高三数学一轮复习精品课件：空间点、线、面之间的位置关系.ppt

第3课时空间点 线 面之间的位置关系 1 平面的基本性质 基础知识梳理 两点 基础知识梳理 不在一条直线 有且只有一条 2 空间两直线的位置关系 1 位置关系的分类 基础知识梳理 有且只有一个 没有 没有 2 平行公理公理4 平行于同一直线的两条直线 空间平行线的传递性 3 等角定理空间中如果两个角的两边分别 那么这两个角相等或互补 基础知识梳理 互相平行 对应平行 4 异面直线所成的角设a b是异面直线 经过空间任一点o 分别作直线a a b b 把直线a 与b 所成的叫做异面直线a b所成的角 如果两条异面直线所成的角是 则称这两条直线互相垂直 基础知识梳理 锐角 或直角 直角 3 直线和平面的位置关系 基础知识梳理 l 无数个 基础知识梳理 l a l 4 平面与平面的位置关系 基础知识梳理 a l 0个 1 分别在两个平面内的两条直线的位置关系是 a 异面b 平行c 相交d 以上都有可能答案 d 三基能力强化 2 已知a b是异面直线 直线c 直线a 则c与b a 一定是异面直线b 一定是相交直线c 不可能是平行直线d 不可能是相交直线答案 c 三基能力强化 3 已知a b c表示不同的点 l表示直线 表示不同的平面 则下列推理错误的是 a a l a b l b l b a a b b a abc l a l a d a a l l l a答案 c 三基能力强化 4 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 异面直线ac与b1c1所成的角为 5 三条直线两两相交 可以确定 个平面 三基能力强化 答案 45 答案 1或3 证明共线问题 1 可由两点连一条直线 再验证其他各点均在这条直线上 2 可直接验证这些点都在同一条特定的直线上 两相交平面的唯一交线 关键是通过绘出图形 作出两个适当的平面或辅助平面 证明这些点是这两个平面的公共点 课堂互动讲练 课堂互动讲练 如图 在四面体abcd中作截面pqr pq cb的延长线交于m rq db的延长线交于n rp dc的延长线交于k 求证 m n k三点共线 思路点拨 要证明m n k三点共线 由公理3可知 只要证明m n k都在平面bcd与平面pqr的交线上即可 课堂互动讲练 课堂互动讲练 m n k在平面bcd与平面pqr的交线上 即m n k三点共线 课堂互动讲练 名师点评 错误主要出现在不能正确判断m n k所在平面 证明共点问题一般是证明三条直线交于一点 首先证明其中的两条直线相交于一点 然后再说明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线 由公理3可知两个平面的公共点必在两个平面的交线上 即三条直线交于一点 课堂互动讲练 课堂互动讲练 如图所示 已知空间四边形abcd中 e h分别是边ab ad的中点 f g分别三条直线ef gh ac交于一点 思路点拨 先证e f g h四点共面 再证ef gh交于一点 然后证明这一点在ac上 课堂互动讲练 证明 e h分别是ab ad的中点 由公理4知 eh fg 且eh fg 四边形efgh是梯形 eh fg为上 下两底 课堂互动讲练 两腰ef gh所在直线必相交于一点p p 直线ef ef 平面abc p 平面abc 同理可得p 平面adc p在平面abc和平面adc的交线上 又 面abc 面adc ac p 直线ac 故ef gh ac三直线交于一点 课堂互动讲练 思维总结 证明线共点的方法一般是先证两条直线相交于一点 然后再证明这一点在第三条直线上 而证明后者 往往是利用这点在两个平面的交线上 课堂互动讲练 若本例中的其他条件不变 将比例改 课堂互动讲练 互动探究 hg ac ef hg 且ef hg 所以四边形efgh为梯形 设eh与fg交于点p 则p 平面abd p 平面bcd 所以p在两平面的交线bd上 所以eh fg bd三线共点 课堂互动讲练 证明若干条线 或若干个点 共面 一般来说有两种途径 一是首先由题目条件中的部分线 或点 确定一个平面 然后再证明其余的线 或点 均在这个平面内 二是将所有元素分为几个部分 然后分别确定几个平面 再证这些平面重合 本题最容易忽视 三线共点 这一种情况 因此 在分析题意时 应仔细推敲问题中每一句话的含义 课堂互动讲练 课堂互动讲练 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 点e f分别是棱aa1 cc1的中点 求证 d1 e f b共面 课堂互动讲练 思路点拨 连结d1e d1f d1e与dg相交 d1f与dc相交 证明两交点与b共线 证明 d1 e f三点不共线 d1 e f三点确定一平面 又由题意可知d1e与da共面于平面a1d且不平行 故分别延长d1e da相交于g 则g 直线d1e 平面 g 同理 设直线d1f与dc的延长线交于点h 则h 平面 课堂互动讲练 课堂互动讲练 又 点g b h均属于平面ac 且由题设条件知e为aa1的中点且ae dd1 从而ag ad ab agb为等腰直角三角形 abg 45 同理 cbh 45 又 abc 90 从而点b d1 e f b共面 课堂互动讲练 名师点评 题中是先说明d1 e f确定一平面 再说明b在所确定的平面内 也可证明d1e bf 从而说明四点共面 课堂互动讲练 证明两直线为异面直线的方法 1 定义法 不易操作 2 反证法 先假设两条直线不是异面直线 即两直线平行或相交 由假设的条件出发 经过严密的推理 导出矛盾 从而否定假设肯定两条直线异面 此法在异面直线的判定中经常用到 课堂互动讲练 3 客观题中 也可用下述结论 过平面外一点和平面内一点的直线 与平面内不过该点的直线是异面直线 如图 课堂互动讲练 课堂互动讲练 解题示范 本题满分12分 如图所示 正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是a1b1 b1c1的中点 问 1 am和cn是否是异面直线 说明理由 2 d1b和cc1是否是异面直线 说明理由 思路点拨 1 易证mn ac 所以am与cn不是异面直线 2 由图易判断d1b和cc1是异面直线 证明时常用反证法 课堂互动讲练 解 1 不是异面直线 理由 连结mn a1c1 ac m n分别是a1b1 b1c1的中点 mn a1c1 4分又 a1a綊c1c a1acc1为平行四边形 a1c1 ac 得到mn ac a m n c在同一平面内 故am和cn不是异面直线 6分 课堂互动讲练 2 是异面直线 理由 abcd a1b1c1d1是正方体 b c c1 d1不共面 8分假设d1b与cc1不是异面直线 则存在平面 使d1b 平面 cc1 平面 d1 b c c1 与abcd a1b1c1d1是正方体矛盾 假设不成立 即d1b与cc1是异面直线 12分 课堂互动讲练 名师点评 证明异面直线的方法中反证法最常用 不能把异面直线误解为 分别在不同平面内的两条直线为异面直线 课堂互动讲练 本题满分10分 由四个全等的等边三角形围成的封闭几何体称为正四面体 如图 在正四面体abcd中 e f分别是bc和ad的中点 cf与de是一对异面直线 在图中适当地选取一点作出异面直线cf与de的平行线 找出异面直线cf与de所成的角 课堂互动讲练 高考检阅 解 选取平面bcf 该平面有以下两个特点 该平面包含直线cf 该平面与de相交于点e 在平面bcf中 过点e作cf的平行线交bf于点n 连结nd 可以看出 en与ed所成的角即为异面直线fc与ed所成的角 10分 课堂互动讲练 1 公理1反映了平面的本质属性 通过直线的 直 和 无限延伸 的特性 揭示了平面的 平 和 无限延展 的特征 其作用是 1 检验平面 2 判断直线在平面内 3 由直线在平面内判定直线上的点在平面内 规律方法总结 2 公理2的作用 确定平面的依据 它提供了把空间问题转化为平面问题的条件 例如 三点确定几个平面 当三点共线时 三点确定无数个平面 当三点不共线时 确定一个平面 所以三点确定一个或无数个平面 公理2中的 有且只有一个 包含两层含义 1 有 说