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几何证明中巧添辅助线摘 要：在几何证明中添加辅助线是非常重要的，添加辅助线就等于在已知条件和结论中搭建了一座桥，它不仅是问题解决的突破口，而却可以拓宽解题思路培养学生的思维能力本文主要在平面几何如三角形、梯形、圆等图形的证明题中和立体几何椎体、柱体等证明题中巧添辅助线解题进行了探讨关键词：辅助线；几何；解决目录绪言11 在平面几何中巧添辅助线11.1 添辅助线解三角形问题11.2 添辅助线巧解梯形31.3 在圆中巧添辅助线解题51.4 不规则图形中的辅助线62 在立体几何中巧添辅助线82.1巧添辅助线妙解锥体82.2在柱体中如何添辅助线102.3 其他立体图形中巧添辅助线解题113 结论12参考文献13致 谢14绪言为解几何题的需要在原题给定的图形上添加的线我们称之为辅助线，常用虚线表示在几何证明中添加辅助线是非常重要的，添加辅助线就等于在已知条件和结论中搭建了一座桥，它不仅是问题解决的突破口，而却可以拓宽解题思路培养学生的思维能力平面几何是初中教学的重要组成部分，它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用，又是继续学习数学和其他学科的基础，但许多同学对几何证明题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的证明题，往往束手无策本文主要在平面几何如三角形、梯形、圆等图形的证明题中和立体几何椎体、柱体等证明题中巧添辅助线解题进行了探讨1 在平面几何中巧添辅助线1.1 添辅助线解三角形问题在解答三角形的问题时，有时需要添加适当的辅助线，以便简单快捷求出所问，在三角形中添加辅助线有很多中方法，但要填的巧妙，下面就这个问题来进行探讨.例1 如图1-1 AB=4、 、BC=3、 DA=6 点M是CD的中点，求BM的长 证法一分析由中点垂线我们就要构造直角三角形，从直角三角形中应用勾股定理求出BM长，我们可以延长BM来构造三角形_A_B_N_1_2_D_C解延长BM交AD于点N因为 CBAB DAAB，所以 CBAD， D=C 因为 1=2， 所以 DNMCBM所以 NM=BM，ND=CB AN=AD-ND=AD-CB=6-3=3 图1-1在直角三角形ABN中，BN=5所以 BM=BN=证法二分析由M.B是中点联想中位线，利用中位线的有关性质求解添加辅助线构造三角形 解 延长CB到F使BF=CB连接DF，过F作FEAD于E 得矩形ABFE 所以 AE=BF=3，EF=AB=4 所以 ED=AD-AE_C_B_A_D_F_M_E=6-3 =3在RtDEF中DF= = =5 因为 CM=MD， 图 1-2所以 BM=DF= 例2如图1-3已知正三角形ABC，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连结CE、DE，求证：EC=ED分析证线段相等的方法有很多，如可以利用等角对等边、全等三角形对应边相等，利用角平分线性质定理、中垂线性质定理等从本题已知条件来看，试图去证ECD=EDC比较困难，另一方面, 题中又无角平分线、中垂线等明显条件, 故可优先考虑通过全等知识来证明欲证全等证法一 如图1-3，延长BD到F,使DF=AB,连结EF_B_D_A_F_E_C因为 AE=BD， DF=AB，所以 AE+AB=BD+DF,即BE=BF因为 ABC是正三角形，所以 B=所以 BEF是正三角形得 F=B=所以 BE=EF 在BEC和FED中因为 BE=DF，B=F BE=EF， 图 1-3所以 BECFED所以 CE=DE证法二 如图1-4过点D作DFAC交BE于点F因为 ABC是正三角形，所以 BAC=BFD=所以 BFD是正三角形所以 BF=BD=FD因为 BD=AE，_A_C_D_B_F_E所以 AE=BF=FD，AB=EF因为 AB=AC， 所以 AC=EF因为 ACDF， 所以 EAC=EFD在AEC和EDF中，因为 AE=FD， EAC=EFD， 图 1-4AC=EF，所以 AECEDF所以 EC=ED_A_F_D_B_E_C证法三 过点E作EFBD交BD于点F设AE=BD=a ,AE=BD=b因为 ABC是正三角形，所以 B=因为 EFBD，所以 EFC=，BEF=所以 BF=BE=(a+b) 所以 CF=BF-BC=(a+b)-a=(b-a) 因为 DF=BD-BC=b-(a+b)= (b-a)， 图 1-5所以 CF=DF因为 EFDC，所以 EC=DE1.2 添辅助线巧解梯形梯形问题一般可通过巧妙地添加辅助线将梯形问题化归成三角形、平行四边形问题来解常见的辅助线有作梯形的两高、平移腰、平移对角线、延长两腰等下面介绍几种特殊的添加辅助线的方法 例1 如图2-1在梯形ABCD中ABCD，A+B=E、F分别是AB、CD的中点求证EF=(AB-CD)分析一般梯形问题都要转化成三角形问题，我们添加辅助线把A+B=转化到一个三角形中利用三角形和平行四边形的有关性质综合解题证明 过F作FMBC交AB于点M，作FMBC交AB于点N因为 ABCD ADFM，所以 四边形ABCD为平行四边形所以 FMN=N DF=AM同理 FNM=B，CF=BN因为 A+B=，所以 FMN+FNM= _C_F_M_N_D_A_E_B所以 MFN=因为 DF=CF，所以 AM=BM 因为 AE=BE， 所以 AE=NE 所以 EF=MN因为 DF=BN，CF=BN， 所以 MN=AB-CD 图2-1则 EF=(AB-CD)例2 如图2-2梯形ABCD的面积为4，ADBC、M是DC的中点连结AM、BM求三角形ABM的面积分析若直接运用三角形面积公式求则较难求出，有已知中M为DC中点我们可以添加辅助线把图像割补转化为三角形问题解：过M点作AB的平行线EF，交BC于点F，交AD的延长线于E因为 M是中点，_A_B_F_M_D_C_E所以 DM=CM 因为 ADBC， 所以 AEF=CFE因为 1=2， 所以 DMECMF则 = 图2-2=24 =2例3 如图2-3设等腰梯形ABCD的腰长为c，上下底边长分别为a、b，顺次连结各边的中点所成的四边形的四个角相等时，则有、成等差数列证明 作AOBC于点Q因为MFNE为平行四边形，且各角相等，则 MFNE为矩形因为 ABCD为等腰梯形，且M、N、E、F是上下底及两腰中点，所以 MNEF则 MNFE是正方形所以 MN=EF=(b+a)，AQ=NM=(b+a) _A_C_Q_M_N_D_F_E_B因为 BQ=(b-a)，AB=c由勾股定理得=+即=+ 图2-3 2=+1.3 在圆中巧添辅助线解题在解答圆的问题时，有时需要添加适当的辅助线，以便在已知和未知之间“牵线搭桥”，实现问题的转化，达到解决问题的目的有巧作垂线过圆心遇直径，巧构造直径所对圆心角，巧作作半径，两圆相交连结公共弦等等，以下就例举几种辅助线的填法 例1 如图3-1在内切的两个圆中，设C为小圆的圆心O为大圆的圆心，P为切点，的弦PQ和相交于R，作的切线与交于点A.B求证：Q是弧AB的中点 分析辅助线的添加不是取决于图形中有无字母来取舍，也不是随心所欲的添加，我们通过分析发掘一些隐含条件就可以很顺利的求出所求_A_P_R_B_Q_C_O 证明 连接PC并延长，由连心线性质可知O一定在PC的延长线上，连接CR，OQ因为 AB切小圆于R，所以 CRAB因为 CP=CR，所以 P=CQP同理可得 OP=OQ，P=Q所以 Q=Q所以 CRP=Q，CROQ所以 OQAB则由垂径定理可得，Q是弧AB的中点 图3-1例2 如图3-2 三角形ABC内接于圆，AD是三角形ABC的高，从D引DEAB于E，DFAC于F求证：EFOA证明过A作的切线MN，则MNOA因为DEAB DFAC， _C_F_A_E_B_D_O_M_N因为 四边形AEDF内接于圆，所以 AEF=ADF 因为 三角形ABD为直角三角形，所以 ADC=DFAC 所以ADF=C AEF=C MAB=C所以MAB=AEF所以MNEF则EFOA 图 3-2_E_D_T_C_A_B_O2_O1例3如图3-3与相交于B、C，A是上一点，TA是的切线AB与AC的延长线分别交于点D与E求证：ATDE分析要证明ATDE就需要证明TAB=ADE由内错角相等得两直线平行，这样就需要添加辅助线来过度到TAB=ADE证明连结BC 因为AT是的切线，所以ACB=ACB因为四边形ABCD内接于，所以ACB=D TAB=D 则ATDE1.4 不规则图形中的辅助线 图 3-3例1如图4-1已知BC为圆的直径，AD与半圆相切于点D，在AB上截取AE=AD，过E作EFAB交AC的延长线于点G 求证：AE:AB=AC:AF _D_G_F_C_A_H_E_B证明设AB与半圆交于点H，连结HC 因为BC为圆的半径，所以HBC=， HCAB因为EFAB，HCEF， 所以AH:AE=AC:AF 因为AD是半圆的切线，所以=因为AD=AE，所以= 图4-1 所以AH:AE=AE:AB 由式式得AE:AB=AC:AF例2如图4-2正方形ABEF和ACGH在ABC的外边，M是BC边的中点，求证：FH=2AM 解延长AN至D使MD=AM，连结BD_M_H_E_B_C_F_G_D_3_4_1_2因为M为中点，所以BN=MC因为AM=MC AM=MD，AMC=BMD，所以AMCBMD所以BD=AC=AH，D=4因为5+(3+4)=，(1+2)+(3+D)=，即（1+2）+（3+4）= 所以5=1+2因为AB=AF，所以ABDFAH 图4-2则FH=AD=2AM 例3若BAD =CAE，固定ABD让RtACE 绕顶点A 在平面内旋转到如图4-3的位置，试问MB=MC 是否还成立？ 分析若想证明BM=MC 即可证两个均包含BM、MC的三角形全等，立即会想到DBM和MCE，但仔细一看，令人大失所望,于是可作AD中点P，AE的中点Q,利用中位线证此题.证明作AD中点P，AE中点Q，并连结PB，PM与QM，QC，则在ADE中P为AD中点，M为DE的中点所以PM为ADE的中位线在ADE中,P为AD中点,M为DE中点所以PM为ADE的中位线，则PM=AE _D_A_C_B_E_M_P_Q 同理可得，QM=AD所以QM=AP，PM=AQ故四边形APMQ是平行四边形因为P为AD中点，而ABD为直角三角形所以PB=PD=PA ，则DAB=PBA同理QC=QA=QE, CAE=QCA又BAD=CAE， 则BAD=PBA=CAE=QCA 图4-3得APB=AQC 而四边形APMQ是平行四边形所以APM=AQM 则BPM=MQC又AP=PB=MQ，所以PB=MQ 同理，QC=PM即 PBMQMC(SAS)所以 MB=MC评注 在较为复杂的几何图形中，要注意掌握一些最常见的基本图形，分析遇到的图形是由哪些基本图形变化而来的,从而学会把复杂图形通过添加辅助线化为基本图形2 在立体几何中巧添辅助线 在立体几何的证明中也常添加辅助线，添加辅助线可以使解题比较简单，在立体几何中添加辅助线的原则主要有二：一是把定义或者定理中缺少的线、面、体补完整；二是把已知量和未知量统一在一个图形中（如三角形、棱柱等）以方便求解我们通过多观察、多比较、多联想、多归纳，便能正确地作出所需的辅助线，从而轻松突破立体几何这一“难关”了，下面就事立体几何证明中添加辅助线解题的例子.2.1巧添辅助线妙解锥体 立体几何的不少定义或定理与垂线有关，如线面角、二面角的定义，各种空间距离的定义，三垂线定理，线面垂直、面面垂直的判定及性质定理、正棱柱、正棱锥的性质、球的性质等，因此运用这些定义或定理解题时，就往往需要把没有的垂线补上例1 如图1-1，在正三棱锥A-BCD中，BAC=CAD=DAB=90，M、N分别是BC、AD的中点，求异面直线AM和CN所成角的余弦值分析 注意到N为AD的中点，故可构造AMD的中位线NO，从而将所求角转化为两条相交直线所成的角（CNO）求解解 连结MD，过N点作NOAM交MD于点O，则NO为AMD的中位线所以NOAM，且NO=AM连结CO，设正三角形BCD的边长为4a，则所以求异面直线AM与C 所成角的大小，即求CNO的大小_B_C_A_D_M_N_O所以NO=AM=aCN=CO= =在三角形COM中 图1-1cosCNO= 所以所求异面直线AM与CN所成角的余弦值为点评求异面直线所成角常采用平移法，此时常选择恰当的点如中点、端点、等分点等进行平移例2 (2007 全国卷)四棱锥S2ABCD 中,底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD ,已知ABC=AB=2，BC=，SA=SB=证明：(1) SABC.(2) 求直线SD 与平面SB C 所成角的大小解（1）作SOBC,垂足为O，_D_A_B_S_E_C_O因为 侧面SBC平面ABCD, 所以 SO底面ABCD因为 ABC=，SA=SB，所以 AO=BO则三角形AOB为等腰三角形因为 AOBO， 由三垂线定理得，SABC（2）由（1）可得，SAAD 图1-2所以AD=BC= SA= SD=又因为AO=AB=，作DEBC，垂足为E,则DE平面SDC，连接SE，则ESD为直线SD与平面SBC所成的角所以sinESD=即直线SD 与平面SB C所成的角为arcsin评析本题第(1 问，由已知侧面SBC平面ABCD,且两平面的交线为BC，于是过点S作SOBC，得SO平面ABCD,使问题迎刃而解；第(2)问,同样由侧面SBC底面ABCD，于是过D向交线BC作垂线DE，得出平面SBE的垂线DE，从而快速找出直线SD 与平面SBC所成的角求解.例3 如图在三棱锥P-ABC中，ABC=，且PA=PB=PC，点P到底面ABC的距离是40cm，AB=18cm，求点P到BC的距离. 分析题设告诉了P 点到面ABC 的距离，自然联想到过点P 作平面ABC 的垂线，再由三垂线定理找出点到BC的距离PD.解过点P作平面ABC的垂线，垂足为O因为PA=PB=PC，AO=BO=CO作ODBC 连接PD，由三垂线定理得PDBC _A_C_B_P_O_D所以PD 就是点P到BC边的距离，且D=AB=9(cm)在RtPOD中， PD=41(cm) 则P到BC的距离为41cm 点评本题添加了两条垂线：一条是面ABC的垂线OP，另一条为BC的垂线OD，这正是运用点到平面的距离定义及 三垂线定理所要求的 图 1-12.2在柱体中如何添辅助线 _A1_B1_B_E_C1_C_A_C1_F1例1(1995 年全国高考数学试题理科图15题)如图，-ABC是直三棱柱，BCA=，点分别是和的中点，若BC=CA=C，则B与A所成角的余弦值是（ ）(A) (B)(C) (D) 分析 要求BD与A与A所成角的余弦值, 关键在 图 1-2 于试探着过已知的点A或B或 或作另一条直线的平行线,得下面的解法解过A点作AEB交的延长线于点E，则AE就是所求的角设BC=CA=C=1 AE=在E中，则 = +-2EFcos =+2 =在AE中， A=+=1+=所以cos=故选择A2.3其他立体图形中巧添辅助线解题例1如图 在二面角-L-中，A、B,C、DL,ABCD是矩形，P，PA且PA=AD，M、N依次是AB、PC的中点，证明：MN是异面直线AB和PC的共垂线分析要证明此题,必须添加适当的辅助线根据题设条件中的点是的中点，则可考虑利用“有了中点配中点,两点相连中位线”的辅助线的做法证明选取PD的中点Q，连接QN、QA，则 QN是PDC的中位线因为ABCD是矩形，M是AB的中点，所以四边形AMNQ是平行四边形所以AQMN_P_B_C_Q_D_A_N_M因为PA，ABAD， 所以AB平面PAD，CD平面PAD所以ABAQ，ABMN所以AQPD 又因为CDAQ，所以AQ平面PCD即AQ平面 图 2-1所以AQPC故而MNPC则MN是异面直线AB和PC的共垂线例2如图 已知RtABC，斜边BC在平面内，点A不在内，AB、AC分别与平面 成角，角，求ABC所在平面与平面所成的角解过A作AO于点O，在平面内内作ODBC，连接AD由三垂线定理得，ADBC所以ADO为所求的二面角的平面角，连BO、CO则AOB、ACO 为AB、AC与平面所成的角 设AO=1在RtAOB中，ABO= 所以AB=2在RtACO中，ACO=所以AC= 在RtABC中，BC=，_a_A_C_B_O_D因为 ADBC=ABAC，所以 AD=所以 sinADO= ADO=图 2-2即 ABC所在平面与成3 结论从上面所有的例题的证明过程可以看出，在几何证明中添加辅助线不是一个