析 设 2x t 1 t 4 则 y 1 2 4 x 3 2x 5 1 2t 2 3t 5 1 2 t 3 2 1 2 当 t 3 时 ymin 1 2 当 t 1 时 y max 1 2 4 1 2 5 2 答案 5 2 1 2 三 解答题 写出必要的计算步骤 只写最后结果不得分 共 70 分 17 10 分 已知 a 2 3 1 b 2 3 1 求 a 1 2 b 1 2 的值 解 a 1 2 b 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3 2 1 6 7 4 3 2 3 7 4 3 2 3 1 6 7 4 3 2 3 7 4 3 2 3 1 6 4 2 3 18 12 分 已知关于 x 的方程 4x a 8 2 2x 4 2 0 有一个根为 2 求 a 的 值和方程其余的根 解 将 x 2 代入方程中 得 42 a 8 2 22 4 2 0 解得 a 2 当 a 2 时 原方程为 4x 2 8 2 2x 4 2 0 将此方程变形化为 2 2x 2 8 2 2x 4 2 0 令 2x y 得 2y2 8 2 y 4 2 0 解得 y 4 或 y 2 2 当 y 4 时 即 2x 4 解得 x 2 当 y 2 2 时 2x 2 2 解得 x 1 2 41 综上 a 2 方程其余的根为 1 2 19 12 分 已知 f x 2 x 1 2x 1 证明 f x 在区间 上是增函数 证明 设任意 x1 x2 且 x1 x2 则 f x1 f x2 2x1 1 2x1 1 2x2 1 2x2 1 2x1 1 2x2 1 2x2 1 2x1 1 2x1 1 2x2 1 2x1 2x2 2x2 2x1 2x1 1 2x2 1 2 2x1 2x2 2x1 1 2x2 1 x1 x2 2x1 2x2 即2x1 2x2 0 f x1 0 a 0 且 a 1 的解集 解 f x 是偶函数 且 f x 在 0 上递增 f 1 2 0 f x 在 0 上递减 f 1 2 0 则有 log ax 1 2 或 log ax1 时 logax 1 2 或 log ax a 或 0 x a a 2 当 0 a1 2 或 log ax 1 2 可得 0 x a a 综上可知 当 a 1 时 f logax 0 的解集为 0 a a a 当 0 a0 的解集为 0 a a a 21 12 分 已知函数 f x 对一切实数 x y 都满足 f x y f y x 2y 1 x 且 f