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第四章运算器及运算方法 内容 4 1定点运算4 2浮点四则运算4 3逻辑运算与移位操作4 4运算器的组成与结构4 5小型案例实训4 6本章小结4 7学习加油站 4 1定点运算 数值运算的核心是指加 减 乘 除四则算术 由于计算机中的数有定点和浮点两种表示形式 因此相应有定点数的运算与浮点数的运算 4 1定点运算 加减运算是计算机中最基本的运算 定点数的加减运算可以用原码 补码 BCD码等各种码制进行 由于补码运算可以把减法转换为加法 规则简单 易于实现 大大简化了加减运算的算法 所以现代计算机中均采用补码进行加减运算 一 定点补码加减法运算 1 补码加减运算公式 1 加法 2 减法 整数 A 补 B 补 A B 补 mod2n 1 小数 A 补 B 补 A B 补 mod2 整数 A B 补 A B 补 A 补 B 补 mod2n 1 小数 A B 补 A B 补 mod2 连同符号位一起相加 符号位产生的进位自然丢掉 A 补 B 补 4 1定点运算 4 1定点运算 2 补码的溢出判断与检测方法 溢出的产生 溢出检测方法 采用一个符号位 采用进位位判断 采用变形补码 双符号位补码 一位符号位判溢出 参加操作的两个数 减法时即为被减数和 求补 以后的减数 符号相同 其结果的符号与原操作数的符号不同 即为溢出 硬件实现 如 有溢出 无溢出 溢出 采用进位位判断 运算时产生的进位C符 C1C2 Cn 有溢出 无溢出 两位符号位判溢出 x 补 y 补 x y 补 mod4 x y 补 x 补 y 补 mod4 结果的双符号位相同未溢出 结果的双符号位不同溢出 最高符号位代表其真正的符号 6 3 4 1定点运算 3 补码定点加减法运算的实现 4 1定点运算 二 定点乘法运算计算机中实现乘除运算通常采用以下三种方式 利用乘除运算子程序 在加法器的基础上增加左 右移位及计数器等逻辑线路构成乘除运算部件 设置专用的阵列乘除运算器 1 分析笔算乘法 A 0 1101B 0 1011 A B 0 10001111 0 1101 0 1011 1101 1101 0000 1101 0 10001111 符号位单独处理 乘数的某一位决定是否加被乘数 4个位积一起相加 乘积的位数扩大一倍 乘积的符号心算求得 1 原码一位乘法 4 1定点运算 2 原码一位乘法算法1 参加运算的操作数取其绝对值 2 令乘数的最低位为判断位 若为 1 加被乘数 若为 0 不加被乘数 加0 3 累加后的部分积以及乘数右移一位 4 重复n次2 和3 5 符号位单独处理 同号为正 异号为负 4 1定点运算 3 原码一位乘法运算的实现 4 1定点运算 4 原码一位乘法运算的实现 4 1定点运算 2 补码一位乘法 设被乘数 乘数 被乘数任意 乘数为正 同原码乘 但加和移位按补码规则运算 乘积的符号自然形成 被乘数任意 乘数为负 乘数 y 补 去掉符号位 操作同 最后加 x 补 校正 1 补码一位乘运算规则 以小数为例 2 Booth算法 被乘数 乘数符号任意 x y 补 2 1 2 2 附加位yn 1 4 1定点运算 b 算法流程 4 1定点运算 c 硬件逻辑结构图 1 分析笔算除法 x 0 1011y 0 1101求x y 0 1011 0 1101 0 01101 0 01001 0 001101 0 000101 0 00001101 0 00000111 1 商符单独处理 心算上商 余数不动低位补 0 减右移一位的除数 上商位置不固定 商符心算求得 0 0 1 0 1 0 0 0 4 1定点运算 三 定点除法运算 2 笔算除法和机器除法的比较 商符单独处理 心算上商 符号位异或形成 x y 0上商1 x y 0上商0 2倍字长加法器 上商位置不固定 1倍字长加法器 在寄存器最末位上商 3 原码除法 以小数为例 被除数不等于0 除数不能为0 约定 1 恢复余数法 0 1011 1 0011 1 0011 1 0011 0 0000 y 补 0 0 1101 恢复余数 y 补 y 补 解 x 原 1 1011 y 原 1 1101 1 y 补 y 补 0 1101 y 补 1 0011 逻辑左移 逻辑左移 1 0011 0 1101 1 0011 y 补 恢复余数 y 补 上商5次 第一次上商判溢出 余数为正上商1 余数为负上商0 恢复余数 移4次 1 0 1 y 补 逻辑左移 6 3 2 不恢复余数法 余数Ri 0上商 1 2Ri y 余数Ri 0上商 0 Ri y 恢复余数 2 Ri y y 2Ri y 加减交替 恢复余数法运算规则 不恢复余数法运算规则 上商 1 2Ri y 上商 0 2Ri y 加减交替法 解 0 1011 1 0011 0 1101 1 0011 1 0011 0 1101 0 0000 y 补 0 y 补 y 补 y 补 y 补 x 原 1 1011 y 补 0 1101 y 补 1 0011 y 原 1 1101 1 1 0 1 逻辑左移 4 1定点运算 3 原码加减交替除法的实现 4 1定点运算 运算时应考虑以下问题 1 够减的判断2 上商规则3 商符的确定4 求新部分余数5 末位恒置1 4 原码加减交替除法算法流程 4 2浮点四则运算 一 浮点加减运算1 浮点数加减运算步骤1 对阶2 尾数加 减3 尾数结果规格化4 舍入5 溢出判断 A MA 2EA B MB 2EB 1 对阶 1 求阶差 2 对阶原则 E EA EB EA EB已对齐 EA EB EA EB A向B看齐 B向A看齐 A向B看齐 B向A看齐 小阶向大阶看齐 EA 1 EB 1 EA 1 EB 1 2 尾数求和 Mc MA MB 1 规格化数的定义 2 规格化数的判断 S 0 真值 原码 补码 反码 规格化形式 S 0 规格化形式 真值 原码 补码 反码 原码不论正数 负数 第一数位为1 补码符号位和第1数位不同 3 规格化 特例 S 1 1 补是规格化的数 3 左规 4 右规 上例 x y 补 00 11 11 1001 左规后 x y 补 00 10 11 0010 x y 0 1110 210 当尾数溢出 1 时 需右规 5 溢出判断其溢出是由阶码决定的 Ec 01 xxx x 上溢出 Ec 10 xxx x 下溢出 4 舍入恒舍法恒置1法 4 2浮点四则运算 A MA 2EA B MB 2EB 1 乘法 A B MA MB 2EA EB 2 除法 MA 1 阶码采用补码定点加 乘法 减 除法 运算 2 尾数乘除同定点运算 4 浮点运算部件 阶码运算部件 尾数运算部件 3 步骤 3 规格化 4 2浮点四则运算 二 浮点乘除运算 4 3逻辑运算与移位操作 一 逻辑运算1 逻辑运算逻辑与运算逻辑或运算逻辑异或运算逻辑非运算2 常见的应用有 按位测按位清按位置判断符合或修改 二 移位操作1 逻辑左移2 逻辑右移3 算术左移4 算术右移5 循环移位 4 2浮点四则运算 4 3逻辑运算与移位操作 移位操作 算术移位规则 1 右移添1 左移添0 0 反码 补码 原码 负数 0 原码 补码 反码 正数 添补代码 码制 符号位不变 算术移位和逻辑移位的区别 算术移位 有符号数的移位 逻辑移位 无符号数的移位 逻辑左移 逻辑右移 低位添0 高位移丢 高位添0 低位移丢 例如01010011 逻辑左移 10100110 逻辑右移 01011001 算术左移 算术右移 00100110 11011001 补码 高位1移丢 10110010 4 4运算器的组成与结构 4 4 1定点运算器1 定点运算器的基本结构 单总线结构运算器 双总线结构运算器 三总线结构运算器 4 4运算器的组成与结构 2 定点运算器举例Am2901A是一种4位的位片式结构运算器组件 右图为其的逻辑示意图 4 4运算器的组成与结构 二 浮点运算器 4 5小型案例实训 案例1 运算器操作流程举例 说明 图4 19所示的运算器如何完成下列操作 请写出操作步骤 R0 R1 R0 R0 1 R0 R0 1 R0 2 R0 R0 R0 R0 R0 AND R1 R0 解答 R0 R1 R0的操作步骤 R0 IB A A RM A ALU L R1 IB B RM ALU RG门开 ADD 1 ALU O OM V IB R0 R0 1 R0的操作步骤 R0 IB A A LM A ALU L 全1 B B RM B ALU RG门开 ADD ALU O OM V IB R0 R0 1 R0的操作步骤 R0 IB A A LM A ALU L0 B B RM B ALU RG门开 ADD 1 ALU O OM V IB R0 2 R0 R0的操作步骤 R0 IB A A RM A ALU L0 B B RM B ALU RG门开 ADD ALU O OM L IB R0 R1 R1的操作步骤 R1 IB A A LM ALU L0 B B RM B ALU RG门开 ADD 1 ALU O OM V IB R0 R0 AND R1 R0的操作步骤 R0 IB A A RM A ALU L R1 IB B B RM B ALU RG门开 AND ALU O OM V IB R0 说明 四位运算器框图如图4 20所示 ALU为算术逻辑单元 A和B为三选一多路开关 预先已通过多路开关A的SW门向寄存器R1 R2送入数据如下 R1 0101 R2 1010 寄存器BR输出端接四个发光二极管进行显示 其运算过程依次如下 案例2 四位运算器举例 1 R1 A R2 B BR 1010 2 R2 A R1 B BR 1111 3 R1 A R1 B BR 1010 4 R2 A R2 B BR 1111 5 R2 A BR B BR 1111 6 R1 A BR B BR 1010 试分析运算器的故障位置与故障性质 1 故障还是 0 故障 说明理由 解答 运算器的故障位置在多路开关B 其输出始终为R1的值 分析如下 1 R1 A R2 B 1010 输出结果错 2 R2 A R1 B 1111 结果正确 说明R2 A R1 B 无错 3 R1 A R1 B 1010 结果正确 说明R1 A R1 B 无错 由此可断定ALU和BR无错 4 R2 A R2 B 1111 结果错 由于R2 A 正确 且R2 A 1010 本应R2 B 1010 但此时推知R2 B 0101 显然 多路开关B有问题 5 R2 A BR B 1111 结果错 由于R2 A 1010 BR B 1111 但现在推知BR B 0101 证明开关B输出有错 6 R1 A BR B 1010 结果错 由于R1 A 0101 本应BR B 1111 但现在推知BR B 0101 仍证明开关B出错 综上所述 多路开关B输出有错 故障性质 多路开关B输出始终为0101 这有两种可能 一是控制信号BS0 BS1始终为01 故始终选中寄存器R1 二是多路开关B电平输出始终嵌在0101上 4 6本章小结 为运算器构造的简单性 运算方法中算术运算通常采用补码加 减法 原码乘除法或补码乘除法 为了运算器的高速性和控制的简单性 采用了先行进位 阵列乘除法 流水线等并行技术措施 运算方法和运算器是本章的重点 4 7学习加油站 问题1 简述采用双符号位检测溢出的方法 答 双符号位检测溢出是采用两位二进制位表示符号 即正数的符号位为00 负数的符号位为11 在进行运算时 符号位均参与运算 计算结果中如果两个符号位不同 则表示有溢出产生 若结果的符号位为01 则表示运算结果大于允许取值范围内的最大正数 一般称为正溢出 若结果的符号位为10 则表示运算结果是负数 其值小于允许取值范围内的最小负数 一般称为负溢出 两个符号位中的高位仍为正确的符号 4 7学习加油站 问题2 简述采用单符号位检测溢出的方法 答 采用单符号位检测溢出的方法有两种 1 利用参加运算的两个数据和结果的符号位进行判断 两个符号位相同的数相加 若结果的符号位与加数的符号位相反 则表明有溢出产生 两个符号位相反的数相减 若结果的符号位与被减数的符号位相反 则表明有溢出产生 其他情况不会有溢出产生 2 利用编码的进位情况来判断溢出 V C0 Cl 其中C0为最高位 符号位 进位状态 Cl为次高位 数值最高位 进位状态 V 1 产生溢出 V 0 无溢出 4 7学习加油站 问题3 简述定点补