立足学生原有认知结构-重构有理数加减运算.doc

本文发表在数学教育学报2004。4立足学生原有认知结构 重构有理数加减运算胡赵云（浙江省衢州市实验学校 , 浙江 衢州 324000） 【本文摘要】有理数加减运算一直遵循着固有模式，本文从学生对有理数加减的思维与现行教材模式的区别开始探讨，依据建构主义教学理论，重新构建有理数加减运算，提出从加号“+”与正号“+”，减号 “-”与负号“-”的统一作为切入点，从发展小学加减运算，比较相反数的求法及“+”可省略中归纳得出添（去）括号法则，并运用交换律，添（去）括号法则，实现有理数的加减运算向小学加减运算转化同时，介绍了新的有理数教学设计的课堂教学实施情况 【关 键 词】有理数加减运算 添（去）括号法则 省略“+” 构建1 问题的提出： 有一次听课，上课内容是初一数学有理数加法法则教师与学生一起学完有理数加法法则后，问学生怎样计算（4）（3）=？，学生的回答是这样的：生甲：“”可省略，括号可以去掉，所以，（4）（3）=43=1生乙：我妈妈说，正负得负，所以，（4）（3）=43=1学生用自己的想法作出了有理数加法运算，然而，老师却说：“现在，我们要使用有理数的加法法则，先确定和的符号，再计算和的绝对值，”可见，学生在做有理数加法时，存在着自己的想法与教材、教师讲的看法不一致的问题于是，笔者请上了高中的学生计算：（+15）+（-32），并要求说出算法或思维过程，居然绝大多数同学是这样表述的：1不需思考，答案就是-17；2（+15）+（-32）= 15-32 = -（32-15） = -17类似2，这种思维方式是否具有普遍性？为此，笔者又选择初二年级（下）的学生设计了一项关于有理数加减运算思维的调查经过分析学生的答题过程，并与学生交流后发现多数学生的思维是：通过去括号、省略加号、交换律、提取“-”号的方法，把有理数的加减法转化为小学时的加法或大数减去小数运算这种思维过程确与我们现行教材有理数加减教学过程有区别为此，笔者查阅相关教材，研究了现行教材有关有理数加减的基本模式，同时，重新构建了有理数加减运算的教学体系2 现行教材对加减法的设计与分析 笔者查阅了四种版本的教材14，它们一般安排6课时学习有理数的加减运算，教材的编排设计可分为下述三个部分 首先，有理数加法实例引入有理数加法归纳有理数加法法则操练有理数加法有理数加法的运算律其次，有理数减法减法的意义减法的法则操练有理数减法再次，加减法的统一省略加号的形式加减法的统一操练加减的混合运算 现行教材的设计是基于有理数由“性质符号”与“绝对值”两部分构成它要关注结果的“符号”确定和 “绝对值”的寻求其优点是：重视从实例出发，从学生的生活体验出发，通过“实例”来阐述加法的意义，进而概括出有理数加法的运算法则，这符合学生从具体到一般的认识规律，学生容易接受有理数加法与减法是辩证的统一，它们可以相互转化，切实实施减法可转化为加法运算，有利于渗透培养学生的辩证统一思想不足是：对学生的原有认知结构重视不够，这与建构主义教学理论倡导：“影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学”5等观点，有一定的距离从教学实践看，加减法中关注结果的“符号”确定和“绝对值”的寻求的设计思路与学生的思路有许多不一致，例如：计算 6 10 教材的思路：把6-10先看成+6与-10的和，再按异号两数相加的法则计算；学生的调查显示：把6-10中6与10调换位置，相减得4，然后添上一个“-”号，即6-10 = -（10-6）= -4；从对符号的认识看，从开始明确区分运算符号（+、-）与性质符号（+、-），到加号“+”与正号“+”的统一，减号与负号“-”的统一，学生对符号认识模糊，尤其不利于学生理解为什么正数前要加正号“+”，而不用“”或“”将省略加号“+”的理由归结为“加减法统一”是不够充分的于是，笔者思考是否可以直接按学生的思维来重新构建有理数加减运算教学？是否可以从学生原有认知水平及知识经验出发重新构建有理数的加减运算？那么，学生原有的认知水平如何呢？3 重新构建有理数加减法31 构建有理数加减法的基础311 小学已学过的知识： 大的正数减去小的正数或零；如15-6，7-0正数或零加上正数或零；如15+6，15+0 减法的性质：“从一个数里连续减去几个数，可以先把所有的减数加在一起，再从被减数里减去”6例：小学生可通过添括号，计算：153-73-27=153-（73+27） 加法的运算律 减法与加法是互逆运算312 有理数的意义及其有关概念中的知识： 用有理数表示具有相反意义的量； 求一个数的绝对值 求一个数的相反数的方法有：改变这个数的性质符号，例+2的相反数为-2，-2的相反数为+2 在这个数前面添上一个“-”，例+2的相反数为-（+2），-2的相反数为-（-2）以上两个方面从小学阶段、初一开始阶段所学的知识、技能是学生学习有理数加减的重要的已有认知水平，是构建有理数加减运算的基础32 构建思路（1）从有理数表示具有相反意义的量与小学加减法入手统一加号“+”与正号“+” ，减号“-”与负号“-”，从而得出加号也可以省略，进而发展小学的加法、减法运算；（2）提炼小学的减法性质与加法结合律，归纳出添括号法则；（3）比较求一个数的相反数的不同方法及依据有理数的正号“+”可省略，归纳出去括号法则；（4）完整地归纳两个数加减的八种类型：6+9 6-9 -6+9 -6-9 9+6 9-6 -9+6 -9-6（5）其它形式的有理数加减都可转化为以上八种类型，在八种类型中已有三种类型即6+9、9+6、9-6为小学时学会，我们只需把另外五种转化为这三种形式，达到渗透，体验“转化思想”，让学生逐步意识到，学习数学就是不断地想办法把“不会的”转化为“会的”转化的依据是交换律，添（去）括号法则，从而完成有理数加减法运算33 新教材编排设计331 “+”与“+”，“-”与“-”的统一“+”与“+”、“-”与“-” 的统一，省略加号“+” 发展小学加减运算具有相反意义的实例解决类似的运算（+6）+（9），（+9）+（-6）（-6）+（+9），6+9 332 添括号法则小学减法性质小学加法结合律添括号法则解决类似的运算：6-9，-6-9，-9+6，-9-6333 去括号法则正号可以省略相反数的求法去括号法则解决类似的运算+（-6）-（+9），-（-6）+（-9）4 课堂教学实践41 第1课时 “+”与“+”、“-”与“-”的统一【实例】飞机现飞行高度为3.5千米，因前方有高山，而上升了0.5千米，5分钟后，又下降了0.4千米，问此时飞机的飞行高度，请列式计算；请用有理数表示飞机飞行高度的变化，并仿照小学求和的方法列出和式，对比、式，你发现了什么？与你的同伴交流答： 3.5+0.5-0.4=3.6 3.5+(+0.5)+(-0.4) 比较与： 式中，0.5前的加号“+”，0.4前的减号“-”分别表示上升、下降的意义； 式中，0.5前的正号“+”，0.4前的负号“-”也分别表示上升、下降的意义； 由此可见，在这里加号“+”与正号“+”的意义相同，是可以统一的；减号“-”与负号“-”的意义相同，也是可以统一的 式与式都表示飞机同一高度，所以，3.5+(+0.5)+(-0.4)=3.5+0.5-0.4由此可见，式就是式省略“+”的形式于是类似(+6)+(-2)可写成6-2，反之7-9可写成（+7）+（-9），-6+9可写成（-6）+（+9）也就是： （+6）+（-2）=6-2 7-9=（+7）+（-9） -6+9=（-6）+（+9）【练习】先省略“+”，再计算 (1) 3.5+(+0.5)+(-0.4) (2) 3.5+(+0.5)+(-0.4)(3) 3.5+(+0.5)+(-0.4) (4) 3.5+(-0.4)+(+0.5)比较以上各式，你又发现了什么？请写出你的发现与同伴交流【归纳】(1) “+”与“+”， “-”与“-”是统一的； (2) 在有理数的和式中“+”可以省略； (3) 小学时学习的加法运算律，在有理数加法中仍然适用；【练习】计算： (+3.7)+(0.8) (+52)+(-45) (-10.5)+(+12) -6+9解：（+3.7）+(+0.8) = 3.7+0.8 = 3.5 (+52)+(-45) = 52-45 = 7 (-10.5)+(+12) = (+12)+(-10.5)(交换律) = 12-10.5 = 1.5 -6+9 = (-6)+(+9) = (+9)+(-6) = 9-6 = 342 第2课时 添括号法则【回顾】在小学，下列运算的方法及依据是什么？(1) 153+73+27 = 153+(73+27) ( )(2) 153-73-27 = 153-(73+27) ( )比较(1)式的左、右两边，发现了哪些不同点？可以得出什么结论？比较(2)式的左、右两边，发现了哪些不同点？可以得出什么结论？从而归纳添括号法则： 【验证】添括号法则计算： 153+73-27 153+(73-27) 153-73+27 153-(73-27)【运用】运用添括号法则计算计算： -9+6 -6-9 -9-6 6-9解： -9+6 = -（9-6）= -3 -6-9 = -（6+9）= -15 -9-6 = -（9+6）= -15 6-9 = -9+6 = -（9-6）= -3【归纳】有理数加减八种类型的运算方法，举例如下： 9+6 9-6 小学时学习 6+9 6-9 运用交换律与添括号法则 -9+6 运用添括号法则 -9-6 运用添括号法则 -6+9 运用交换律 -6-9 运用添括号法则【发展】有理数的连加减（略）43 第3课时 去括号法则【回顾】你有哪些方法求一个数的相反数？方法一：改变这个数的符号，如+2的相反数为-2，-2的相反数为+2；方法二：在这个数前添上“-”， 如+2的相反数为-（+2），-2的相反数为-（-2）；比较方法一与方法二，可得： -（+2）= -2-（-2）= +2依据“+”可省略，可得：+（+2）= +2 +（-2）= -2【归纳】思考可以发现什么规律？从而归纳出去括号法则： 【运用】先化简符号，再计算 +(+6)+(+9) -(+6)+(+9) +(-6)-(+9) -(-6)-(-9)解： +(+6)+(+9)= 6+9 = 15 -(+6)+(+9)= -6+9 = 3 +(-6)-(+9)= -6-9 = -15 -(-6)-(-9)= 6+9 = 15【发展】有理数的连加减（略）44 本教学设计实施总结 本教学设计，遵循从“学生已经知道了什么”与“学生原有经验”出发，构建有理数加减运算体系，符合皮亚杰的“认识即是一种以主体已有的知识和经验为基础的主动的建构活动”7的观点 从教学课时看，一般只需34课时，学生就可以学会，较现行教材可以节约2课时；本教学设计突出依靠添（去）括号法则与加法交换律实现有理数运算向小学加减法转化，与现行教材相比，减少了需记忆的知识条文，增加了转化数学思想方法的体验，同时，学生更好地体验到中小学数学的紧密联系，有利于中小学衔接；突出加号“+”与正号“+”，减号 “-”与负号“-”的统一，有利于学生加深理解数学符号的科学性，明白了正数不用“”或“”，而用“+”，不是“习惯上”的原因，而是具有内在的逻辑联系；本教学设计的运算思路合乎常人的思维，合乎学生离开学校忘了所学知识之后所剩下的思维；从前后知识联系看，这种设计方式具有加强后续学习a(b+c+d)等作好铺垫；从教学效果看，按本教学设计用3课时与按现行教材设计用56课时，对比检测学生的运算能力，发现学生在有理数加减运算的符号问题上所犯的错误有明显改善，运算能力有所提高，但不具有显著性差异；同时，本教学设计也显示出一些不足，如对学生理解加减法是互逆运算显得乏力，对加法的实际意义的理解也不够深刻参考文献：1 吕学礼，饶汉昌，蔡上鹤主编初级中学教科书代数（第一册）【M】.北京：人民教育出版社 1992,10(1):67-902 夏明华主编初级中学课本（试用）数学（第一册）【M】杭州：浙江教育出版 1997,5(3):20-353 王建磐主编义务教育课程标准实验教科书数学（七年级上）【M】上海：华东师范大学出版社 2002,5(2)：35-494 马复主编义务教育课程标准实验教科书数学（七年级上）【M】北京：北京师范大学出版社 2003,4(3):44-635 吴文侃主编当国外教学论流派.【M】 厦门：福建教育出版社1990：2076 夏明华主编义务教育六年制小学课本（试用）数学（第七册）【M】杭州：浙江教育出版社2002，7（2）：437 郑毓信、梁贯成认知科学建构主义与数学教育【M】上海；上海教育出版社2002，12（2）：139附：有理数加减运算思维的调查问卷（对象：初二年级（下）的学生）请完整、全面地写出思维过程，并用式子表示出来，书写过程越仔细越好：（1） （+14）+（+9） （2） （+14）+（-9） （3） （+14）-（+9） （4） （+14）-（-9）（5） （-14）+（+9） （6） （-14）+（-9） （7） （-14）-（+9） （8） （-14）-（-9） （