高三数学一轮复习精品课件：等比数列（必修5）.ppt

第3课时等比数列 1 等比数列的定义一般地 如果一个数列从起 每一项与它的的比等于常数 那么这个数列叫做等比数列 这个常数叫等比数列的 公比通常用字母 q 0 表示 基础知识梳理 第2项 前一项 同一个 公比 q 2 等比数列的通项公式设等比数列 an 的首项为a1 公比为q 则它的通项an 基础知识梳理 a1qn 1 3 等比中项如果三个数a g b组成 则g2 基础知识梳理 等比数列 ab b2 ac是a b c成等比数列的什么条件 思考 提示 b2 ac是a b c成等比数列的必要不充分条件 当b 0 a c至少有一个为零时 b2 ac成立 但a b c不成等比数列 反之 若a b c成等比数列 则必有b2 ac 基础知识梳理 思考 基础知识梳理 na1 1 2009年高考广东卷改编 已知等比数列 an 的公比为正数 且a3 a9 2a52 a2 2 则a1 三基能力强化 答案 b 三基能力强化 2 设a1 2 数列 an 1 是以3为公比的等比数列 则a4的值为 a 80b 81c 54d 53答案 a a 递增数列b 递减数列c 摆动数列d 常数列答案 b 三基能力强化 三基能力强化 5 在数列 an bn 中 bn是an与an 1的等差中项 a1 2 且对任意n n 都有3an 1 an 0 则 bn 的通项公式bn 三基能力强化 证明一个数列是等比数列的主要方法有两种 一是利用等比数列的定义 即证明即证明an 12 anan 2 0 n n 在解题中 要注意根据欲证明的问题 对给出的条件式进行合理地变形整理 构造出符合等比数列定义式的形式 从而证明结论 课堂互动讲练 课堂互动讲练 2009年高考全国卷 设数列 an 的前n项和为sn 已知a1 1 sn 1 4an 2 1 设bn an 1 2an 证明数列 bn 是等比数列 2 求数列 an 的通项公式 思路点拨 由已知条件 用an 1 an表示出bn 1 bn 从而可以得出证明 解 1 证明 由已知有a1 a2 4a1 2 解得a2 3a1 2 5 故b1 a2 2a1 3 又an 2 sn 2 sn 1 4an 1 2 4an 2 4an 1 4an 于是an 2 2an 1 2 an 1 2an 即bn 1 2bn 因此数列 bn 是首项为3 公比为2的等比数列 课堂互动讲练 2 由 1 知等比数列 bn 中b1 3 公比q 2 所以an 1 2an 3 2n 1 课堂互动讲练 名师点评 等比数列的判定方法还可利用通项公式法和前n项和公式法 1 通项公式法 若数列 an 通项公式可写成an c qn c q均为不为0的常数 n n 则 an 是等比数列 2 前n项和公式法 若数列 an 的前n项和sn k qn k k为常数且k 0 q 0 1 则 an 是等比数列 课堂互动讲练 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题 数列中有五个量a1 n q an sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 所求问题可迎刃而解 解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式 并灵活运用 在运算过程中 还应善于运用整体代换思想简化运算的过程 课堂互动讲练 注意 在使用等比数列的前n项和公式时 应根据公比q的情况进行分类讨论 切不可忽视q的取值而盲目用求和公式 课堂互动讲练 课堂互动讲练 设等比数列 an 的公比q 1 前n项和为sn 已知a3 2 s4 5s2 求 an 的通项公式 思路点拨 课堂互动讲练 课堂互动讲练 由 得1 q4 5 1 q2 q2 4 q2 1 0 q 2 q 2 q 1 q 1 0 因为q 1时 解得q 1或q 2 当q 1时 代入 得a1 2 通项公式an 2 1 n 1 课堂互动讲练 误区警示 1 两边同除以1 q2导致失解 2 忽略q 1从而增根 课堂互动讲练 例2题目条件不变 求sn 课堂互动讲练 互动探究 在等比数列中常用的性质主要有 1 对于任意的正整数m n p q 若m n p q 则am an ap aq 特别地 若m n 2p 则am an ap2 2 对于任意正整数m n 有an amqn m 课堂互动讲练 4 数列am am k am 2k am 3k 仍成等比数列 5 数列sm s2m sm s3m s2m是等比数列 q 1 课堂互动讲练 课堂互动讲练 1 在等比数列 an 中 当a1 a89 16时 a44 a45 a46 2 已知各项均为正数的等比数列 an 的前n项和为sn 若sn 2 s2n 14 则s3n等于 思路点拨 运用等比数列的性质 1 若k l m n 则ak al am an 2 若sn是正项等比 公比不等于 1 数列 an 的前n项和 则sn s2n sn s3n s2n 仍成等比数列 求解 课堂互动讲练 解析 1 a1 a89 a44 a46 a452 16 a45 4 a44 a45 a46 64 2 an 为正项等比数列 sn s2n sn s3n s2n成等比数列 s2n sn 2 sn s3n s2n 即122 2 s3n 14 得s3n 86 答案 1 64 2 86 课堂互动讲练 名师点评 1 等比数列的性质可以分为三类 一是通项公式的变形 二是等比中项的变形 三是前n项和公式的变形 根据题目条件 认真分析 发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口 2 巧用性质 减少运算量 在解题中非常重要 课堂互动讲练 在解决等差 等比数列的综合题时 重点在于读懂题意 而正确利用等差 等比数列的定义 通项公式及前n项和公式是解决问题的关键 课堂互动讲练 课堂互动讲练 解题示范 本题满分12分 已知数列 an 的前三项与数列 bn 的前三项对应相同 且a1 2a2 22a3 2n 1an 8n对任意的n n 都成立 数列 bn 1 bn 是等差数列 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 2 问是否存在k n 使得 bk ak 0 1 请说明理由 思路点拨 1 利用已知条件求得a1与an 注意看a1是否适合an 通过 an 求得 bn 1 bn 的公差 利用迭代法或累加法求bn 2 利用bk ak的单调性加以判断 课堂互动讲练 解 1 已知a1 2a2 22a3 2n 1an 8n n n 当n 2时 a1 2a2 22a3 2n 2an 1 8 n 1 n n 2分 得2n 1an 8 求得an 24 n 在 中令n 1 可得a1 8 24 1 an 24 n n n 3分由题意知b1 8 b2 4 b3 2 b2 b1 4 b3 b2 2 课堂互动讲练 数列 bn 1 bn 的公差为 2 4 2 bn 1 bn 4 n 1 2 2n 6 4分法一 迭代法得 bn b1 b2 b1 b3 b2 bn bn 1 8 4 2 2n 8 n2 7n 14 n n 6分 课堂互动讲练 法二 可用累加法 即bn bn 1 2n 8 bn 1 bn 2 2n 10 b3 b2 2 b2 b1 4 b1 8 相加得bn 8 4 2 2n 8 课堂互动讲练 2 bk ak k2 7k 14 24 k 设f k k2 7k 14 24 k 8分当k 4时 当k 4时 f k k2 7k 14 24 k 1 10分又f 1 f 2 f 3 0 不存在k n 使得 bk ak 0 1 12分 课堂互动讲练 思维总结 由于数列和函数之间有着密切的联系 所以在解决许多数列问题时 可以借鉴函数的有关思想和方法 本例第 2 问的解答 就是将bk ak视为关于k的函数f k 然后研究函数f k 的单调性 通过单调性 求出f k 的取值范围 再结合已知的几个函数值 判断出函数f k 在k n 时的取值范围 从而加以判断得出结论 所以在解决数列问题时 应善于运用函数的思想方法解决问题 课堂互动讲练 本题满分12分 已知等差数列 an 的首项a1 1 公差d 0 且第2项 第5项 第14项分别是等比数列 bn 的第2项 第3项 第4项 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 课堂互动讲练 高考检阅 解 1 由已知有a2 1 d a5 1 4d a14 1 13d 1 4d 2 1 d 1 13d 解得d 2 d 0 2分 an 1 n 1 2 2n 1 3分又b2 a2 3 b3 a5 9 数列 bn 的公比为3 bn 3 3n 2 3n 1 5分 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 1 等比数列的相关问题 1 等比中项在一个等比数列中 从第二项起每一项 有穷数列最后一项除外 都是它前一项与后一项的等比中项 即an2 an 1 an 1 n n 且n 2 规律方法总结 2 等比数列的单调性 若a1 0 q 1或a1 0 0 q 1