[自然科学]第3章 线性系统的时域分析partA.ppt

第3章线性系统的时域分析 广西大学电气工程学院 内容提要 1 什么时域分析2 典型输入信号3 时域响应4 稳定性5 性能指标 暂态和稳态6 一阶系统 二阶系统7 高阶系统及其降阶8 线性系统的稳态性能9 根轨迹法10 零 极点分布对系统性能的影响 什么是时域分析 需要具备什么条件 时域分析就是对系统施加一个给定的输入信号 通过研究系统的时间响应来评价系统的性能 稳定性 暂态性能及稳态性能分析 控制系统的响应取决于系统本身的结构和参数 还有系统的初始状态和输入信号的形式 为了便于分析和设计 常采用一些典型的输入信号 对象 激励 内容提要 1 什么时域分析2 典型输入信号3 时域响应4 稳定性5 性能指标 暂态和稳态6 一阶系统 二阶系统7 高阶系统及其降阶8 线性系统的稳态性能9 根轨迹法10 零 极点分布对系统性能的影响 t R r t 0 典型输入信号 阶跃 阶跃输入信号 Stepfunction 注 a 在0时刻无定义b 单位阶跃一般用1 t 表示c 阶跃输入对衡量性能指标具有一般性 斜率 Slope R r t t 0 典型输入信号 斜坡 斜坡输入信号 Rampfunction r t 0 t 典型输入信号 抛物线 抛物线输入信号 Parabolicfunction r t 0 t 典型输入信号 冲激 冲激输入信号 Impulsefunction r t 0 t 典型输入信号 正弦 正弦输入信号 Sinefunction 典型输入信号的选择 在实际应用中究竟使用哪一种信号 要取决于系统的工作状态以及系统的类型 对于一些定值控制系统 例如恒温 恒压 恒速 考虑最不利的扰动影响 用阶跃信号作为输入 如果研究系统对输入信号的跟踪情况 如天线控制系统 卫星跟踪系统或导弹导航 可以使用斜坡信号 加速度信号或方波信号作为输入 如果要测试控制系统频率特性 则用正弦信号 内容提要 1 什么时域分析2 典型输入信号3 时域响应4 稳定性5 性能指标 暂态和稳态6 一阶系统 二阶系统7 高阶系统及其降阶8 线性系统的稳态性能9 根轨迹法10 零 极点分布对系统性能的影响 时域响应 一般n阶CLTIS对象的微分方程模型的形式如下 特征方程微分方程模型的解与运动模态Laplace变换分析系统响应中表现形式相互间的关系 微分方程模型的解与运动模态 根据线性微分方程的理论有微分方程的通解 齐次方程的通解 非齐次方程的特解特征方程无重根时 齐次方程的通解为特征方程有重根时 则模态中还有特征方程有共轭复根 则模态有非齐次微分方程的特解y2 t 与输入信号有关 对输入信号为多项式 at2 bt c 时 运动模态 从系统响应的观点对解进行理解 系统响应 暂态响应 稳态响应暂态响应是系统的自振荡 其形式取决于系统自身特性而与激励信号 注意 系数的取值与激励信号和初始条件无关 稳态响应是输入信号直接作用的结果 在特征值均小于0的情况下 通解部分 响应中只剩下 从物理角度讲 会有暂态响应原因 之所以有暂态响应存在 是因为动态系统中总是存在惯性 机械惯性 电磁惯性 或其它类型的惯性 系统的运动需要能量 而能量是不能跃变的 所以 所有实际的物理系统的运动都是有暂态响应 过渡过程 的 拉普拉斯变换得到解 用拉普拉斯变换可以更方便地分析问题 这要用到拉普拉斯变换的微分性质 如果不考虑初始状态 微分性质可以表述为 时域微分对应s域乘上s 即L df t dt sF s 如果考虑初始状态 微分性质则为 拉普拉斯变换得到解 对上式微分方程作拉普拉斯变换 得到 其中 Ny0 s 和Nr0 s 分别是与初始状态有关的n阶和m阶多项式 进一步可以得到 拉普拉斯变换得到解 第一项是仅由输入产生的响应 也称为零状态响应 第二项是仅由状态产生的响应 也称为零输入响应 可以看出 零输入响应与输入无关 因此是暂态响应的一部分 用反Laplace变换求响应 留数法 设pi是k重极点 则 用反Laplace变换求响应 部分分式法 系统响应划分 系统响应可以做如下划分 研究线性系统本身的性质 可只考虑零状态响应部分 分析系统的暂态响应和稳态响应 于是只要分析清楚传递函数的性质 传递函数 例 RLC串联电路的响应 L 1H C 1F R 1 uo 0 0 1V i 0 0 1A a ui t 1V 不可思议 求 电路突然接通时 电容电压变化规律 b ui t 0V 方法 1 直接据微分方程解理论求解2 利用Laplace变换方法 例 答案 ui 1V ui 0V 例 在MATLAB中画出曲线图 rlc resp m 内容提要 1 什么时域分析2 典型输入信号3 时域响应4 稳定性5 性能指标 暂态和稳态6 一阶系统 二阶系统7 高阶系统及其降阶8 线性系统的稳态性能9 根轨迹法10 零 极点分布对系统性能的影响 什么是稳定性 稳定性是一个控制系统最基本的要求 控制系统在实际运行过程中 总会受到外界和内部一些因素的干扰 例如 负载和电源的波动 系统参数的变化 环境条件的改变等 设一个系统处于某一平衡状态 若此系统在干扰的作用下离开了原来的平衡状态 那么干扰作用消失后 系统是否能够回到原来的平衡状态 这就是系统的稳定性问题 直观地理解稳定性 下面的物理系统有助于直观地理解稳定性 从能量观点解释Lyapunov稳定性 稳定性的严格定义和理论阐述是Lyapunov于1892年提出的 他从能量观点分析稳定性 一个系统在外界干扰的作用下离开了原来的平衡状态 当干扰作用消失后 如果系统的储能既不增加 也不消耗 则这个平衡状态就是李亚普若夫意义下的稳定 如果系统储存的能量随时间的推移逐渐衰减 到达平衡状态时 能量将达最小值 则这个平衡状态是渐近稳定的 如果系统不断地从内部吸收能量 储能越来越大 则这个平衡状态是不稳定的 稳定性严格的数学定义与属性 定义 Lyapunov意义下 稳定 对于任意的 0 都存在 t0 0 使得当 x t0 t0 时有 x t t0 x0 t t0 成立 则称系统关于平衡状态 或原点 x 0是稳定的 Lyapunov意义下 若上述定义中的 即 与t0无关 关于t0一致 则称所定义的稳定为一致稳定 稳定性定义的图解 进一步讨论将在现代控制理论中展开 特别是通过类能量函数对稳定性进行判定的Lyapunov第二法应用相当广泛 a 此处 随着 t0而变化 b x t t0 x0 t t0 初值变化充分小时 解的变化 t t0 可任意小 不是无变化 c t0 BIBO稳定 零状态 零初始件 稳定 BIBO稳定 初始条件为0 如果一个系统在一个有界输入或扰动作用下其响应也是有限的 称系统BIBO稳定 对于线性定常系统而言 BIBO稳定要满足什么条件 要求y t 有界 要求g t 收敛 BIBO稳定与特征根间的关系 CLTIS 传递函数是冲激响应的Laplace变换 于是 If 0 特征根在右半复平面或在虚轴上 then 无界 与BIBO稳定条件矛盾 结论 CLTIS的零输入稳定与渐近稳定1 零输入稳定 渐近稳定 当t渐趋无穷时 由初始条件产生的响应渐趋于0 称该系统为零输入稳定 从输出的Laplace变换表达式稳定的要求 特征多项式 CLTIS的零输入稳定与渐近稳定 反Laplace变换可得 结论 充分必要条件 对allsi Re si 0 有重虚根 CLTIS不稳定Re sj 0 单重虚根 CLTIS临界 稳定性进一步说明 对于LTIS BIBO 渐近稳定均要求所有的特征值均位于复平面左边 LS的稳定性取决于系统的固有性质 而与外界条件无关 稳定性取决于特征值 系统的稳定性还有一个局部特性 这一特性只在时变线性系统和非线性系统中有所体现 而在时不变线性系统中是全局的 非线性系统的稳定相当复杂 可能与初值和外加激励有关 也可能出现稳定的自激励振荡现象 可线性化的非线性系统可以利用Lyapunov第一法进行判定 但也有判定不了的情况 验证稳定性之例1 要说明什么问题 sys stability adjust m 验证稳定性之例2 要说明什么问题 sine input jw output mdl 验证稳定性之例3 考查下面非线性系统的稳定性 要说明什么问题 nonlinear sys stab mdl CLTIS的代数稳定性判据 先看一例 如果特征多项式如下 你能手动解它吗 可以用roots 为此 必须寻找一种间接的方法 即不需要求解高次方程也能判别方程的特征根是否全部在复平面的左半平面的方法 2 93230 0222 0 7142i0 0222 0 7142i 0 4453 系统稳定性的必要条件 已知系统的特征方程为ansn an 1sn 1 a1s a0 0ansn an 1sn 1 a1s a0 an s s1 s s2 s sn 0如果特征根的实部均为负数 则容易证明各系数的符号都相同 因此一般假设所有系数均为正数 但这还不够判定稳定性 Routh判据 Routh判据的第一步是列出Routh表 其两行是特征方程的系数 后面根据规则计算 表中第一列系数符号改变的次数 就是特征方程的根位于s平面右半平面的个数 稳定充要条件 表中第一列系数值均大于零 例 设系统的特征方程如下 用Routh判据判别系统的稳定性 解 列出Routh表如下 显然 该系统是不稳定的 且有2个根在复平面右半平面 Routh判据之例 例 设系统的特征方程如下 用Routh判据判别系统的稳定性 解 列出Routh表如下 该系统是稳定的 Routh判据 劳斯判据的两种特殊情况 某行第一列的系数为零 该行其余各项中某些项不等于零 可以用一个很小的正数来代替零值项 然后按通常的方法计算劳斯表中其余各项 某行所有系数均为零如果出现这种情况 则表明在 平面中有对称于原点的实根 或共轭虚根存在 可用下述方法处理 a 取元素全为零的前一行 以其系数组成辅助方程 式中的s均为偶次 根是对称出现的 b 求辅助方程对s的导数 以其系数代替全为零值行 c 继续求下面各行的系数 并判断稳定性 d 解辅助方程 得对称根 可用长除法求剩余的根 Routh判据特殊情况例之一 例 特征方程为 劳斯表为 考察第一列各项系数 当时 是一个很大的负数 因此第一列各项数值的符号改变了两次 按劳斯判据 该系统有两个极点具有正实部 系统是不稳定的 Routh判据特殊情况例之二 线性系统的稳定性 例 特征方程为 劳斯表为 将辅助方程求导后的系数作为行的元素 并往下计算各行 自已继续 有共轭虚数极点 例 设某单位反馈系统开环传递函数如下 试确定使闭环系统稳定的K值和T值 解 写出系统闭环特征方程如下 列出Routh表 所以有T 0 K 0 以及 利用Routh判据确定参数范围 1 即 利用Routh判据确定参数范围 2 判据 与Routh判据有异曲同工之妙 构造Hurwitz行列式 各阶主子式大于0 稳定 Hurwitz判据的证明可以采用Lyapunov第二法 将高阶齐次微分方程变换成齐次状态方程 给定对称正定 或非负定 矩阵Q 由Lyapunov方程求P 由要求P正定的条件得证 思考 与Routh判据间的关系 Lienard已证明当各奇阶主子式大于0时 稳定 内容提要 1 什么时域分析2 典型输入信号3 时域响应4 稳定性5 性能指标 暂态和稳态6 一阶系统 二阶系统7 高阶系统及其降阶8 线性系统的稳态性能9 根轨迹法10 零 极点分布对系统性能的影响 对于一个控制系统 首先要求其 稳 这有两个含义 一个是稳定性 另一个是指暂态过程的平稳 第二个要求就是 快 即暂态响应时间应尽可能地短 第三个要求是 准 即稳态响应应尽可能地与我们所期望的一样 鲁棒性则是一个考虑实际情况下的对系统响应的一个要求 对系统响应的要求 对控制系统的这些要求有可能是相互冲突的 因此对于不同的系统 应有不同的指标要求 对于调节系统 强调的是抗干扰的能力 对输出的平稳性和准确性要求较高 而对快速响应的要求就不高 对于跟踪系统 强调的是响应速度 对快速性的要求很高 而对平稳性的要求就较低 对稳定性的要求也大大降低 对系统响应的要求 对系统响应的要求的定量描述可以用暂态性能指标和稳态性能指标 暂态性能指标描述暂态过程的快速性和平稳性 通常用系统的单位阶跃响应的参数表征系统的暂态性能 并且假设系统的初始状态为零 稳态性能指标描述稳态输出的准确性 对系统响应的要求 暂态性能与稳态性能指标 暂态 峰值时间tp peaktime 反映快速性最大超调量 p maximumovershoot 反映平稳性上升时间tr risetime 反映快速性调整时间ts settlingtime 反映快速性延迟时间td delaytime 振荡次数N衰减比 稳态 稳态误差ess 图解指标 c t ess td 0 tr tp ts 超调量 td 延迟时间 tr 上升时间 tp 峰值时间 ts 调节时间 t B1 B2 振荡次数 N ts Td 穿越稳定值次数的一半 对指标的进一步说明 内容提要 1 什么时域分析2 典型输入信号3 时域响应4 稳定性5 性能指标 暂态和稳态6 一阶系统 二阶系统7 高阶系统及其降阶8 线性系统的稳态性能9 根轨迹法10 零 极点分布对系统性能的影响 一阶系统 以一阶微分方程为运动方程的控制系统 称为一阶系统 RC电路网络是典型的一阶系统 输入电压为阶跃信号时 电容电压以指数规律上升 一阶系统 简单的过程控制系统如恒温箱 液位调节系统等具有典型一阶系统的特性 但是机电系统中很少出现一阶系统 一阶系统的传递函数一般为 0时称为惯性环节 典型的一阶系统不仅 0 还有k 1 典型的一阶系统冲激响应 典型一阶系统单位阶跃响应具有以下特性 ts 3 4 T 典型的一阶系统单位阶跃响应 典型一阶系统单位阶跃响应具有以下特性 1 以指数规律上升 初始斜率为1 T 2 t 3T时输出上升到稳态值的5 范围内 t 4T时输出上升到稳态值的2 范围内 3 没有超调 没有稳态误差 4 响应求导就是冲激响应 典型的一阶系统单位斜坡响应 响应 输入为单位斜坡信号时 稳态误差为T 响应求导就是阶跃响应 典型的一阶系统抛物线响应 响应 输入为单位抛物线信号时 误差 一阶系统不能跟踪抛物线信号 对抛物线响应求导 斜坡响应 一阶系统响应总结 这是线性定常系统的一个重要特征 适用于任何阶线性系统 但不适用于非线性系统 想想为何 一阶系统的工程辨识 根据分析和设计控制系统的需要 需要将测定的阶跃响应曲线转化为传递函数数学模型 一阶带滞后数学模型是典型工业过程 可以通过阶跃响应曲线获得相关参数 辨识方法一 飞升曲线近似法 K的确定传递函数中的T与 的确定 作飞升曲线拐点的切线AB交于时间轴和c 由此确定 和T切线选取随意带有误差 拟合精度低 在工业中有广泛应用 辨识方法二 飞升曲线二两点法 将阶跃响应c t 转换为无量纲形式 二阶系统 以二阶微分方程为运动方程的控制系统 称为二阶系统 二阶系统是一类比较典型的系统 很多系统都可以表示一个二阶系统 一般的机电系统同时具有机械和电气两方面的惯性 所以都是二阶或更高阶的系统 在分析和设计系统时 经常用二阶系统作为基准 在实际中更常见的是高阶的系统 但是这些系统往往可以近似为二阶系统 典型的二阶系统 为了使研究的结果具有普遍的意义 我们从典型的二阶系统开始研究 典型的二阶系统具有如下的传递函数和结构图 特点 负反馈闭环结构 开环带有积分 没有零点 阻尼系数 自然振荡角频率 T 1 n称为系统的时间常数 特征方程与根 典型的二阶系统阶跃响应 系统的特征方程为 系统的特征根为 特征根非重根时 系统的阶跃响应为 特征根在复平面上的位置 对系统的响应有很大的影响 阻尼系数 的取值决定了特征根在复平面上的位置 n n n n 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 阻尼比变化导致特征根与阶跃响应变化 criticaldamped 临界阻尼 overdamped 过阻尼 undamped 无阻尼 underdamped 欠阻尼 实际中的 0的四种情况 系统单位阶跃响应的稳态值为1 稳态误差为0 系统单位阶跃响应的稳态响应是在1上下振动的正弦 过阻尼与临界阻尼系统的阶跃响应 过阻尼系统和临界阻尼系统的单位阶跃响应是无振荡的单调上升曲线 超调量为0 阻尼系数越大 调整时间越长 欠阻尼系统的阶跃响应 欠阻尼系统具有灵活的暂态性能 而且多数机电控制系统都与欠阻尼二阶系统的性能相似 因此欠阻尼系统在实际中应用最广泛 欠阻尼系统的极点和单位阶跃响应分别为 记为衰减系数为阻尼振荡频率为阻尼角 则欠阻尼系统的极点和单位阶跃响应分别为 欠阻尼系统的阶跃响应 欠阻尼系统的单位阶跃响应是幅度按指数规律衰减的振荡过程 阻尼系数越小 超调量越大 欠阻尼系统的阶跃响应指标计算 将y t 对时间取导数并令其等于0 可以得到响值的时间 第一个峰值时间 代入响应表达式 因此最大超调量 超调量仅与阻尼系数有关 与自然频率无关 欠阻尼系统的阶跃响应指标计算 在各类指标中调节时间的计算最困难 但是工程上通常用响应曲线的包络线 上包络线或者下包络线 来进行估计 所得的结果略为保守 由要求调整时间最短求阻尼比 讨论 欠阻尼系统要求调整时间最短 如何求取此时的阻尼比 由要求调整时间最短求阻尼比参考 i 由包络线求法得到的阻尼比在5 和2 要求下分别为0 8895 0 9096 ii 由最大超调量要求达到5 和2 的求法得到的阻尼比分别为0 6901 0 7797 可以看出后者才是要求调整时间最短时的最佳阻尼比 所以用包络线法计算的结果在精确度要求较高时是不科学的 不过根据对误差的要求基本可以确定最佳阻尼比应在0 6 0 8之间 通常取0 707 欠阻尼系统的阶跃响应指标计算 上升时间计算 欠阻尼系统的阶跃响应指标计算 振荡次数 工程上 N 1 5 2次 此时认为控制系统有较好性能 欠阻尼系统的阶跃响应指标计算 衰减比 工程中也常设计控制系统的衰减比为4 1 即衰减率为75 衰减率 例 求阶跃响应的各指标 例 已知如图所示系统 1 求 3 若要求 解 例 求阶跃响应的各指标 续 当T不变时 欠阻尼系统阶跃响应归纳 提高 n可减小上升时间 峰值时间 调整时间 越小 超调量越大 平稳性越差 过小时 调整时间长 越大 系统响应迟钝 调整时间长 快速性差 0 707时 调整时间短 快速性还好 而超调量 5 平稳性也好 一般选取 25 1 5 确定 0 4 0 8 典型的二阶系统冲激响应 可见 1 1时 g t 不改变符号 为何 2 0 1时 g t 与横轴第一次交点为tp 典型的二阶系统冲激响应 3 当t 无穷 响应如下 典型的二阶系统斜坡响应 输入是输出是 误差是 具有零点的典型二阶系统分析 在典型二阶系统的基础上增加一个零点 定性分析 欠阻尼系统的阶跃响应为 具有零点的典型二阶系统分析续 可见 y t 比ystep t 响应快 且超调量要求大 具有零点的典型二阶系统分析续 定量计算 引入一个定量描述零点作用的参量 零点与极点实部的比值 具有零点的典型二阶系统分析续 如图 Then可以忽略零点对 的影响 用典型的二阶系统超调量公式计算 调节时间 二阶系统性能的改善 在实际控制问题中 被控对象的参数是不可改变的 加入其他环节 增加系统的可调参量加入比例会如何呢 加入比例微分又如何呢 加入比例积分又如何呢 加入内环采用速度反馈又如何呢 典型二阶系统为 开环传递函数为 实际对象 其性能由自由振荡频率和阻尼系数决定 二阶系统性能的改善 加入比例 要调节系统性能 最简单的方法是在闭环系统串联一个放大器 自己分析这个系统 二阶系统性能的改善 比例微分 比例微分控制器是在前向通道中再并联一个微分环节 这样传递函数中会出现零点 添加了比例微分控制器后 阻尼系数增大 y t 二阶系统性能的改善 比例微分 增加微分控制环节后 取得误差与误差变化率信息 为改善控制效果提供了保证 二阶系统性能的改善 比例微分 系统响应的形式改变 系统响应增加了一项 新增的项是典型二阶系统阶跃响应的微分 或者说是典型二阶系统的脉冲响应 二阶系统性能的改善 比例微分 取 比例微分控制器的特点 增加系统阻尼比 不影响系统自然频率 从而抑制振荡 使超调减弱 改善系统平稳性 可通过适当选择微分时间常数Td 改变阻尼的大小 d 零点的出现 将会加快系统响应速度 使上升时间缩短 峰值提前 因此适当选择微分时间常数 使系统具有过阻尼 则响应将在不出现超调的条件下 显著提高快速性 不能消除斜坡输入的误差 开环增益K n 2 适当选择开环增益 以使系统在斜坡输入时的稳态误差减小 单位阶跃输入时有满意的暂态性能 快速反应 小的超调 微分对高频噪声有放大作用 输入噪声较大时 不宜采用 对于机电系统 其暂态过程较快 一般不推荐使用微分控制 二阶系统性能的改善 比例积分 另一种类似的控制器是并联积分环节 称为比例积分控制器 它可以减小乃至消除稳态误差 可以抑制输入端的噪声 增加了系统的阶次 可能带来稳定性问题 自己分析这个系统 二阶系统性能的改善 速度反馈 比例微分控制器是在前向通道并联一个微分环节 速度反馈控制是在反馈通道并联一个测速装置 微分环节 超调量增加 速度反馈控制的特点 引入速度反馈 不影响系统自然频率 但使系统阻尼比增加 速度反馈会降低系统的开环增益 而加大系统在斜坡输入时的稳态误差 速度反馈不形成闭环零点 因此Kt Td时 其输出平稳性优于比例 微分控制 例 改善指标 例 已知如图所示系统 若要求 采用比例微分和速度反馈控制 求Td和Kt的取值 并比较两种情况下的调节时间 有什么思路 例解答 解 1 误差信号的比例微分控制 零点作用 零点的影响可忽略 计算调节时间 例解答续 2 输出量的速度反馈控制 仍有 不用考虑能否忽略影响的问题 而且调节时间减小为 此题是否可以用比例积分控制达到要求 请下去思考 希望下节课有结果 并添加到下页的图中 例解的MATLAB程序 second order pd ratefeedback m 例解的MATLAB仿真结果 仔细观察 按上面的设计达到要求了吗 内容提要 1 什么时域分析2 典型输入信号3 时域响应4 稳定性5 性能指标 暂态和稳态6 一阶系统 二阶系统7 高阶系统及其降阶8 线性系统的稳态性能9 根轨迹法10 零 极点分布对系统性能的影响 高阶系统时域分析 不考虑重根的情况 高阶系统时域分析 计及零初始条件 反Laplace变换得 a 高阶系统时域响应的瞬态分量是由一阶系统 惯性环节 和二阶系统 振荡环节 的响应函数组成的 其中输入信号 控制信号 极点所对应的拉普拉斯反变换为系统响应的稳态分量 传递函数极点所对应的拉普拉斯反变换为系统响应的瞬态分量 各系统模态在稳定的情况下渐衰为0 高阶系统时域分析 b 系统模态的形式由闭环