高考数学单元专项复习课件27 文 新人教A版.ppt

第五节直线与圆 圆与圆的位置关系 1 直线与圆的位置关系 相切 0 d r d r d r 求过一定点的圆的切线方程时 应注意什么 提示 应首先判断这点与圆的位置关系 若点在圆上 则该点为切点 切线只有一条 若点在圆外 切线应有两条 谨防漏解 2 圆与圆的位置关系 外切 d r r d r r r r d r r d r r 1 2 1 0 0 答案 d 2 圆c1 x2 y2 2x 2y 2 0与圆c2 x2 y2 4x 2y 1 0的公切线有且仅有 a 1条b 2条c 3条d 4条 解析 c1 x 1 2 y 1 2 4 圆心c1 1 1 半径r1 2 c2 x 2 2 y 1 2 4 圆心c2 2 1 半径r2 2 c1c2 0 c1c2 r1 r2 4 两圆相交 有两条公切线 答案 b 3 设直线过点 0 a 其斜率为1 且与圆x2 y2 2相切 则a的值为 a b 2c 2d 4 答案 b 4 设直线ax y 3 0与圆 x 1 2 y 2 2 4相交于a b两点 且弦ab的长为2 则a 答案 0 5 若圆x2 y2 4上仅有一个点到直线x y b 0的距离为1 则实数b 解析 由已知可得 圆心到直线x y b 0的距离为3 3 b 3 答案 3 已知圆x2 y2 6mx 2 m 1 y 10m2 2m 24 0 m r 1 求证 不论m为何值 圆心在同一直线l上 2 与l平行的直线中 哪些与圆相交 相切 相离 3 求证 任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等 思路点拨 用配方法将圆的一般方程配成标准方程 求出圆心坐标 消去m就得关于圆心的坐标间的关系 就是圆心的轨迹方程 判断直线与圆相交 相切 相离 只需比较圆心到直线的距离d与圆半径的大小即可 证明弦长相等时 可用几何法计算弦长 自主探究 1 配方得 x 3m 2 y m 1 2 25 方法点评 直线和圆的位置关系的判定有两种方法 1 第一种方法是方程的观点 即把圆的方程和直线的方程联立组成方程组 转化为一元二次方程 再利用判别式 来讨论位置关系 即 0 直线与圆相交 0 直线与圆相切 0 直线与圆相离 2 第二种方法是几何的观点 即将圆心到直线的距离d与半径r比较来判断 即d r 直线与圆相交 d r 直线与圆相切 d r 直线与圆相离 1 已知圆的方程是x2 y2 2 直线y x b 当b为何值时 1 圆与直线有两个公共点 2 只有一个公共点 3 没有公共点 解析 方法一 圆心o 0 0 到直线y x b的距离为 2 当d r时 即b 2时 直线与圆相切 有一个公共点 3 当d r 即b 2或b 2时 直线与圆相离 无公共点 方法二 联立两个方程得方程组消去y得 2x2 2bx b2 2 0 16 4b2 1 当 0 即 2 b 2时 有两个公共点 2 当 0 即b 2时 有一个公共点 3 当 0 即b 2或b 2时无公共点 已知圆m x2 y2 2mx 2ny m2 1 0与圆n x2 y2 2x 2y 2 0交于a b两点 且这两点平分圆n的圆周 求圆m的圆心的轨迹方程 并求其中半径最小时圆m的方程 思路点拨 先由两圆方程求出直线ab的方程 则由题意知ab过n的圆心 半径最小可转化为圆心到ab的距离最小 自主探究 由圆m的方程知圆心m m n 又由方程组 两式相减得直线ab的方程为2 m 1 x 2 n 1 y m2 1 0 又ab平分圆n的圆周 所以圆n的圆心n 1 1 在直线ab上 2 m 1 1 2 n 1 1 m2 1 0 m2 2m 2n 5 0即 m 1 2 2 n 2 x 1 2 2 y 2 即为点m的轨迹方程 又由题意可知当圆m的半径最小时 点m到ab的距离最小 此时 mn 也最小 即最小值为1 此时m 1 n 2 故此时圆m的方程为 x 1 2 y 2 2 5 方法点评 1 判断两圆的位置关系常用几何法 即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系 一般不采用代数法 2 若两圆相交 则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2 y2项即可得到 3 两圆公切线的条数 1 两圆内含时 公切线条数为0 2 两圆内切时 公切线条数为1 3 两圆相交时 公切线条数为2 4 两圆外切时 公切线条数为3 5 两圆相离时 公切线条数为4 因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系 反过来知道两圆公切线的条数 也可以判断出两圆的位置关系 2 本例的条件不变 在圆半径最小的情况下 求过a b两点 且被a b两点截得的两段弧长之比为1 2的圆的方程 解析 由例2可知 当圆的半径最小时 m 1 n 2 直线ab方程为y 1 又圆m的圆心m 1 2 圆n的圆心n 1 1 直线mn的方程为x 1 可设所求圆的圆心p 1 y p到ab的距离d y 1 又由题意知 apb 120 而 ab 4 已知点m 3 1 直线ax y 4 0及圆 x 1 2 y 2 2 4 1 求过m点的圆的切线方程 2 若直线ax y 4 0与圆相切 求a的值 3 若直线ax y 4 0与圆相交于a b两点 且弦ab的长为2 求a的值 自主探究 1 圆心c 1 2 半径为r 2 当直线的斜率不存在时 方程为x 3 由圆心c 1 2 到直线x 3的距离d 3 1 2 r 知 此时 直线与圆相切 当直线的斜率存在时 设方程为y 1 k x 3 即kx y 1 3k 0 方法点评 1 求圆的切线方程一般有两种方法 1 代数法 设切线方程为y y0 k x x0 与圆的方程组成方程组 消元后得到一个一元二次方程 然后令判别式 0进而求得k 2 几何法 设切线方程为y y0 k x x0 利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d 然后令d r 进而求出k 两种方法 一般来说几何法较为简洁 可作为首选 特别提醒 在利用点斜式求切线方程时 不要漏掉垂直于x轴的切线 即斜率不存在时的情况 2 若点m x0 y0 在圆x2 y2 r2上 则过m点的圆的切线方程为x0 x y0y r2 3 圆的弦长的求法 3 已知点a 1 a 圆x2 y2 4 1 若过点a的圆的切线只有一条 求a的值及切线方程 2 若过点a且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为2 求a的值 解析 1 由于过点a的圆的切线只有一条 则点a在圆上 故12 a2 4 a 1 2009年浙江高考 已知三角形的三边长分别为3 4 5 则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 a 3b 4c 5d 6 解析 边长为3 4 5的三角形内切圆半径为r 1 而半径为1的圆的圆心在圆心与三角形任一顶点连线上移动时 都会产生4个交点 故选b 答案 b 2 2009年陕西高考 过原点且倾斜角为60 的直线被圆x2 y2 4y 0所截得的弦长为 a b 2c d 2 解析 圆x2 y2 4y 0的圆心c 0 2 半径r 2 由图可知c到直线ao的距离为1 ao 2 故选d 答案 d 答案 a 4 2009年上海高考 过圆c x 1 2 y 1 2 1的圆心 作直线分别交x y正半轴于点a b aob被圆分成四部分 如图 若这四部分图形面积满足s s s s 则这样的直线ab有 a 0条b 1条c 2条d 3条 解析 由图形可知 s s 为定值 s 增大时 s 减小 又s s s s 显然 s 是关于s 的一次函数且单调递增 s 既是 0 上关于s 的增函数 也是 0 上关于s 的减函数且s 0 由一次函数性质可知 同时满足两种情况的解唯一存在 故选b 答案 b 1 直线与圆的位置关系问题讨论直线与圆的位置关系问题时 要养成作图的习惯 运用数形结合的思想 综合代数的 几何的知识进行求解 一般说来 运用几何法解题运算较简便 但代数法更具一般性 2 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系重点依据圆心距d和两圆半径r1 r2的关系判断 要注意两圆的位置关系与两圆公切线条数的依附关系 3 过交点的圆系问题对涉及过直线与圆 圆与圆的交点圆问题 可考虑利用过交点的圆系解决问题 在运算上往往比较简便 4 直线与圆相切时切线的求法 1 求过圆上的一点 x0 y0 的圆的切线方程先求切点与圆心连线的斜率k 则由垂直关系 切线斜率为 由点斜式方程可求得切线方程 如果k 0或k不存在 则由图形可直接得切线方程为y y0或x x0 2 求过圆外一点 x0 y0 的圆的切线方程 几何方法 当