高中数学第一章导数及其应用1.1第1课时变化率问题学案【新人教版】.docx

11第一课时 变化率问题一、课前准备1课时目标(1) 认识平均变化率，掌握平均变化率的基本概念和基本公式；（2）掌握求函数平均变化率的步骤；（3）理解函数平均变化率的几何意义2基础预探(1)对于函数，当自变量从变为时，函数值从变为，则它的平均变化率为 (2) 习惯上常常把自变量的变化称作自变量的增量，记作，函数值的变化称做函数值的增量，记为，所以当时，函数的平均变化率表示为 (3) 函数在附近的平均变化率为 二、学习引领1 平均变化率的含义 一般地，对于函数在区间上的变化率称为平均变化率，注意到平均变化率是反映曲线陡峭程度的“数量化”2函数平均变化率的理解在式子=，、的值可正、可负，但的值不能为0，的值可为0若函数为常数函数时，当取定值，取不同的数值时，函数的平均变化率不同；当取定值，取不同的数值时，函数的平均变化率也不一样趋于0，是指自变量的改变量越来越小，但始终不能为0，、在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数3 求函数平均变化率的步骤求自变量的增量：；求函数值的增量：；求函数的平均变化率：三、典例导析题型一：函数平均变化率 例1：已知函数，计算它在区间上的平均变化率思路导析：应用在区间上的平均变化率公式解：函数在区间上的平均变化率为规律总结：本题是用斜率来量化直线的倾斜程度，所以已知函数，若、是定义域内不同的两点，记，=，而当时，商，从而称作函数在区间上的平均变化率 变式训练1：已知函数，分别计算函数在区间，上的平均变化率，通过计算，你能发现平均变化率有什么特点吗？题型二：割线的斜率问题 例2：过曲线上两点和作曲线的割线，求当时割线的斜率 思路导析：割线的斜率即为函数从1到的平均变化率解：，割线的斜率为当时，割线的斜率为，则 规律总结：一般地，设曲线是函数的图象，是曲线上的定点，点是上与点邻近的点，有，割线的斜率为变式训练2：国家环保局在规定排污达标日期前，对甲、乙两家企业进行检查，连续的检测结果如图所示意（其中、分别表示甲、乙两企业的排污量），试比较两个企业的治污效果题型三：平均速度问题例3：已知某物体作直线运动其运动规律方程为：（单位：路程： 时间：）求：（1）物体前3内的平均速率；（2）物体在23内的平均速率 思路导析：结合定义求平均速率也就是平均变化率解；（1）（）（2）（）规律总结：此题当中的平均速率其实就是（路程）的平均变化率 变式训练3：自由落体的运动方程为，计算从到，各段内的平均速度（位置的单位为）题型四：理解平均变化率的实质 例4：求函数在到之间的平均变化率，并计算当，时平均变化率的值思路导析：直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再代入数据就可以求得相应的平均变化率解：当自变量变化到时，函数的平均变化率为，当，时，平均变化率的值为规律总结：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的定义，只要求出平均变化率的表达式，它的值就可以很容易算出变式训练4：若，分别计算函数区间，上的平均变化率四、随堂练习1在区间上，下列函数的平均变化率为定值的是（ ）ABCD2 在曲线的图象上取一点及邻近一点，则平均变化率为( )A B C D 3在曲线上取一点，它的横坐标为，则曲线在点处的横坐标的增量()A大于零 B等于零 C小于零 D可以大于零也可以小于零4函数，当，时，=_5已知函数，当由2变到时，函数的增量_6甲企业用2年时间获利100万元，乙企业投产6个月时间就获利30万元，如何比较和评价甲、乙两企业的生产效益？（设两企业投产前的投资成本都是10万元）五、课后作业1已知函数在处的增量为，则的值为（ ）A B C D2在平均变化率的定义中，自变量在处的增量( )A大于零 B小于零 C等于零 D不等于零3函数在上的平均变化率 4已知一质点的运动方程为，求该质点在这段时间内的平均速度为 5已知函数，（1）求函数在上的平均变化率；（2）若自变量从增加到，则该函数的平均变化率又是多少6已知气球的体积为（单位：）与半径（单位：）之间的函数关系是，（1）求半径关于体积的函数；（2）比较体积从增加到和从增加到，半径的平均变化率，哪段半径变化比较快（精确到），此结论可说明什么意义？11第一课时 变化率问题一、2基础预探(1)答案：(2)答案：(3)答案： 解：，所以三、典例导析变式练习1 解：函数在上的平均变化率为=；函数在上的平均变化率为=；函数在上的平均变化率为=通过计算发现函数的平均变化率随着变小而变小，若变得很小时，则平均变化率与2无限接近2 解：分别在、上取区间，则，由图象可以知道，单位时间内中大（即平均变化率大）观察图形，单位时间内，中大，而中比较小，所企业甲比企业乙的平均治污率大，从而判定企业甲治污效果更好3解：要求平均速度，就是求的值，故求出，即可设在内的平均速度为，则， ； 同理； 4解：函数在区间上的平均变化率为=函数上的平均变化率为=四、随堂练习1答案：D 解析：=为定值2答案：选C3答案：选D 可能大于零也可能小于零4答案：5答案：6 解：甲企业生产效益的平均变化率为，乙企业生产效益的平均变化率为因为，则可以确定甲的生产效益好五、课后作业1答案：A解：2答案D解：可以大于零也可以小于零3答案： 解：4答案：解：质点在这段时间内的平均