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第二章 质点动力学 二 牛顿第二定律 某时刻质点动量对时间的变化率正比于该时刻作用在质点上所有力的合力 在国际单位中 k 1 则有 当物体的质量不随时间变化时 直角坐标系下为 矢量式 自然坐标下 矢量式 如图所示 一质点m旁边放一长度为L 质量为M的杆 杆离质点近端距离为l 解 例 该系统的万有引力大小 求 当l L时 2 万有引力定律只直接适用于两质点间的相互作用 杆与质点间的万有引力大小为 质点与质量元间的万有引力大小为 2 重力 重力 在地球表面的物体 受到地球的吸引而使物体受到的力 重力与重力加速度的方向都是竖直向下 注意 由于地球自转 重力并不是地球的引力 而是引力沿竖直方向的一个分力 地球引力的另一个分力提供向心力 忽略地球自转 两弹簧 k1 k2 并联 k1k2 弹簧串并联时 总劲度系数与分量之间的关系 即 又因 弹簧串联的k k1 伸长量x1 k2 伸长量x2 f1 f2 mg 总k 伸长量x mg kx 五 牛顿定律的应用 1 确定研究对象 2 使用隔离法分析受力情况 作出受力图 3 分析运动情况 判断加速度 4 建立坐标系 根据牛顿第二运动定律列方程 5 求解 进行讨论 解题步骤 两类力学问题 已知力求运动 已知运动求力 例1 设电梯中有一质量可以忽略的滑轮 在滑轮两侧用轻绳悬挂着质量分别为m1和m2的重物A和B 已知m1 m2 当电梯 1 匀速上升 2 以加速度a匀加速上升时 求 绳中的张力和物体A相对于电梯的加速度 m1 m2 解 以地面为参考系 A和B为研究对象 分别进行受力分析 物体在竖直方向运动 建立坐标系oy 1 电梯匀速上升 物体对电梯的加速度等于它们对地面的加速度 A的加速度为负 B的加速度为正 由牛二定律 上两式消去T 得到 将ar代入上面任一式T 得到 对A 对B 2 电梯以加速度a上升时 A对地的加速度a ar B的对地的加速度为a ar 由牛二律 对A 对B 解此方程组得到 讨论 由 2 的结果 令a 0 即得到的结果 由 2 的结果 电梯加速下降时 a 0 即得到 例2 一个质量为m 悬线长度为l的摆锤 挂在架子上 架子固定在小车上 如图所示 求在下列情况下悬线的方向 用摆的悬线与竖直方向所成的角 表示 和线中的张力 1 小车沿水平方向以加速度a1作匀加速直线运动 2 当小车以加速度a2沿斜面 斜面与水平面成 角 向上作匀加速直线运动 解 1 以小球为研究对象 当小车沿水平方向作匀加速运动时 分析受力 在竖直方向小球加速度为零 水平方向的加速度为a 建立图示坐标系 利用牛顿第二定律 列方程 x方向 y方向 解方程组 得到 2 以小球为研究对象 当小车沿斜面作匀加速运动时 分析受力 小球的加速度沿斜面向上 垂直于斜面处于平衡状态 建立图示坐标系 重力与轴的夹角为 利用牛顿第二定律 列方程 x方向 y方向 求解上面方程组 得到 讨论 如果 0 a1 a2 则实际上是小车在水平方向作匀加速直线运动 如果 0 加速度为零 悬线保持在竖直方向 例3 一重物m用绳悬起 绳的另一端系在天花板上 绳长l 0 5m 重物经推动后 在一水平面内作匀速率圆周运动 转速n 1r s 这种装置叫做圆锥摆 求这时绳和竖直方向所成的角度 x方向 y方向 由转速可求出角速度 解 求出拉力 可以看出 物体的转速n愈大 也愈大 而与重物的质量m无关 例题 一小钢球 从静止开始自光滑圆柱形轨道的顶点下滑 求 小球脱轨时的角度 解 N 0 脱轨条件 由 3 4 可解得 由式 1 得 设一物体在离地面上空高度等于地球半径处由静止落下 在地面附近有 以地心为坐标原点 物体受万有引力 解 可得 例 它到达地面时的速度 不计空气阻力和地球的自转 求 设一高速运动的带电粒子沿竖直方向以v0向上运动 从时刻t 0开始粒子受到F F0t水平力的作用 F0为常量 粒子质量为m 水平方向有 例 解 粒子的运动轨迹 求 运动轨迹为 竖直方向有 解 由初始条件 即 由初始条件 则 以初速度v0竖直向上抛出一质量为m的小球 小球除受重力外 还受一个大小为 mv2的粘滞阻力 解 例 求 小球上升的最大高度 分离变量 例 如图所示的系统中 不计绳和滑轮的质量及摩擦力 各物体的加速度及绳中张力 求 解 由题意分析受力如图 因绳的张力处处相等 则 又 又 即 即 由 式可得 即 六牛顿运动定律的适用范围 1 惯性系 甲 乙 m 牛顿定律适用 牛顿定律不适用 有力 地面参考系中的观察者甲 运动车厢参考系中的观察者乙 有力 和加速度 即 无加速度 惯性系 牛顿运动定律适用的参照系 结论 牛顿第二定律不能同时适用于上述两种参考系 2冲量和动量 我国舰艇上发射远程导弹实验 求 钢板对小球的冲量 解 例 如图 质量为的小球速度为与弹性钢板相碰后 以同样的速率弹出 由动量定理 方向 水平向左 例一篮球质量0 58kg 从2 0m高度下落 到达地面后 以同样 解篮球到达地面的速率 对地平均冲力 相当于40kg重物所受重力 速率反弹 接触时间仅0 019s 求对地平均冲力 例题1质量M 60kg的重锤 从高度h 5m处自由落到受锻压的工件上 工件发生形变 如果作用的时间 1 1s 2 0 001s 试求锤对工件的平均冲力 解 以重锤为研究对象 分析受力 作受力图 解法一 取重锤与地面刚接触时为初态 打击完成后为末态 分析 在竖直方向利用动量定理 取竖直向上为正 末状态动量为 初状态动量为 解得 代入M h 的值 求得 1 2 则 解法二 考虑从锤自由下落到静止的整个过程 动量变化为零 初态 末态 自由下落 打击完成 重力作用时间为 支持力的作用时间为 根据动量定理 整个过程合外力的冲量为零 即 得到相同的结果 例2一绳跨过一定滑轮 两端分别拴有质量为m及的M物体A和B M大于m B静止在地面上 当A自由下落距离h后 绳子才被拉紧 求绳子刚被拉紧时两物体的速度 以及能上升的最大高度 解 以物体A和B为系统作为研究对象 采用隔离法分析受力 作出绳拉紧时的受力图 绳子刚好拉紧前的瞬间 物体A的速度为 取竖直向上为正方向 分析 绳子拉紧后 经过短暂时间的作用 两物体速率相等 V 对两个物体分别应用动量定理 得到 忽略重力 考虑到绳不可伸长 有 解得 当物体B上升速度为零时 达到最大高度 例质量为m的匀质链条 全长为L 开始时 下端与地面的距离为h 当链 条自由下落在地面上时 所受链条的作用力 L h 解设 链条在此时的速度 根据动量定理 地面受力 m 求链条下落在地面上的长度为l l L 时 地面 dm 三 质点系动量定理 P表示质点系在时刻t的动量 质点系动量定理 一对内力 直角坐标系 在有限时间内 1 只有外力可改变系统的总动量 2 内力可改变系统内动量在质点间分配 但不改变系统动量 说明 某段时间内 质点系动量的增量 等于作用在质点系上所有外力在同一时间内的冲量的矢量和 质点系动量定理 一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块 已知两木块的质量分别为m1 m2 子弹穿过两木块的时间各为 t1 t2 设子弹在木块中所受的阻力为恒力F 子弹穿过第一木块时 两木块速度相同 均为v1 子弹穿过第二木块后 第二木块速度变为v2 例 解 求子弹穿过后 两木块各以多大速度运动 解得 四 动量守恒定律 由质点系动量定理 当时 1 系统动量守恒的条件 质点系动量守恒定律 说明 例 打击 碰撞 当 2 动量守恒定律适用于惯性系 3 动量守恒定律也适用于高速 微观领域 4 守恒是对整个过程而言的 不能只考虑始末两状态 如图所示 两部运水的卡车A B在水平面上沿同一方向运动 B的速度为u 从B上以6kg s的速率将水抽至A上 水从管子尾部出口垂直落下 车与地面间的摩擦不计 时刻t时 A车的质量为M 速度为v 选A车M和 t时间内抽至A车的水 m为研究系统 水平方向上动量守恒 解 例 求时刻t A的瞬时加速度 例如图所示 人与船构成质点系 当人从船头走到船尾 解 在水平方向上 外力为零 则 求人和船各移动的距离 解得 在水平方向上动量时刻守恒 即 又 即 则 五 完全弹性 完全非弹性碰撞 碰撞过程 内力 外力 可忽略外力作用 认为系统合外力为0 故系统动量守恒 1 完全弹性碰撞 2 完全非弹性碰撞 动量守恒 两物体碰而合一 能量损失最大 转换成热能或其它 3 非弹性碰撞 碰后速度各不相同 动量守恒 机械能不守恒 六 变质量动力学简介 设质点在t时刻的质量为m 速度为v 由于外力F的作用和质量的并入 到t dt时刻 质点质量变为m dm 速度变为v dv 在dt时间内 质量的增量为dm 如dm与m合并前的速度为u 根据动量定理有 略去二阶无穷小量 密歇尔斯基方程 dm与m合并前相对于m的速度 当不计空气阻力 只计重力 则 火箭的速度方程 讨论 1 若不考虑重力 2 多级火箭问题 变质量动力学的应用 火箭的运动方程 t时刻 火箭质量为M 速度为v v 火箭的质量比N 3功和能 图为秦山核电站全景 2 变力的功 a b 求质点M在变力作用下 沿曲线轨迹由a运动到b 变力作的功 一段上的功 元功 M 在 在直角坐标系中 在ab一段上的功 在自然坐标系中 说明 1 功是标量 且有正负 2 合力的功等于各分力的功的代数和 3 一般来说 功的值与质点运动的路径有关 4 功的图示 5 功率 力在单位时间内所作的功 称为功率 平均功率 当 t 0时的瞬时功率 单位 焦耳 秒 瓦特 解 元功 根据牛顿定律和加速度的定义求 例 物体由静止出发作直线运动 质量为m 受力bt b为常量 求在T秒内 此力所作的功 质量为10kg的质点 在外力作用下做平面曲线运动 该质点的速度为 解 在质点从y 16m到y 32m的过程中 外力做的功 求 例 开始时质点位于坐标原点 缓慢拉质量为m的小球 解 例 0时 求 已知用力 保持方向不变 作的功 例 一人从H 10米深的井中提水 起始时桶中装有M 10kg的水 水桶的质量可以忽略 由于水桶漏水 每升高1米要漏出0 2kg的水 求 水桶匀速地从井中提到井口 人所做的功 O x X F H 解 分析受力如图 元功 建立如图所示坐标系 变力作功的解题步骤 1 确定研究对象 2 分析对象在做功过程中任一位置处的受力情况 画受力图 3 建立坐标系 明确所求的是哪一个力作功 并写出该力随位置变化的函数关系 4 在做功过程中任取一位移元 写出元功的表达式 5 确定积分上下限 列式并计算 二 动能定理 定义质点的动能为 则 质点动能定理 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量 a 合力做正功时 质点动能增大 反之 质点动能减小 d 功是一个过程量 而动能是一个状态量 它们之间仅仅是一个等量关系 b 动能的量值与参考系有关 c 动能定理只适用于惯性系 几点注意 三 保守力的功势能 1 几种常见力的功 1 重力的功 重力mg在曲线路径M1M2上的功为 1 重力的功只与始 末位置有关 而与质点所行经的路径无关 2 质点上升时 重力作负功 质点下降时 重力作正功 m G 结论 2 弹性力的功 1 弹性力的功只与始 末位置有关 而与质点所行经的路径无关 2 弹簧的变形减小时 弹性力作正功 弹簧的变形增大时 弹性力作负功 弹簧弹性力 由x1到x2路程上弹性力的功为 弹性力的功等于弹簧劲度系数乘以质点始末位置弹簧形变量平方之差的一半 结论 3 万有引力的功 上的元功为 万有引力F在全部路程中的功为 1 万有引力的功 也是只与始 末位置有关 而与质点所行经的路径无关 M a b m 结论 在位移元 4 摩擦力的功 在这个过程中所作的功为 摩擦力的功 不仅与始 末位置有关 而且与质点所行经的路径有关 摩擦力方向始终与质点速度方向相反 2 质点移近质点时 万有引力作正功 质点A远离质点O时 万有引力作负功 结论 摩擦力 2 保守力和非保守力 保守力 力所作的功与路径无关 仅决定于相互作用质点的始末相对位置 重力功 弹力功 引力功 非保守力 力所作的功与路径有关 例如摩擦力 物体沿闭合路径运动一周时 保守力对它所作的功等于零 3 势能 定义 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 功是能量变化的量度 从保守力的作功的特征来看 发生变化的能量是和始末位置有关的系统的能量发生了变化 这种和相对位置有关的能量就是系统的势能 用Epo Ep分别表示质点在始末位置的势能 用W保表示自初始位置保守力的功 则 或 保守力对系统内的物体所作的功等于系统的势能增量的负值或势能的减小量 1 重力势能 选地面h 0的势能为零 当 时 则 弹性势能 选弹簧原长处势能为零 则 引力势能 选无穷远势能为零 则 3 势能只有相对意义 是一个相对量 讨论 1 势能为系统所有 2 势能是系统内各物体位置坐标的单值函数 是一个状态量 4 保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关 质点的势能与位置坐标的关系可以用图线表示出来 3 势能曲线 重力势能 弹性势能 E 万有引力势能 2 由势能函数求保守力 四 机械能守恒定律 1 质点系动能定律 把质点动能定理应用于质点系内所有质点并把所得方程相加有 1 内力和为零 内力功的和是否为零 不一定为零 S L 讨论 2 内力的功也能改变系统的动能 例 炸弹爆炸 过程内力和为零 但内力所做的功转化为弹片的动能 2 系统的功能原理 由质点系动能定律 机械能增量 系统的功能原理 系统机械能的增量等于外力和非保守内力作功的代数和 例 已知质量为m的物体以初速为 沿斜面向下运动 起始物体 距弹簧挡板之间的距离为S 接后收缩为S0 求 弹簧的倔强系数k 摩擦力为fr 解 以弹簧 地球 物体组成的系统为研究对象 初态 末态 据功能原理 即 可得 3 机械能守恒定律 据功能原理 当 机械能守恒定律 2 守恒定律是对一个系统而言的 3 守恒是对整个过程而言的 不能只考虑始末两状态 说明 1 守恒条件 即只有保守内力作功 的情况下 质点系的机械能保持不变 4 守恒定律的意义不究过程细节而能对系统的状态下 结论 这是各个守恒定律的特点和优点 如图的系统 物体A B置于光滑的桌面上 物体A和C B和D之间摩擦因数均不为零 首先用外力沿水平方向相向推压A和B 使弹簧压缩 后拆除外力 则A和B弹开过程中 对A B C D组成的系统 A 动量守恒 机械能守恒 B 动量不守恒 机械能守恒 C 动量不守恒 机械能不守恒 D 动量守恒 机械能不一定守恒 例二质点的质量各为m1 m2 当它们之间的距离由a缩短到b时 万有引力所作的功为 例 对于一个物体系来说 在下列条件下 哪种情况下系统的机械能守恒 A 合外力为0 B 合外力不作功 C 外力和非保守内力都不作功 D 外力和保守内力都不作功 C 例 在