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一题多解 分数和百分数应用题(1)例1 某厂五月份计划用电2500度，实际用电2125度，节约百分之几？【分析1】先求出实际用电比计划节约了多少度，再除以五月份计划用电度数，即得实际用电比计划节约百分之几.【解法1】实际比计划节约用电几度？2500-2125=375（度）实际比计划节约用电百分之几？3752500=0.15=15综合算式：（2500-2125）2500=3752500=15.【分析2】把计划用电看作标准“1”。先求出实际用电是计划的百分之几，再求出此百分数与“1”的差，即为实际比计划节约的百分数.【解法2】实际是计划的百分之几？21252500=0.85=85实际用电比计划节约百分之几？1-85=15综合算式：1-21252500=1-0.85=15.答：实际用电比计划节约了15.【评注】解法1是一般解法，易于理解和掌握，并且运算较简便，是本题较好解法.例2 某厂五月份生产机床160台，六月份生产200台，六月份比五月份增产百分之几？【分析1】先求出六月份比五月份增产多少台，再除以五月份生产台数，即得六月份比五月份增产百分之几.【解法1】六月份比五月份增产多少台？200-160=40（台）六月份比五月份增产百分之几？40160=0.25=25综合算式：（200-160）160=40160=25.【分析2】把五月份生产台数看作“1”.先求出六月份生产台数是五月份的百分之几，再减去“1”，即得六月份比五月份增产百分之几.【解法2】六月份是五月份的百分之几？200160=1.25=125六月份生产台数比五月份增产百分之几？125-1=25综合算式：200160-1=1.25-1=25.答：六月份比五月份增产25.【评注】解法1的思路简明，运算较为简便，也是通常使用的解法.例3 红星机床厂，上个月计划生产机床200台，实际比计划多生产40台，实际产量是计划的百分之几？【分析1】先求出实际生产多少台，再除以计划生产的台数，所得百分数就是实际产量是计划的百分之几.【解法1】实际生产机床多少台？200+40=240（台）实际产量是计划的百分之几？240200=1.2=120综合算式：（200+40）200=240200=120.【分析2】把计划生产的台数看作标准“1”.先求出实际比计划多生产百分之几，再加上“1”即得实际产量是计划的百分之几.【解法2】实际比计划多生产百分之几？40200=0.2=20实际产量是计划的百分之几？1+20=120综合算式：1+40200=1+0.2=1.2=120.【评注】解法1是常用解法，思路直接，但计算较繁，解法2思路简明，运算简便，是本题的较好解法.例4五一班有50人，在一次数学测验中，有1人不及格，求及格率.【分析1】根据“100=及格率”，先求及格人数，再求及格率.【解法1】100=0.98100=98.【分析2】先求出不及格人数占全班人数的百分之几，即不及格率，再用标准“1”减去不及格率，即得这次测验及格率.【解法2】1-1050=1-0.02=0.98=98.答：这次数学测验的及格率是98.例5小研看一本课外书，4天看了全书总页数的，照这样计算，他看完这本书还要多少天？【分析1】先求出每天读全书的几分之几，再除全书总页数“1”，即得读全书要用天数.最后减去已用的4天，即得还要用的天数.【解法1】每天读全书的几分之几？4=读全书共用多少天？1=6（天）看完全书还要多少天？6-4=2（天）综合算式：1（4）-4=1-4=2（天）.【分析2】把读全书要用天数看作标准“1”，那么4天恰是读全书要用天数的，由此可求出读全书用多少天，再求还要多少天.【解法2】读全书共用多少天？4=6（天）读完全书还要多少天？6-4=2（天）综合算式：4-4=6-4=2（天）.【分析3】把转化为23，那么全书页数可平均分成3份，已读了2份，还剩下1份没有读.由此可求读每份书用多少天，即还要多少天.【解法3】42（3-2）=421=2（天）.或：设还要用x天.42=x（3-2）2x=4x=2【分析4】因为“读书量天数=每天读书量”，每天读书量一定，所以读书量和读书的天数成正比例，由此列比例式解题.【解法4】设读全书还要用x天.（1-）x=4x=4x=4x=x=2【分析5】用倍比解法.把全书总页数看作“1”，先求出“1”里包含几个，那么读全书也就需要几个4天，由此求出读全书要用天数，再求还要多少天.【解法5】4（1）-4=4-4=6-4=2（天）.答：他看完全书还要2天.【评注】解法1和解法4都是常用解法，易于理解和掌握，但一般来说计算较繁，其它三种解法都是转换角度进行思考问题，有益于锻炼思维.其中解法2和解法3思维角度选择巧妙，运算简便，是本题的最好解法.例6六年三班有女生24人，占全班人数的40，这个班有学生多少人？【分析1】把全班人数看作标准“1”.根据“比较量对应分率=标准量”，用女生人数除以它占全班人数的40，即得全班人数.【解法1】2440=24=60（人）.【分析2】把40转化为40100，那么全班人数可分为100等份，其中女生占40份，可先求出每份有多少人，再求100份有多少人即全班的人数.【解法2】2440100=0.6100=60（人）.【分析3】把女生人数看作标准“1”，那么全班人数是女生人数的.由此可根据分数乘法意义求出全班人数。【解法3】24=24=60（人）.【分析4】根据“全班人数40=女生人数”这一等量关系列方程.【解法4】设全班人数为x.x40=24x=2440x=60【分析5】把全班人数看作标准“1”，运用倍比法解题.【解法5】24（140）=24=60（人）.【分析6】根据“女生人数和全班人数的比，等于它们相应的份数比”列出比例式.【解法6】设全班人数为x.24x=4010040x=24100x=240040x=60答：这个班有学生60人.【评注】解法1和解法4是常用解法，思路简明，易于理解.其它几种解法，都是将题中的数量关系进行转化.改变思考角度来解题，这是解答分数应用题必须具备的基本功，只有做到这一点，才能灵活运用知识，巧妙解题.解法3是本题的最佳解法.例7 一个钢厂去年产钢88万吨，今年计划比去年增产25，今年计划产钢多少万吨？【分析1】先求出今年计划比去年的增产量，再加上去年的产钢量，即得今年产钢量.【解法1】今年计划比去年增产多少？8825=22（万吨）今年计划产钢多少万吨？88+22=110（万吨）综合算式：8825+88=22+88=110（万吨）.【分析2】先求今年计划产钢是去年的百分之几，再求今年计划产钢多少万吨.【解法2】88（1+25）=88=110（万吨）.【分析3】由题意可知，去年产钢可理解为100等份，今年计划产钢量可理解为（100+25）等份.运用归一解法，先求每份多少万吨，再求出125份多少万吨，即今年计划产钢量.【解法3】88100（100+25）=88100125=0.88125=110（万吨）.答：今年计划产钢110万吨.【评注】解法1和解法2是常用解法，易于理解和掌握.其中解法2思路简明，运算简便，是本题的较好解法.例8某校办工厂今年第一季度生产教具6900套，比去年同期增产15，去年第一季度生产教具多少套？【分析1】把去年第一季度教具产量看作标准“1”.先求出今年第一季度产量是去年的百分之几，再根据“比较量对应分率=标准量”，求出去年第一季度产量.【解法1】今年第一季度产量是去年的百分之几，1+15=115去年第一季度产量是多少套？6900115=6000（套）综合算式：6900（1+15）=6900=6000（套）.【分析2】根据“标准量对应分率=比较量”列方程解.【解法2】设去年第一季度产x套.（1+15）x=6900x=6900x=6900x=6000*_【分析3】把今年第一季度产量看作“1”，那么去年第一季度产量是今年的，由此根据分数乘法应用题的解法，求出去年第一季度产教具多少套.【解法3】6900=6900=6000（套）【分析4】用归一解法.由题意可知，去年的教具产量可分为100等份，今年第一季度产量可分为（100+15）等份.由此可先求每份多少套，再求100份是多少套，即去年第一季度产量.【解法4】6900（100+15）100=6900115100=60100=6000（套）.【分析5】根据今年第一季度产量和去年的比等于它们相应的份数比，列出比例式.【解法5】设去年第一季度产x套.6900x=（100+15）100115x=6900100x=6900100115x=6000答：去年第一季度生产教具6000套.【评注】以上五种解法中，解法1和解法2是常用解法，易于理解，但运算较繁.解法3思路简捷明白，运算简便，是本题的较好解法.例9一种电冰箱，现在每台的价格是1840元，比原来降低了20，原来每台的价钱是多少元？【分析1】把原价看作标准“1”，那么现价是原价的1-20，而原价的（1-20）是1840元，由此可求原价是多少元.【解法1】1840（1-20）=1840=2300（元）.【分析2】根据“每台降低的价钱降低的百分数=每台原价”列方程解.【解法2】设每台原价是x元.（x-1840）20=xx-1840=20xx-20x=1840x=1840（1-20）x=2300【分析3】以“原来每台价钱-每台降低价钱=现在每台价钱”为等量列方程解.【解法3】设原来每台x元.x-20x=184080x=1840x=2300【分析4】以“原来每台价钱现价占原价的百分率=现在每台价钱”为等量列方程.【解法4】设原来每台x元.x（1-20）=1840x=184080x=2300【分析5】以“现在每台降低的价钱原来每台的价钱=降低的百分数”为等量列方程.【解法5】设原来每台x元.（x-1840）x=20x-1840=20xx-20x=1840x=2300【分析6】把现在每台价钱看作标准量，那么原来每台价是现在每台价的.由此可求出原来每台价钱是多少元.【解法6】1840=1840=2300（元）【分析7】用归一解法.原来每台价钱可分为100等份，现在每台价钱可分为80等份.由此可求每份是多少元，再求100份多少元即原价.【解法7】1840（100-20）100=184080100=23100=2300（元）.答：原来每台的价钱是2300元.【评注】解法1、解法3和解法4是常用解法，容易理解.解法6是把标准量进行了转换，思路简单巧妙，运算简便，是本题的最佳解法.另外，本题还可运用有关比例的知识解答，读者可试试.例10电子计算机厂，四月份生产计算器1200件，上旬生产了，中旬生产了.上、中旬共生产计算器多少件？【分析1】先求出上旬生产多少件，再求中旬生产件数，最后求上、中旬生产件数和.【解法1】上旬生产了多少件？1200=360（件）中旬生产了多少件？1200=480（件）上、中两旬共生产了多少件？360+480=840（件）综合算式：1200+1200=360+480=840（件）.【分析2】先求两旬共生产的件数占全月的几分之几，再求出两旬共生产多少件.【解法2】两旬产量占全月的几分之几？+=上、中两旬共生产了多少件？1200=840（件）综合算式：1200（+）1200=840（件）【分析3】先求出下旬产量占全月的几分之几，再求下旬产量，最后用全月生产件数减去下旬生产件数，即得两旬共生产多少件？【解法3】下旬生产了全月的几分之几？1-=下旬生产了多少件？1200=360（件）上、中两旬共生产多少件？1200-360=840（件）综合算式：1200-1200（1-）=1200-1200=1200-360=840（件）答：上、中旬共生产计算器840件.【评注】解法1和解法2运用乘法分配律可以相互转化.很明显，解法2的思路较为简捷，运算较为简便，是本题较好的解法.一题多解 分数和百分数应用题(2) 例11学校里买来100米电线，第一次用去全长的，第二次用去全长的45，还剩下电线多少米？【分析1】先求出第一次用去多少米，再求第二次用去多少米，最后从电线全长里分别减去两次用的电线，即得还剩下电线的长.【解法1】第一次用去电线多少米？100=40（米）第二次用去电线多少米？10045=45（米）还剩下电线多少米？100-40-45=15（米）综合算式：100-100-10045=100-40-45=15（米）.【分析2】把电线全长看作整体“1”.先求剩下电线的长占全长的几分之几，再求剩下的电线长多少米.【解法2】剩下电线占全长的几分之几？1-45=15剩下的电线长多少米？10015=15（米）综合算式：100（1-45）=10015=15（米）.【分析3】先求出第一次和第二次共用去电线多少米，再用电线全长减去两次用电线和，即得还剩下多少米.【解法3】100-（100+10045）=100-（40+45）=100-85=15（米）.【分析4】先求第一次和第二次共用去全长的几分之几，再求剩下全长的几分之几，最后求出剩下电线长多少米.【解法4】1001-（+45）=1001-85=10015=15（米）.【分析5】先求第一次和第二次共用去全长的几分之几，再求两次共用去多少米，最后从电线全长中减去两次共用的电线长，即得还剩下电线的长.【解法5】100-100（+45）=100-10085=100-85-15答：还剩下电线15米.【评注】以上五种解法的思路虽不同，但它们是相互转化，相互联系的.解法1和解法2、解法3和解法5可通过乘法分配律相互转化；解法1和解法3、解法2和解法4都是通过减法性质相互转化的，其中解法2和解法4是本题较好的解法.例12 自行车厂上半年已经完成全年生产计划的，照这样的生产速度，今年可以超产10000辆，这个厂今年上半年生产多少辆自行车？【分析1】先求全年实际生产量占全年计划生产量的几分之几，再求实际产量超过全年计划的几分之几，由此可求全年计划产量，最后求上半年产量.【解法1】全年实际完成计划几分之几？+=实际超过全年计划的几分之几？-1=全年计划生产多少辆？1000=40000（辆）今年上半年生产多少辆？40000=25000（辆）综合算式：10000（+-1）=10000=25000（辆）.【分析2】把转化为58，那么全年计划产量为8等份，上半年产量为5等份，所以全年实际产量就是10等份，超过计划2份，由此可求出每份多少辆，再求上半年的5份是多少辆.【解法2】10000（52-8）5=1000025=50005=25000（辆）.【分析3】由分析2进一步分析，10000辆和超产的（52-8）份相对应，而上半年产量是5份，可先求上半年产量是超产部分的几倍，再求上半年的实际产量.【解法3】100005（52-8）=1000052=100002.5=25000（辆）.【分析4】由题意可知，上半年和下半年的产量是相同的.所以上半年实际产量比计划产量超产100002=5000（辆），它占全年计划产量的，由此可求全年计划产量，再求出上半年实际产量.【解法4】100002（）=100002=25000（辆）【分析5】根据“全年实际产量-全年计划产量=超产量”这一等量关系列方程解.【解法5】设今年上半年产车x辆.x=10000（2-）x=25000【分析6】由分析2继续分析，全年实际超产量和上半年实际产量的比，等于它们相对应的份数比，由此列出比例式.【解法6】设今年上半年产车x辆.10000x=（52-8）510000x=25x=1000052=25000答：这个厂今年上半年生产25000辆自行车.【评注】解法1和解法4是分数应用题的通常解法.解法2和解法3的思路简单明白，易于理解，并且计算较简便，是本题较好解法.例13 新风电视机厂，已生产电视机2400台，比原计划少.为使产量超过计划15，还要生产电视机多少台？【分析1】先求原计划生产的台数，再求共要生产多少台，最后用共要生产的台数减去已生产的台数，即得还要生产的台数.【解法1】原计划生产电视多少台？2400（1-）=3200（台）实际共要生产电视多少台？3200（1+15）=3200115=3680（台）还要生产多少台？3680-2400=1280（台）综合算式：2400（1-）（1+15）-2400=2400115-2400=3680-2400=1280（台）.【分析2】先求出原计划生产多少台，再求还要生产的台数占原计划台数的百分之几，最后求出还要生产的台数.【解法2】原计划生产电视多少台？2400（1-）=2400=3200（台）还要生产原计划的百分之几？+15=40还要生产多少台？320040=1280（台）综合算式：2400（1-）（+15）=240040=320040=1280（台）【分析3】用倍比解法.先求出还要生产的台数是已生产的几分之几，最后再求还要生产多少台.【解法3】还要生产的是已产的几分之几？（+15）（1-）=还要生产多少台？2400=1280（台）综合算式：2400（+15）（1-）=240040=2400=1280（台）.【分析4】把转化为25，那么题中的两个分率（25和15）的分数单位及标准都是统一的.由题意可知，已生产的2400台占100-25=75份，还要生产的台数占25+ 15=40份，由此可先求出每份是多少台，再求还要生产的40份是多少台.【解法4】=252400（100-25）（25+15）=24007540=3240=1280（台）。答：还要生产电视机1280台.【评注】解法1和解法2都是先求出标准量（计划产量），再求还要生产的台数.这两种思路最容易想到，也最好理解和掌握，但运算较繁.解法3和解法4不通过求标准量，而另辟思路求出还要生产的台数.思路直接、简明，运算简便，是本题的较好解法.例14有一批货物，第一天运走了总数的20，第二天运走了余下的，第二天比第一天多运走了195吨，这批货物原有多少吨？【分析1】先求第二天运走这批货的几分之几，再求出第二天运货与第一天的分率差，即195吨的对应分率.最后求这批货的原有吨数.【解法1】第二天运走货物的几分之几？（1-20）=50第一天与第二天相差几分之几？50-20=30这批货物原有多少吨？19530=650（吨）综合算式：195（1-20）-20=19580-20=19530=650（吨）.【分析2】先求第二天比第一天多运了这批货的百分之几，再求这批货是它的几倍，最后求出这批货物的原有吨数.【解法2】第二天比第一天多运这批货的几分之几？（1-20）-20=30这批货的总量是两天运货相差数的几倍？130=（倍）这批货原有多少吨？195=650（吨）综合算式：195=195=195=650（吨）.【分析3】先求第二天运货与第一天运货的比，再运用归一解法求出第一天运多少吨，最后求这批货物原有多少吨.【解法3】第二天与第一天运货的比？（1-20）20=52第一天运货物多少吨？195（5-2）2=130（吨）这批货物原有多少吨？13020=650（吨）【分析4】根据“第二天运货量-第一天运货量=195吨”这一等量关系，列方程解.【解法4】设这批货物原有x吨.（1-20）x-20x=19550x-20x=19530x=195x=650答：这批货物原有650吨.【评注】解法1是常用解法，易于理解且最容易想到，但计算较繁.解法3的思路简捷通畅，是本题较好解法.例15某小学四年级学生有136人，占全校学生总数的，五年级学生是全校学生数的18，五年级有学生多少人？【分析1】用四年级的136人除以它的对应分率，即得全校总人数.再乘以五年级人数的对应分率18，即得五年级有多少人.【解法1】全校有学生多少人？136=850（人）五年级有学生多少人？85018=153（人）综合算式：13618=136=153（人）.【分析2】先求出四年级和五年级的人数比，再运用归一解法求出五年级的人数.【解法2】四年级和五年级的人数比？18= 89五年级有学生多少人？13689=153（人）综合算式：136（18）=136=153（人）.【分析3】用倍比解法.把四年级人数看作“1”倍量，先求出五年级人数是四年级的几倍，再求出五年级有多少人.【解法3】五年级人数是四年级的几倍？18=（倍）五年级有学生多少人？136=153（人）综合算式：136（18）=136=153（人）.【分析4】根据“四年级和五年级人数分别除以它们的对应分率，都等于全校人数”这一等量关系，列方程解.【解法4】设五年级有学生x人.136=x18850=x18x=85018x=153答：五年级有学生153人.【评注】解法1和解法3思路简单明白，易于理解和掌握，运算简便，是本题较好解法.例16粮库有一堆稻谷，第一次运走12吨，第二次比第一次多运走，两次共运走这堆稻谷的60，这堆稻谷有多少吨？【分析1】先求出两次共运走多少吨，再除以它的对应分率60，即得这堆稻谷吨数.【解法1】两次共运稻谷多少吨？12（1+1+）=27（吨）这堆稻谷共有多少吨？2760=45（吨）综合算式：12（1+1+）60=12=45（吨）.【分析2】用归一解法.由题意可知，第一次运的稻谷可分为4等份，第二次运了（4+1）份，由此可求出两次共运吨数.而两次运的稻谷又可分为60等份，可先求每份吨数，再求这堆稻谷（100等份）有多少吨.【解法2】124（4+4+1）60100=124960100=45（吨）.【分析3】根据“两次运稻谷吨数和等于稻谷总数的60”这一等量关系，列方程解，【解法3】设这堆稻谷有x吨.12（1+1+）=60x27=xx=45答：这堆稻谷有45吨.【评注】解法1和解法3是常用解法，其中解法1的思路通顺，易于理解，是较好解法.例17水果店花去960元买进香蕉、桃子共1000千克，香蕉斤数是桃子斤数的，桃子单价是香蕉单价的.求香蕉和桃子每千克价各是多少？（湖北省天门市）【分析1】用1000千克除以它的对应分率（1+），即得桃子斤数，进一步求出香蕉斤数：600.因为桃子单价是香蕉单价的，所以600千克桃子的总价相当于（600）千克香蕉的总价.由此可先求香蕉单价，再求桃子单价.【解法1】桃子有多少千克？1000（1+）=600（千克）香蕉有多少千克？600=400（千克）600千克桃子的总价相当于多少千克香蕉？600=400（千克）香蕉单价是多少？960（400+400）=1.20（元）桃子单价是多少？1.2=0.80（元）.【分析2】运用按比例分配的方法分别求出桃子和香蕉各多少千克，再求出香蕉重量相当于桃子重量.由此可先求出桃子的单价，再求香蕉的单价.【解法2】桃子有多少千克？1000=600（千克）香蕉有多少千克？1000=400（千克）400千克香蕉的总价相当于多少千克桃子？400=600（千克）桃子的单价是多少？960（600+600）=0.80（元）香蕉的单价是多少？0.80=1.20（元）【分析3】因为香蕉的重量是桃子的，而桃子的单价又是香蕉的，所以香蕉和桃子的总价是相等的.由此可先求桃子、香蕉的总价各是多少，再分别求它们的单价.【解法3】香蕉或桃子的总价是多少？9602=480（元）桃子有多少千克？1000（2+3）3=600（千克）香蕉有多少千克？1000（2+3）2=400（千克）香蕉单价是多少？480400=1.20（元）桃子单价是多少？480600=0.80（元）综合算式：桃子：96021000（2+3）3=9602600=0.80（元）香蕉：0.80=1.20（元）.答：桃每千克0.80元，香蕉每千克1.20元.【评注】解法1和解法2是以总价为定量，使香蕉和桃子的重量作等价转换，求出它们的单价，以上这三种解法各有特点，解法1是运用一般的分数应用题的解法，解法2是运用按比例分配的方法，解法3运用的是归一应用题的解法.其中解法3的思路最简捷，运算最简便，是本题的最佳解法.例18某校图书室，藏有一批图书，其中连环画比故事书多48本，两种书被同学们各借走12本后，余下连环画本数的等于故事书本数的.图书室有连环画多少本？【分析1】两种书各借走12本后，仍相差48本.因为余下连环画本数的等于余下故事书的，根据比例的基本性质可求出两种书余下本数的比，从而求出48本对应的份数，进一步求出连环画余下本数，再加上借走的本数即得原有本数.【解法1】因为余下连环画本数=余下故事书本数，所以余下连环画本数余下故事书本数=75余下连环画有多少本？48（7-5）7=168（本）连环画原有多少本？168+12=180（本）.【分析2】因为余下连环画本数的等于余下故事书的，所以余下故事书的本数恰是3个.把余下连环画本数看作标准“1”，求出48本的对应分率，即可求出余下连环