北京市朝阳区2019届高三数学第二次（5月）综合练习（二模）试题文（含解析）.docx

北京市朝阳区2019届高三数学第二次（5月）综合练习（二模）试题 文（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知集合，则( )A. B. C. D. 且【答案】A【解析】【分析】根据不等式解法得B=x|0x2，然后根据并集的定义“由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做并集”进行求解即可【详解】根据不等式的解法，易得B=x|0x2，又有A=x|x1，则AB=x|x0故选：A【点睛】本题考查并集的运算，注意结合数轴来求解，属于容易题2.复数的虚部为（ ）A. -1B. 0C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】将复数化简成a+bi的形式，从而可得到复数的虚部.【详解】，所以复数的虚部为1，故选：C【点睛】本题考查复数的代数形式的乘法运算，考查复数的有关概念，属于简单题.3.已知，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】利用对数函数的单调性比较大小即可.【详解】是增函数，所以，即，所以,故选：D【点睛】解决大小关系问题，一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答.4.在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率进行了估算根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求的方法绘制的程序框图如图所示执行该程序框图，输出s的值为（）A. 4B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【详解】第一次，否，第二次，否，第三次，是，程序终止，输出s=，故选：C【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键比较基础5.已知平面向量的夹角为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将平方,利用向量的数量积公式计算可得答案.【详解】,所以故选:B.【点睛】本题考查向量的数量积公式的应用，考查向量的模的求法，属于简单题.6.已知等差数列首项为，公差. 则“成等比数列” 是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据题意，设数列的公差为d，从充分性与必要性的角度分析“成等比数列”和“”的关系，综合即可得答案【详解】根据题意，设数列的公差为d， 若成等比数列，则，即（a1+2d）2=a1（a1+8d），变形可得：a1=d， 则“成等比数列”是“a1=d”的充分条件； 若a1=d，则a3=a1+2d=3d，a9=a1+8d=9d，则有，则“成等比数列”是“a1=d”的必要条件； 综合可得：“成等比数列”是“”充要条件； 故选：C【点睛】本题考查等差、等比数列的定义以及判断，涉及充分必要的定义与判断，属于基础题7.已知函数若函数存在零点，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分析函数f(x)解析式可知函数存在唯一零点x=0,则只需，从而得到a的范围.【详解】指数函数，没有零点，有唯一的零点，所以若函数存在零点，须有零点，即，则，故选：B.【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.8.在棱长为1的正方体中，E，F分别为线段CD和上的动点，且满足，则四边形所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（）A. 有最小值B. 有最大值C. 为定值3D. 为定值2【答案】D【解析】【分析】分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可【详解】依题意，设四边形D1FBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D，F，B，E，则四边形D1FBE在上面，后面，左面的投影分别如上图所以在后面的投影的面积为S后=11=1，在上面的投影面积S上=DE1=DE1=DE，在左面投影面积S左=BE1=CE1=CE，所以四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S后+S上+S左=1+DE+CE=1+CD=2故选：D【点睛】本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力属于中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题卡上 9.函数的最小正周期为_.【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式和辅助角公式将函数f(x)进行化简，然后由正弦函数的周期公式可得答案.【详解】函数,所以，最小正周期，故答案为：【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式的应用，考查正弦函数周期的求法，属于简单题.10.已知点在抛物线上，则_；点到抛物线的焦点的距离是_.【答案】 (1). 2 (2). 2【解析】【分析】将点M坐标代入抛物线方程可得p值，然后由抛物线的定义可得答案.【详解】点代入抛物线方程得：，解得：；抛物线方程为：，准线方程为：，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离：故答案为：2,2【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的标准方程，属于简单题.11.圆上的点到直线的距离的最小值是_.【答案】【解析】【分析】求圆心到直线的距离，用距离减去半径即可最小值.【详解】圆C的圆心为，半径为，圆心C到直线的距离为：，所以最小值为：故答案为：【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离的最值，若圆心距为d，圆的半径为r且圆与直线相离，则圆上的点到直线距离的最大值为d+r，最小值为d-r.12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_.【答案】【解析】【分析】由三视图可知，该几何体由上部四棱柱、下部圆柱组成的组合体,由柱体体积公式计算可得答案.【详解】由三视图可知，该几何体由上部四棱柱、下部圆柱组成的组合体，四棱柱的底面为边长为3的正方形，高为1，故体积为：，圆柱的底面圆直径为1，高为2，故体积为：，所求体积为，故答案为：【点睛】本题以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后结合相应的公式求解13.实数满足能说明“若的最大值是，则”为假命题的一组值是_.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】画出约束条件的可行域，目标函数取得最大值的直线，然后求解即可【详解】实数x，y满足的可行域以及x+y=4的直线方程如图：能说明“若z=x+y的最大值为4，则x=1，y=3”为假命题的一组（x，y）值是（2，2）故答案为：（2，2）【点睛】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键14.设全集，非空集合，满足以下条件：，；若，则且当时，_（填或），此时中元素个数为_.【答案】 (1). (2). 18【解析】【分析】先假设1A，推出与条件矛盾，得1B，然后根据条件以及进行讨论求解即可【详解】（1）因为，；所以，有且只有一个成立，若，对于任一个，1，与若，则矛盾，所以，不成立，只有；（2）因为，所以，若，则与矛盾，所以，由，可得：，同理，若，因为，所以，与矛盾，所以，因为，所以，可推得：，若，由，可得：，与矛盾，所以，所以，若，由，可得：，与矛盾，所以，所以，所以，共有18个。【点睛】本题主要考查合情推理的应用，利用反证法结合分类讨论进行求解即可三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.在等差数列中，已知,.（I）求数列的通项公式；（II）求.【答案】（）（）【解析】【分析】（I）将已知条件转为关于首项和公差的方程组，解方程组求出，进而可求通项公式；（II）由已知可得 构成首项为,公差为的等差数列，利用等差数列前n项和公式计算即可.【详解】（I）因为是等差数列，,所以解得.则,. （II） 构成首项为,公差为的等差数列.则【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n项和公式的应用，属于基础题.16.如图，在四边形中，已知，（）求的值；（）若，且，求的长【答案】（）（）【解析】【分析】（）在中，由正弦定理可得答案;（）由结合（）可得，在中，由余弦定理得BC值.【详解】（）在中，由正弦定理，得因为， 所以 （）由（）可知，因为，所以在中，由余弦定理，得因为所以，即，解得或又，则【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题.17.某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场由5名专家组成评委给每位参赛选手评分，场外观众也可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分需要综合考虑专家评分和观众评分.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表.另有约数万名场外观众参与评分，将观众评分按照分组，绘成频率分布直方图如下图.（）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；（）从现场专家中随机抽取2人，求其中评分高于9分的至少有1人的概率；（）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分.方案一：计算所有专家与观众评分的平均数作为该选手的最终得分；方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分.请直接写出与的大小关系.【答案】（）,（）（）【解析】【分析】（）利用频率和为1可得a值，结合直方图可得评分不小于9的概率;（）利用古典概型概率求解即可;（）分析可得.【详解】（）由频率分布直方图可知0.2+0.5+a=1,解得，某场外观众评分不小于9的概率是 （）设“从现场专家中随机抽取2人，其中评分高于9分的至少有1人”为事件Q因为基本事件有共10种，事件Q的对立事件只有1种，所以. （）【点睛】本题考查概率、平均数的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题18.如图，在直角梯形中，, ，,点在上，且，将沿折起，使得平面平面（如图），为中点.（）求证:平面；（）求四棱锥的体积；（）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（）见解析（）（）见解析【解析】【分析】（I）证明DGAE，再由面面垂直的性质可得到证明；（II）分别计算DG和梯形ABCE的面积，即可得棱锥体积；（III）过点C作CFAE交AB于点F，过点F作FPAD交DB于点P，连接PC，可证平面PCF平面ADE，故CP平面ADE，根据PFAD计算的值【详解】（）证明：因为为中点，所以.因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面 （）在直角三角形中，易求,则所以四棱锥的体积为 （） 过点C作交于点，则 过点作交于点，连接,则又因为，平面平面,所以平面同理平面又因为，所以平面平面因为平面 ， 所以平面所以在上存在点，使得平面，且【点睛】本题考查面面垂直的性质定理,面面平行的性质定理的应用,考查棱锥体积公式的应用,考查空间想象能力和计算能力,属于中档题.19.已知椭圆的离心率为.（）求椭圆的方程；（）设直线过点且与椭圆相交于两点.过点作直线的垂线，垂足为.证明直线过轴上的定点.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由离心率列方程可求得椭圆方程； （2）当直线AB的斜率不存在时，直线BD过点（2，0）当直线AB的斜率存在时，设直线AB为y=k（x-1），联立方程组，消去y整理得：（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0利用韦达定理、直线方程，结合已知条件求出直线BD过x轴上的定点【详解】（1）解：由题意可得,解得，所以椭圆C的方程为 （2）直线BD恒过x轴上的定点N（2，0）证明如下（a）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x=1，不妨设A（1，），B（1，），D（3，）此时，直线BD的方程为：y=（x-2），所以直线BD过点（2，0）（b）当直线l的斜率存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB为y=k（x-1），D（3，y1）由得：（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0所以x1+x2=，x1x2=（*）直线BD：y-y1=（x-3），只需证明直线BD过点（2，0）即可.令y=0，得x-3=，所以x=即证，即证.将（*）代入可得.所以直线BD过点（2，0）综上所述，直线BD恒过x轴上的定点（2，0）【点睛】本题考查椭圆方程求法，考查了直线恒过定点，考查推理论证能力、运算求解能力，考查由特殊到一般的思想，是难题20.已知函数.（）当时，求曲线在处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若函数在区间内有且只有一个极值点，求的取值范围.【答案】（）（）见解析（）【解析】【分析】（）根据导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式方程可得答案；（）对m进行讨论，解可得函数的增区间，解得函数的减区间；（III）由题意可知g（x）=0在（1，2）上有解，讨论m的范围，判断g（x）的单调性和零点个数，得出结论【详解】（）当时，所以，又，所以曲线在处的切线方程为 （）函数的定义域为，（1）当即时，因为，所以的单调增区间为，无单调减区间.（2）当，即时，令，得当时，；当时，；所以的单调增区间为，减区间为综上