[理学]52 二次型与对称矩阵的标准形08年.ppt

经过线性变换 二次型化为 例 则 给定二次型 设该二次型 化为 则 经过线性替换 且 定义5 3 定理 如果存在n阶 使得 则称矩阵A与B合同 原二次型的矩阵 合同 可逆矩阵C 设A B是两个n阶矩阵 经过非退化线性替换 与新二次型的矩阵 定义 的二次型 只含平方项 5 2二次型的标准形 与规范形 形式为 不含交叉项 的秩为 称为标准形 定义 的二次型 每一个标准形 每一对角矩阵 只含平方项 形式为 不含交叉项 对应一个标准形 是对角矩阵 的秩为 称为标准形 对应的矩阵 可写为 此标准形化为 定义 的二次型 称为实数域上 令 是一个标准形 二次型的规范形 形式为 即 定义 的二次型 称为实数域上 其中正项的个数 负项个数 称为二次型的 称为二次型的 r是二次型的秩 二次型的规范形 正惯性指标 负惯性指标 形式为 称为符号差 其对应的矩阵为 个 p个1 r p个 1 在复数范围内 此标准形化为 形式为 二次型的规范形 令 以上二次型可写为 的二次型 复数域上 本书均指实数域上的 规范形 定义 称为 能否通过非退化线性替换 如果能够 用什么方法化为标准形 一个二次型 化成 标准形 二次型 通过非退化线性替换 化成标准形 对称矩阵A 合同到对角矩阵B 又如何化为规范型 给定二次型 如果经过线性替换 化为 则 A与 对角矩阵 合同 实对称矩阵A 存在可逆矩阵C 经过非退化线性替换 二次型f化为 使得 二次型 一 用配方法化二次型为标准形 二 用初等变换法化二次型为标准形 三 用正交替换法化二次型为标准形 二次型 通过非退化线性替换 化成标准形 有三种方法 例 化为标准形 标准形 令 1 用配方法 化二次型为标准形 二次型化为 并写出所作的 非退化线性替换 将 解 例将 化为标准形 令 二次型化为 并写出所作的 非退化线性替换 所作的非退化线性替换为 例 化为标准形 并写出所作的 非退化线性替换 解 令 二次型化为 将 例 化为标准形 并写出所作的 非退化线性替换 解 令 二次型化为 将 例 化为标准形 并写出所作的 非退化线性替换 解 令 二次型化为 将 令 二次型化为 例 令 二次型化为 所作的非退化线性替换为 例 化为规范形 并写出所作的 非退化线性替换 解 令 二次型化为 将 令 二次型化为 规范形 例 令 二次型化为 所作的非退化线性替换为 标准形唯一吗 标准形不唯一 是规范形 正惯性指标为 负惯性指标为 二次型的规范形 二次型的正惯性指标 令 令 由二次型本身 唯一决定 由二次型本身唯一决定 和负惯性指标 定理5 4 惯性定理 为二次型f的 定理5 4 都与对角矩阵 任一二次型f 都可经非退化 线性替换 化为规范形 且规范形由二次型 为二次型f 1和 1的个数共有 其中1的个数为 1的个数为 为二次型的秩 唯一决定 任一实对称矩阵A 合同 为二次型f的秩 其中 个 正惯性指标 的负惯性指标 化二次型为标准形 对于任一对称矩阵A C可逆 为初等矩阵 对角矩阵 作k次相同的列变换 存在可逆矩阵C 再单独对A 相应的行变换 线性变换的矩阵 作k次 2 用初等变换法 使得 例 求非奇异矩阵C 解 使得CTAC为 对角矩阵 例 为标准形 解 经可逆线性替换 化二次型 化为 求可逆线性替换 二次型对应的矩阵为 求可逆线性替换 化为规范形 将 经过非退化线性替换 二次型化为 例 为标准形 解 二次型对应的矩阵为 求可逆线性替换 化 例 为标准形 解 二次型对应的矩阵为 求可逆线性替换 化 经非退化线性替换 二次型化为 二次型的秩为 解 二次型对应的矩阵为A 例 为规范形 求可逆线性替换 化 解 二次型对应的矩阵为A 例 为规范形 求可逆线性替换 化 经可逆线性替换 二次型化为 3 用正交替换法 实对称矩阵A 存在正交矩阵Q 存在正交矩阵Q 经过正交替换 定理4 14 标准形 A的所有特征值 实对称矩阵A 二次型化为 化二次型为标准形 使得 使得 二次型 例 为标准形 解 特征值 Q是正交矩阵 并写出所作的线性替换 利用正交替换法 令 对应的矩阵为 化二次型 经过正交替换 二次型化为 二次型对应的矩阵为 是正交矩阵 例用正交替换 为标准形