高中全程复习方略配套课件：3.1任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数.ppt

第一节任意角的概念与弧度制 任意角的三角函数 三年3考高考指数 1 了解任意角的概念和弧度制的概念 2 能进行弧度与角度的互化 3 理解任意角三角函数 正弦 余弦 正切 的定义 1 三角函数的定义及应用是本节的考查重点 注意三角函数值符号的确定 2 主要以选择题 填空题的形式考查 题目属于低档题 1 角的有关概念 1 定义 角可以看成平面内的一条射线绕着它的 从一个位置 到另一个位置所成的图形 2 分类 3 终边相同的角 与角 终边相同的角可构成集合S 旋转 正角 负角 零角 k 360 k Z 端点 即时应用 1 思考 角 为锐角是角 为第一象限角的什么条件 提示 充分不必要条件 因为锐角为大于0小于的角 而第一象限角为 2k 2k k Z 2 若 是第二象限角 判断下列表述是否正确 在括号内填 或 k 360 45 k Z 90 180 k 360 90 k 360 180 k Z k 180 135 k Z 解析 k 360 45 k Z表示的是与45 终边相同的角 是第一象限的角 故不正确 90 180 不能表示所有第二象限的角 故不正确 正确 k 180 135 表示的是当k为偶数时 与135 终边相同的角 当k为奇数时 与315 终边相同的角 不能表示第二象限的角 故不正确 答案 2 弧度的定义和公式 1 定义 在以单位长为半径的圆中 的弧所对的圆心角为1弧度的角 它的单位符号是 读作 单位长度 rad 弧度 2 公式 角的弧度数公式 弧长用l表示 角度与弧度的换算 1 rad 弧长公式 弧长l 扇形面积公式 S 1rad 即时应用 1 337 30 的弧度数是 2 的度数为 3 扇形半径为45 圆心角为120 则弧长为 解析 1 337 30 表示的弧度数为 2 的度数为 3 圆心角120 对应的弧度数为故弧长l 45 30 答案 1 2 75 3 30 3 任意角的三角函数 1 定义 设角 终边与单位圆交于P x y 则sin cos tan 2 几何表示 三角函数线可以看作是三角函数的几何表示 正弦线的起点都在x轴上 余弦线的起点都是原点 正切线的起点都是 1 0 如图中有向线段MP OM AT分别叫做角 的 角 的 和角 的 y x 正弦线 余弦线 正切线 x x A 1 0 3 由三角函数的定义可得到以下关系 sin2 cos2 1 平方关系 商数关系 即时应用 1 已知角 终边上的一点A 2 2 则tan 2 满足sin 的角 的取值集合为 解析 1 2 作出正弦值等于的角 的终边 正弦值大于的角的终边与单位圆的交点在劣弧P1P2上 所以所求角的范围为图中的阴影部分 的取值集合为答案 1 1 2 终边相同的角的表示 方法点睛 终边相同的角的表示及应用 1 所有与 的终边相同的角都可表示为 k 360 k Z 2 根据与 终边相同的角的表达式 可以写出一定范围内的角 也可以根据 的终边所在的象限 判断 的倍数角所在的象限 3 与 终边相同的角的表达式中一定是k 360 或k 2 这一点要注意 例1 已知角 是第一象限角 确定2 的终边所在的象限位置 解题指南 本例可由 所在的象限写出角 的范围 从而得2 的范围 再确定终边所在的位置 规范解答 是第一象限角 k 2 k 2 k Z 1 k 4 2 k 4 k Z 即2k 2 2 2k 2 k Z 2 的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上 2 k k k Z 当k 2n n Z 时 2n 2n n Z 的终边在第一象限 当k 2n 1 n Z 时 2n 1 2n 1 n Z 即2n 2n n Z 的终边在第三象限 综上 的终边在第一象限或第三象限 反思 感悟 1 已知角 所在的象限 应熟练地确定所在的象限 第一或第三象限 第二或第四象限 2 若 为第一象限角 则0 从而是第一象限角 这种说法是片面的 是错误的 必须用象限角的一般表示法 再用不等式的性质及对整数k的奇 偶讨论后确定或2 所在的象限 变式训练 若角 与 的终边在一条直线上 则 与 的关系是 解析 当 的终边重合时 k 2 k Z 当 的终边互为反向延长线时 k 2 2k 1 k Z 答案 k 2 k Z或 2k 1 k Z 弧度制的应用 方法点睛 弧度制的应用 1 引进弧度制后 实现了角度与弧度的相互转化 在弧度制下可以应用弧长公式 l r 扇形面积公式 计算弧长和扇形的面积利用弧度制比角度制更简捷 方便 2 应用上述公式时 要先把角统一为用弧度制表示 提醒 弧度制和角度制不能混用 解决问题时要先统一 例2 已知扇形的圆心角是 半径为R 弧长为l 1 若 60 R 10cm 求扇形的弧长l 2 若扇形的周长为20cm 当扇形的圆心角 为多少弧度时 这个扇形的面积最大 3 若R 2cm 求扇形的弧所在的弓形的面积 解题指南 1 可直接用弧长公式 但要注意用弧度制 2 可用弧长或半径表示出扇形面积 然后确定其取最大值时的半径和弧长 进而求出圆心角 3 利用S弓 S扇 S 这样就需要求扇形的面积和三角形的面积 规范解答 1 l 10 cm 2 由已知得 l 2R 20 所以 10R R2 R 5 2 25 所以R 5时 S取得最大值25 此时l 10 2rad 3 设弓形面积为S弓 由题知l S弓 S扇 S 互动探究 将本例第 1 小题中的R 10cm改为扇形的AB cm 再求弧长l 解析 因为圆心角 60 所以 反思 感悟 1 弧度制下的弧长 扇形面积公式与角度制下的弧长公式扇形面积公式有着必然的内在联系 2 在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理地利用圆心角所在的三角形 变式备选 扇形OAB的面积是1cm2 它的周长是4cm 求圆心角的弧度数和弦AB的长 解析 设扇形的半径为rcm 弧长为lcm 圆心角的弧度数为 则有解得由得 2 AB 2sin1 cm 弦长AB为2sin1cm 三角函数的定义 方法点睛 1 三角函数定义的理解在直角坐标系xOy中 设P x y 是角 终边上任意一点 且 PO r 则 2 定义法求三角函数值的两种情况 1 已知角 终边上一点P的坐标 则可先求出点P到原点的距离r 然后利用三角函数的定义求解 2 已知角 的终边所在的直线方程 则可先设出终边上一点的坐标 求出此点到原点的距离 然后利用三角函数的定义求解相关的问题 若直线的倾斜角为特殊角 也可直接写出角 的三角函数值 例3 2012 西安模拟 已知角 的终边经过点P 4m 3m m 0 则2sin cos 的值是 A 1或 1 B 或 C 1或 D 1或 解题指南 先求出r 再根据三角函数定义求出sin cos 其中由于不知m的正负 因此需分类讨论 规范解答 选B 由题意知 x 4m y 3m 当m 0时 则 当m 0时 故2sin cos 的值为或 反思 感悟 1 利用三角函数定义解题时 方法比较灵活 若是角 的终边落到一条直线上 一般要分类讨论 2 任意角的三角函数与锐角三角函数的关系 1 联系 锐角三角函数是任意角的三角函数的一种特例 它们的基础是建立于相似或直角三角形的性质 r 同为正值 2 区别 锐角三角函数是以边的比来定义的 任意角的三角函数是以坐标与距离 坐标与坐标的比来定义的 它也适合锐角三角函数的定义 3 实质 由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程 变式训练 已知角 的终边经过点P m m 0 且sin 试判断角 所在的象限 并求cos 和tan 的值 解析 由题意 得 m 0 故角 是第二或第三象限角 当时 点P的坐标为 当时 点P的坐标为 变式备选 已知角 的终边过点 a 2a a 0 求 的三角函数值 解析 因为角 的终边过点 a 2a a 0 所以 x a y 2a 当a 0时 当a 0时 易错误区 忽略三角函数值的符号致误 典例 2011 重庆高考 若且 则tan 解题指南 根据角所在的范围 先求出sin 的值 再根据商数关系求出正切值 规范解答 因为所以所以答案 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 新课标全国卷 已知角 的顶点与原点重合 始边与x轴的正半轴重合 终边在直线y 2x上 则cos2 解析 选B 由题意知 tan 2 即sin 2cos 将其代入sin2 cos2 1中可得cos2 故cos2 2cos2 1 2 2011 上海高考 若三角方程sinx 0与sin2x 0的解集分别为E F 则 A EF B EF C E F D E F 解析 选A 因为sinx 0 sin2x 0 所以角x和角2x的终边都在x轴上 所以E x x k k Z F x k Z 所以EF 3 2012 咸阳