[理学]4章 多项式.ppt

第四章多项式 教学要求 1 了解多项式的基本概念 2 掌握多项式的整除概念及其判定方法 3 掌握多项式的因式分解定理及最大公因式的求解方法 4 了解多项式函数及其根等概念 5 有理多项式解的理论 了解 教学重点 1 除概念及其判定方法 难点 1 多项式互素的概念及其应用 2 转相除法 综合除法 3 因式分解定理 4 有理数域上的多项式 2 最大公因式的求法 3 有理根的求法及应用 4 1一元多项式的定义和运算 教学目标掌握一元多项式的定义并会进行简单运算 重点一元多项式的概念 难点一元多项式的概念 4 1一元多项式的定义和运算 定义4 1 1 大家来看以下的式子 由此引出 则形式表达式 1 比较 这里 定义4 1 2 定义4 1 3 设 利用多项式的加法可以定义多项式的减法 2 加法结合律 3 乘法交换律 4 乘法结合律 则 1 2 上面的结果都可以推广到多个多项式的情形 且 定义 所有系数在数域中的一元多项式的全体 称为数域上的一元多项式环 记为 4 2多项式的整除性 教学目标掌握多项式整除的性质及证明 重点整除及其判定方法 难点带余除法及其应用 4 2多项式的整除性 一 概念和性质 多项式整除性的一些基本性质 证明略 板书 定理4 2 1 1 是唯一决定的 多项式的整除性不会因数域的扩大而改变 二 例题 4 3多项式的最大公因式 重点多项式最大公因式的定义 运算及其性质 难点运用展转相除法求最大公因式 最大公因式性质的运用 教学目标掌握多项式最大公因式的定义 运算及其性质 4 3多项式的最大公因式 定义4 3 1 多项式的公因式 设 若中的一个多项式满足且 那么就称为与的一个公因式 定义4 3 2 多项式的最大公因式 设是多项式与的一个公因式 若能整除与的每一个公因式 则称是与的最大公因式 例如 对于任意多项式 就是与0的一个最大公因式 特别地 根据定义 两个零多项式的 最大公因式就是0 引理如果有等式成立 那么 和 有相同的公因式 定理4 3 1中的任意两个多项式 一定有最大公因式 除一个零次因式以外 与的最大公因式是唯一确定的 证明 利用辗转相除法加以证明 对于的任意两个多项式 在中存在一个最大公因式 且可以表成 的一个组合 即有中多项式使得 定理4 3 2若是与的最大公因式 那么在中存在多项式使得一下等式成立 证明 利用定理4 3 1证明中的辗转相除法的式子直接推得 此定理的逆定理不一定成立 由最大公因式的定义不难看出 如果是 的两个最大公因式 那么一定有与 也就是说 这就是说 两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的 用 来表示首项系数是1的那个最大公因式 定义4 3 3中两个多项式 称为互素 也称为互质 的 如果 显然 两个多项式互素 那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式 反之亦然 定理4 3 3中两个多项式 互素的充要条件是有中多项式使 推论1如果 且 那么 推论2如果 且那么 推论3如果 那么 如果使得 1 2 如果 那么 则称为的一个最大公因式 用符号来表示首项系数为1的最大公因式 与在中的首项系数为1的最大公因式 而是与在中首项系数为1的最大公因式 那么 即从数域过渡到数域时 与的最大公因式本质上没有改变 互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形 1 若多项式与互素 则 2 若多项式都整除 且两两互素 则 3 若多项式都与互素 则 例1求多项式与的最大公因式 并求使得 4 4多项式的分解 教学目标掌握不可约多项式的定义 性质及其应用重点不可约多项式的性质及应用 难点不可约多项式的性质及应用 4 4多项式的分解 不可约多项式的性质 4 5重因式 教学目标了解重因式的定义 掌握重因式的判断 重点重因式的判定 难点重因式的判定 4 5重因式 定义4 5 1 定义4 5 2 根据定义可得 定理4 5 1 定理4 5 2 定理4 5 3 无重因式 4 6多项式函数 多项式的根 教学目标了解多项式与多项式函数的区别 掌握综合除法并会应用 重点综合除法 多项式的根 难点综合除法的应用 4 6多项式函数 多项式的根 如果 那么 定理4 6 1 余数定理 定义4 6 1 定理4 6 2 定理4 6 3 多项式相等与多项式函数相等的关系 定理4 6 4 介绍综合除法 由此得出 表中的加号通常略去不写 4 7复系数和实系数多项式的因式分解 教学目标掌握代数基本定理并会应用 重点 难点代数基本定理 复系数和实系数多项式的标准分解因式 4 7复系数和实系数多项式的因式分解 代数基本定理 因此 复系数多项式具有标准分解式 实系数多项式因式分解定理 实系数多项式具有标准分解式 4 8有理系数多项式 教学目标了解本元多项式的定义 有理数域上有任意次不可约多项式 了解艾森斯坦因判别法 会求简单的有理多项式 重点 难点有理多项式根的存在性的判别 4 8有理系数多项式 有理系数多项式的有理根 定义4 8 1 本原多项式的定义 如果一个非零的整系数多项式 Gauss引理两个本原多项式的乘积还是本原多项式 定理4 8 1 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积 那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积 推论4 8 2 定理4 8 3 设 是一个整系数多项式 定理4 8 4 艾森斯坦 Eisenstein 判别法 1 2 3 则多项式 在有理数域上不可约 有理数域上存在任意次的不可约多项式 例如 4 9多元多项式 教学目标了解多元多项式的定义 会对多元多项式进行简单的分析 重点多元多项式的概念 多元多项式函数 难点多元多项式的概念 多元多项式函数 4 9多元多项式 一些单项式用加号连接起来得到 同类项 次数 单项式的次数 的次数为 多项式的次数 出现在这个多项式里一切不为零的单项式的次数最大者 零次多项式无次数 多项式的加法定义 对应项相加 由加法定义知 乘法定义 利用分配律 字母相同指数相加系 数相乘 然后合并同类项 加法 乘法运算规律 g f g f max 减法 字典排列法 1 2 各项的次序了 这就是多项式的字典排列法 定理4 9 1 定理4 9 2 定理4 9 3 那么 设 推论4 9 4 那么 4 10对称多项式 教学目标了解多元对称多项式的定义 会对多元对称多项式进行简单的应用 重点多元对称多项式的定义 性质及应用 难点多元对称多项式的性质及应用 4 10对称多项式 定义4 10 1 设 引理4 10 1 设 即 定理4 10 2 上的对称多项式 证明 存在性使用构造法 唯一性使由引理1 于是 对于复杂的例子 用未定系数法比较方便 首 一个单项式 用符号 所得的一切不同项的和 4 显然是一个对称 多项式 并且是齐次的 例如 现在通过下面的例子来说明未定系数法 如果所给的对称多项式不是齐次多项式 那么 可以先把它写成一些齐次多项式的和 这些齐次多 项式自然也是对称多项式 然后再对每一齐次多 项式应用未定系数法 由定理4 10 2我们可以得到一个有用的推论 设 部根 由根与系数的关系 我们有 推论4 10 3 研究性问题 如何用矩阵的初等变换求两个多项式的最