广东省湛江市徐闻一中高三数学上学期11月质检试卷 理（含解析）.doc

广东省湛江市徐闻一中2015届高 三上学期11月质检数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）a34ib3+4ic34id3+4i2（5分）一元二次方程x2+2x+a=0有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）aa0ba0ca1da13（5分）已知向量=+3，=5+3，=3+3，则（）aa、b、c三点共线ba、b、d三点共线ca、c、d三点共线db、c、d三点共线4（5分）abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c=2a，则sinb=（）abcd5（5分）设，是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）a若l，则lb若l，则lc若l，则ld若l，则l6（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）a6b7c8d237（5分）已知函数f（x）=x2+2cosx，若f（x）是f（x）的导函数，则函数f（x）在原点附近的图象大致是（）abcd8（5分）已知xr，符号x表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则a的取值范围是（）abcd二填空题（6*5=30分）（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答9（5分）函数的定义域是10（5分）已知向量，则向量与的夹角为11（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是cm212（5分）已知函数f（x）=cosxsinx，给出下列五个说法：f（）=；若f（x1）=f（x2），则x1=x2；f（x）在区间，上单调递增； 将函数f（x）的图象向右平移个单位可得到y=cos2x的图象；f（x）的图象关于点（，0）成中心对称其中正确说法的序号是13（5分）已知，数列的前n项和为sn，数列bn的通项公式为bn=n8，则bnsn的最小值为三、选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分（坐标系与参数方程选做）14（5分）在极坐标系中，点（1，0）到直线（cos+sin）=2的距离为四、（几何证明选讲选做题）15如图，点b在o上，m为直径ac上一点，bm的延长线交o于n，bna=45，若o的半径为2，oa=om，则mn的长为五、解答题（本大题共6小题，满分80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（12分）已知向量=（1，3cos），=（1，4tan），且=5（） 求|+|；（） 设向量与的夹角为，求tan（+）的值17（12分）在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖已知教师甲投进每个球的概率都是（）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为x，求x的分布列及数学期望；（）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？18（14分）如图，四棱锥sabcd的底面是正方形，sd平面abcd，sd=ad=a，点e是线段sd上任意一点（1）求证：acbe；（2）若二面角caed的大小为60，求线段ed的长19（14分）已知数列an的首项a1=，an+1=，n=1，2，（）证明：数列1是等比数列；（）求数列的前n项和20（14分）已知椭圆e：+=1（ab0）的离心率e=，并且经过定点p（，）（）求椭圆e的方程；（）设a，b为椭圆e的左右顶点，p为直线l：x=4上的一动点（点p不在x轴上），连ap交椭圆于c点，连pb并延长交椭圆于d点，试问是否存在，使得sacd=sbcd成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由21（14分）设函数f（x）=lnxx2+ax（ar）（） 求函数f（x）的单调区间；（） 已知a（x1，f（x1），b（x2，f（x2）（x1x2）是函数f（x）在x1，+）的图象上的任意两点，且满足，求a的最大值；（） 设g（x）=xe1x，若对于任意给定的x0（0，e，方程f（x）+1=g（x0）在（0，e内有两个不同的实数根，求a的取值范围（其中e是自然对数的底数）广东省湛江市徐闻一中2015届高三上学期11月质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）a34ib3+4ic34id3+4i考点：复数相等的充要条件 专题：数系的扩充和复数分析：根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值解答：解：复数z满足（3+4i）z=25，则z=34i，故选：a点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题2（5分）一元二次方程x2+2x+a=0有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）aa0ba0ca1da1考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：函数的性质及应用分析：根据一元二次方程根与系数之间的关系求出命题的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论解答：解：若一元二次方程x2+2x+a=0有一个正根和一个负根，则，即，解得a0，即一元二次方程x2+2x+a=0有一个正根和一个负根的充要条件是a0，则a0的充分不必要条件可以是a1，故选：c点评：本题主要考查一元二次方程根与判别式之间的关系和应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键3（5分）已知向量=+3，=5+3，=3+3，则（）aa、b、c三点共线ba、b、d三点共线ca、c、d三点共线db、c、d三点共线考点：向量的共线定理 专题：平面向量及应用分析：利用向量共线定理即可得出解答：解：=，a、b、d三点共线故选：b点评：本题考查了向量共线定理，属于基础题4（5分）abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c=2a，则sinb=（）abcd考点：正弦定理 专题：解三角形分析：直接利用等比数列求出abc的关系，结合已知条件利用余弦定理求出b的余弦函数值，然后求解sinb解答：解：abc中，由a、b、c成等比数列，所以b2=ac，由余弦定理可知：b2=a2+c22accosb，又c=2a，2a2=a2+4a24a2cosb，cosb=，sinb=，故选：c点评：本题主要考查余弦定理的应用，等比数列的定义，同角三角函数的基本关系，考查计算能力，属于基础题5（5分）设，是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）a若l，则lb若l，则lc若l，则ld若l，则l考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现a，b，d中由条件均可能得到l，即a，b，d三个答案均错误，只有c满足平面平行的性质，分析后不难得出答案解答：解：若l，则l或l，故a错误；若l，则l或l，故b错误；若l，由平面平行的性质，我们可得l，故c正确；若l，则l或l，故d错误；故选c点评：判断或证明线面平行的常用方法有：利用线面平行的定义（无公共点）；利用线面平行的判定定理（a，b，aba）；利用面面平行的性质定理（，aa）；利用面面平行的性质（，a，a，aa）线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来6（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）a6b7c8d23考点：简单线性规划的应用 专题：不等式的解法及应用分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值解答：解：画出不等式表示的可行域，如图，让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点b自目标函数取到最小值，解方程组得（2，1），所以zmin=4+3=7，故选b点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解7（5分）已知函数f（x）=x2+2cosx，若f（x）是f（x）的导函数，则函数f（x）在原点附近的图象大致是（）abcd考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：由题可得f（x）=2x2sinx，判断导函数的奇偶性，利用特殊值的函数值推出结果即可解答：解：函数f（x）=x2+2cosx，f（x）=2x2sinx=2（xsinx），f（x）=2x+2sinx=（2x2sinx）=f（x），导函数是奇函数，x（0，），xsinx0，b、c、d不正确故选：a点评：本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力8（5分）已知xr，符号x表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则a的取值范围是（）abcd考点：函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：由题意可得，方程 在（0，+）上有且仅有3个实数根，且 a0，x=1，2，3分别求得x=1，2，3，4时，a的范围，从而确定满足条件的a的范围解答：解：因为f（x）=，有且仅有3个零点，则方程 在（0，+）上有且仅有3个实数根，且 a0x0，x0； 若x=0，则=0；若x1，因为xxx+1，1，a1，且 随着x的增大而增大故不同的x对应不同的a值，故有x=1，2，3若x=1，则有 1；若x=2，则有 1；若x=3，则有 1；若x=4，则有 1综上所述，a，故选：c点评：本题主要考查函数零点的判定定理，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题二填空题（6*5=30分）（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答9（5分）函数的定义域是（1，2考点：函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用分析：由函数的解析式可得 =，可得 0x11，由此解得x的范围，即为所求解答：解：由于函数，故有 =，0x11，解得 1x2，故答案为 （1，2点评：本题主要考查求函数的定义域，对数函数的单调性和特殊点，属于基础题10（5分）已知向量，则向量与的夹角为30考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：计算题；平面向量及应用分析：由平面向量模的公式和数量积计算公式，算出|=|=1且=，再用向量的夹角公式即可算出向量与的夹角解答：解：，|=|=1，且=cos35cos65+sin35sin65=cos（30）=cos30=设与的夹角为，可得cos=0180，=30故答案为：30点评：本题给出向量含有三角函数的坐标形式，求它们的夹角大小，着重考查了数量积表示两个向量的夹角的知识，属于基础题11（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是80+16cm2考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：由三视图可知该几何体上部分为四棱锥，下部分为正方体，根据条件求出该几何体的表面积即可解答：解：由三视图可知该几何体上部分为四棱锥，下部分为正方体则四棱锥的高vo=2，底面正方形的边长ab=4，四棱锥的侧面三角形的高ve=，四棱锥的侧面积为4=16正方体的棱长为4，共有5个表面积，即544=80故该几何体的表面积为：80+16故答案为：80+16（cm2）点评：本题主要考查三视图的应用，以及空间几何体的表面积的计算，要求熟练掌握常见几何体的表面积公式12（5分）已知函数f（x）=cosxsinx，给出下列五个说法：f（）=；若f（x1）=f（x2），则x1=x2；f（x）在区间，上单调递增； 将函数f（x）的图象向右平移个单位可得到y=cos2x的图象；f（x）的图象关于点（，0）成中心对称其中正确说法的序号是考点：命题的真假判断与应用；正弦函数的对称性；函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：利用三角公式和三角函数的图象和性质分别进行判断即可解答：解：f（x）=cosxsinx=，为奇函数f（x）的周期是，f（）=f（160+）=f（）=，正确；由f（x1）=f（x2）=f（x2），知x1=x2+2k或x1=x2+2k，kz；所以错误令，得，由复合函数性质知f（x）在每一个闭区间上单调递增，但，故函数f（x）在，上不是单调函数；所以错误将函数f（x）的图象向右平移个单位可得到，所以正确；函数的对称中心的横坐标满足2x0=k，解得，即对称中心坐标为，则点（，0）不是其对称中心所以错误故答案为点评：本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，利用三角函数的图象和性质是解决三角函数题目的关键13（5分）已知，数列的前n项和为sn，数列bn的通项公式为bn=n8，则bnsn的最小值为4考点：定积分；数列的函数特性；数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：由题意，先由微积分基本定理求出an再根据通项的结构求出数列的前n项和为sn，然后代入求bnsn的最小值即可得到答案解答：解：an=（2x+1）dx=（x2+x） =n2+n=数列 的前n项和为sn=+=1+=1=又bn=n8，nn*，则bnsn=（n8）=n+1+102 10=4，等号当且仅当n+1=，即n=2时成立，故bnsn的最小值为4故答案为：4点评：本题考查微积分基本定理及数列的求和，数列的最值等问题，综合性强，知识转换快，解题时要严谨认真，莫因变形出现失误导致解题失败三、选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分（坐标系与参数方程选做）14（5分）在极坐标系中，点（1，0）到直线（cos+sin）=2的距离为考点：点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程 专题：计算题分析：根据所给的直线的极坐标方程，转化成直线的一般式方程，根据点到直线的距离，写出距离的表示式，得到结果解答：解：直线（cos+sin）=2直线cos+sin=2直线的一般是方程式是：x+y2=0点（1，0）到直线的距离是故答案为：点评：本题考查点到直线的距离公式和简单的极坐标方程，本题解题的关键是把极坐标方程转化成一般式方程四、（几何证明选讲选做题）15如图，点b在o上，m为直径ac上一点，bm的延长线交o于n，bna=45，若o的半径为2，oa=om，则mn的长为2考点：与圆有关的比例线段 专题：计算题；压轴题分析：根据圆心角aob和圆周角anb对应着相同的一段弧，得到角aob是一个直角，根据所给的半径的长度和oa，om之间的关系，求出om的长和bm的长，根据圆的相交弦定理做出结果解答：解：bna=45，圆心角aob和圆周角anb对应着相同的一段弧，aob=90，o的半径为2，oa=om，om=2，在直角三角形中bm=4，根据圆内两条相交弦定理有4mn=（2+2）（22），mn=2，故答案为：2点评：本题考查和圆有关的比例线段，考查圆的相交弦定理和直角三角形的勾股定理，本题是一个非常好的题目，考查的知识点比较全面，没有易错点五、解答题（本大题共6小题，满分80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（12分）已知向量=（1，3cos），=（1，4tan），且=5（） 求|+|；（） 设向量与的夹角为，求tan（+）的值考点：两角和与差的正切函数；数量积表示两个向量的夹角 专题：计算题；三角函数的求值；平面向量及应用分析：（）由向量的数量积的坐标公式化简即得sin，由同角公式，求得cos，tan，得到向量m，n，再由模的公式即可得到所求的值；（）运用向量的夹角公式，求得cos，进而得到sin，tan，再由两角和的正切公式，即可得到所求的值解答：解：（）由=（1，3cos），=（1，4tan），则=1+12costan=5，解得，因为，所以，则=（1，2），=（1，）则=，即有|=；（）由（）知=（1，2），=（1，），则cos=cos=，即有，所以，所以点评：本题考查平面向量的运用和两角和的正切公式及运用，考查向量的数量积的坐标公式和性质及运用，考查运算能力，属于中档题17（12分）在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖已知教师甲投进每个球的概率都是（）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为x，求x的分布列及数学期望；（）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 专题：计算题分析：（）教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为x，x的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6由题意直接可知xb（6，）即可求解（）教师甲在一场比赛中获奖：分为三种情况（中4球，5球，6球）但都必须最后2个球都投进者，故所求的概率为（）教师乙在某场比赛中的事件总数为：a66，而6个球中恰好投进了4个球的事件数为：a42a44，故而教师乙在这场比赛中获奖的概率为： 根据（）知教师甲在一场比赛中获奖的概率为：，而，故教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等解答：解：（）x的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6依条件可知xb（6，）.（k=0，1，2，3，4，5，6）x的分布列为：x0123456p所以=或因为xb（6，），所以即x的数学期望为4（）设教师甲在一场比赛中获奖为事件a，则=答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为（）设教师乙在这场比赛中获奖为事件b，则即教师乙在这场比赛中获奖的概率为显然，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等点评：本题考查了离散型随机变量的期望与方差，n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，离散型随机变量及其分布列属于基础题18（14分）如图，四棱锥sabcd的底面是正方形，sd平面abcd，sd=ad=a，点e是线段sd上任意一点（1）求证：acbe；（2）若二面角caed的大小为60，求线段ed的长考点：直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算 专题：计算题；证明题分析：（1）以d为坐标原点，以da为x轴，dc为y轴，ds为z轴，建立空间直角坐标系，设de=t，求出向量和的坐标，然后利用数量积为零证得acbe；（2）取平面ade的一个法向量为=（0，1，0）设平面ace的一个法向量为=（x，y，z），利用=0求出，最后根据cos60=求出t，即可求出所求解答：解：（1）以d为坐标原点，建立空间直角坐标系d（0，0，0），a（a，0，0），b（a，a，0），c（0，a，0）设de=t，则e（0，0，t）（2分）=（a，a，t），（4分）+0=0，acbe（6分）（2）取平面ade的一个法向量为=（0，1，0）（7分）设平面ace的一个法向量为=（x，y，z），=（a，0，t），由=0得，y=x，z=x取，（10分）由cos60=（12分）得t=a，因此de=a（14分）点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及利用空间向量的方法求证垂直和求距离等有关问题，属于中档题19（14分）已知数列an的首项a1=，an+1=，n=1，2，（）证明：数列1是等比数列；（）求数列的前n项和考点：数列递推式；等比关系的确定；数列的求和 专题：计算题；压轴题分析：（1）化简构造新的数列 ，进而证明数列是等比数列（2）根据（1）求出数列的递推公式，得出an，进而构造数列，求出数列的通项公式，进而求出前n项和sn解答：解：（）由已知：，（2分），又，（4分）数列是以为首项，为公比的等比数列（6分）（）由（）知，即，（8分）设，则，由得：，（10分）又1+2+3+（12分）数列的前n项和：（14分）点评：此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前n项和的方法20（14分）已知椭圆e：+=1（ab0）的离心率e=，并且经过定点p（，）（）求椭圆e的方程；（）设a，b为椭圆e的左右顶点，p为直线l：x=4上的一动点（点p不在x轴上），连ap交椭圆于c点，连pb并延长交椭圆于d点，试问是否存在，使得sacd=sbcd成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）由已知条件推导出且，由此能求出椭圆e的方程（）设p（4，y0），直线ap的方程为：，代入椭圆，得由此利用韦达定理结合已知条件能求出存在=3，使得sacd=sbcd成立解答：解：（）椭圆e：+=1（ab0）的离心率e=，并且经过定点p（，），且，又c2=a2b2解得：a2=4，b2=1，椭圆e的方程为（1）（）存在=3，使得sacd=sbcd成立设p（4，y0）（y00），又a（2，0），则故直线ap的方程为：，代入方程（1）并整理得：由韦达定理：，即，同理可解得：，故直线cd的方程为y=kcd（xxc）+yc，即，直线cd恒过定点e（1，0）故=3点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用21（14分）设函数f（x）=lnxx2+ax（ar）（） 求函数f（x）的单调区间；（） 已知a（x1，f（x1），b（x2，f（x2）（x1x2）是函数f（x）在x1，+）的图象上的任意两点，且满足，求a的最大值；（） 设g（x）=xe1x，若对于任意给定的x0（0，e，方程f（x）+1=g（x