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第七节空间向量及其运算 1 空间向量的概念空间向量 在空间 我们把既有又有的量叫做空间向量 2 共线向量 平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线 那么这些向量叫做共线向量或平行向量 规定零向量与共线 3 共线向量定理对空间任意两个向量a b a 0 b与a共线的充要条件是存在实数 使 基础梳理 大小 方向 互相平行或重合 任意向量 b a xa yb 4 共面向量定理如果两个向量a b不共线 那么向量p与向量a b共面的充要条件是存在有序实数组 x y 使得p 5 空间向量基本定理及其推论 1 空间向量基本定理如果三个向量 不共面 那么对空间任一向量p 存在唯一的有序实数组 x y z 使p 2 空间向量基本定理的推论设o a b c是不共面的四点 则对空间任意一点p 都存在唯一的有序实数组 x y z 使得 x y z x y z 6 空间向量的坐标表示及坐标运算 1 空间向量的坐标表示在空间直角坐标系o xyz中 i j k分别为x轴 y轴 z轴方向上的单位向量 对于空间任意一个向量a 若有a xi yj zk 则有序实数组叫做向量a在空间直角坐标系中的坐标 特别地 若a x y z 则向量的坐标为 x y z 记作 2 坐标运算设 则a b a b a a b cos a b a a 7 空间向量的数量积 1 数量积的定义设a b是空间两个非零向量 我们把数量 a b cos a b 叫做向量a b的数量积 记作a b 即a b 规定 零向量与任一向量的数量积为0 2 用数量积表示夹角 长度与垂直 cos a b a 2 a b a b是非零向量 a b 0 a b 8 空间向量坐标表示及应用 1 数量积的坐标表示设 则a b 2 共线与垂直的坐标表示设 则 a b r a b a b均为非零向量 3 模 夹角和距离公式设 则 cos a b 若 则 典例分析 题型一向量的线性运算 例1 如图所示 在平行六面体中 设 m n p分别是 bc 的中点 试用a b c表示以下各向量 1 2 3 分析从要求的向量出发 选取适当的三角形 或平行四边形 利用向量的加 减及数乘运算的法则和运算律 不断地进行分解 直到全部用已知条件表示出来为止 解 1 p是的中点 2 n是bc的中点 3 m是的中点 又 学后反思选定空间不共面的三个向量作为基向量 并用它表示指定的向量 是用向量解决立体几何问题的一项基本功 要结合已知和所求 观察图形 联想相关的运算法则和公式等就近表示所需向量 再对照目标 就不符合目标的向量当作新的所需向量 如此继续下去 直到所有的向量都符合目标要求为止 这就是向量的分解 有分解才有组合 组合是分解的表现形式 空间向量基本定理恰好说明 用空间三个不共面的向量组 a b c 可以表示出空间的任意一个向量 而且a b c的系数是唯一的 举一反三1 在空间四边形oabc中 点m在oa上 且 n为bc的中点 则mn等于 解析 得 答案 题型二共线 共面问题 例2 如图所示 已知abcd是平行四边形 p点是abcd所在平面外一点 连接pa pb pc pd 设点e f g h分别为 pab pbc pcd pda的重心 1 试用向量方法证明e f g h四点共面 2 试判断平面efgh与平面abcd的位置关系 并用向量方法证明你的判断 分析可以利用共面向量定理或其推论完成第 1 问的证明 从几何直观判断 第 2 问中的两个平面应该是平行关系 解 1 如图 连接pe pf pg ph 并分别延长pe pf pg ph交对边于m n q r 因为e f g h分别是所在三角形的重心 所以m n q r为所在边的中点 顺次连接m n q r得到的四边形为平行四边形 且有 因为四边形mnqr是一个平行四边形 所以又所以 即由共面向量定理知 e f g h四点共面 学后反思 1 空间向量基本定理的应用之一就是证明四点共面 2 用共线向量定理证明线线平行 从而证明面面平行 更简捷 使问题简单化 3 要学会用向量的知识来解决立体几何问题 2 由 1 得 所以 又因为eg 平面abc mq 平面abc 所以eg 平面abc 因为 所以mn ef 又因为ef 平面abc mn 平面abc 所以ef 平面abc 由于eg与ef交于e点 所以平面efgh与平面abcd平行 答案 a b d 举一反三2 已知向量a b 且 则a b c d中一定共线的三点是 解析 a b d三点共线 易证a c d不共线 题型三空间向量的数量积 例3 如图所示 已知空间四边形abcd的每条边和对角线长都等于1 点e f分别是ab ad的中点 计算 1 2 3 分析可先将ef看作 然后利用向量数量积的定义求出即可 学后反思注意由图形写向量夹角时易出错 如 bd dc 120 易错写为 bd dc 60 解 1 2 3 举一反三3 如图 在四面体abcd中 已知ab cd ac bd 求证 ad bc 证明 设 a b c 则 b a c b c a ab cd 即a c b 0 a c a b 又ac bd 即b c a 0 b c b a c b a c b c a b a a b 0 ad bc 题型四向量的坐标运算 例4 14分 已知a 3 5 4 b 2 1 8 求 1 a b 2 a与b夹角的余弦值 3 确定 的值使得 a b与z轴垂直 且 a b a b 53 分析求夹角需利用数量积 因而需求得 a 与 b 代入公式cos a b 而求 的值 需利用z轴的单位向量联立方程组求解 解 1 a b 3 5 4 2 1 8 3 2 5 1 4 8 21 6 2 cos a b 10 3 取z轴上的单位向量n 0 0 1 a b 5 6 4 依题意 a b n 0 a b a b 53 即 3 2 5 4 8 0 0 1 0 3 2 5 4 8 5 6 4 53 故 4 8 0 29 48 53 解得 1 14 学后反思本题主要运用坐标代入运算即可 特别地 a b与z轴垂直 只需满足 a b的竖坐标为零 即 4 8 0即可 可见 要使a与某一坐标轴垂直 只要a的相应坐标为零即可 且反之亦真 举一反三4 已知向量a 1 3 2 和b 2 1 1 点a 3 1 4 b 2 2 2 1 求 2a b 2 在直线ab上是否存在一点e 使 b o为原点 解析 1 2a b 2 6 4 2 1 1 0 5 5 2a b 2 设ae tab 则 3 1 4 t 1 1 2 3 t 1 t 4 2t 若 b 则 b 0 即 2 3 t 1 t 4 2t 0 解得t 故存在点e 使 b 此时e点坐标为e 10 已知向量x与向量a 2 1 2 共线 且满足方程a x 18 求向量x的坐标 考点演练 解析 x与a共线 故可设x ka 由a x 18 得a ka 9k 18 故k 2 x 2a 4 2 4 11 如图 在棱长为a的正方体中 e f分别是棱ab bc上的动点 且ae bf x 其中0 x a 以o为原点建立空间直角坐标系o xyz 1 求出点e f的坐标 2 求证 3 若 e f 四点共面 求证 解析 1 易知 e a x 0 f a x a 0 2 证明 a 0 a 0 a a x a a a x a a ax a x a a2 0 3 证明 e f 四点共面 共面 视与为一组基向量 则存在唯一的实数对 使 即 x a a a a 0 0 x a a a x a x a a a x

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