3.4.1生活中的优化问题举例3.4生活中的优化问题举例.ppt

3 4生活中的优化问题举例 生活中经常会遇到求什么条件下可使用料最省 利润最大 效率最高等问题 这些问题通常称为优化问题 这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题 其中不少问题可以运用导数这一有力工具加以解决 复习 如何用导数来求函数的最值 一般地 若函数y f x 在 a b 上的图象是一条连续不断的曲线 则求f x 的最值的步骤是 1 求y f x 在 a b 内的极值 极大值与极小值 2 将函数的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 特别地 如果函数在给定区间内只有一个极值点 则这个极值一定是最值 例1 海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动 通常需要张贴海报进行宣传 现让你设计一张如图3 4 1所示的竖向张贴的海报 要求版心面积为128dm2 上 下两边各空2dm 左 右两边各空1dm 如何设计海报的尺寸 才能使四周空白面积最小 解 设版心的高为dm 则版心的宽为dm 此时四周空白面积为 令 于是宽为 因此 16是函数 的极小值点 也是最小值点 所以 当版心高为16dm 宽为时8dm 能使四周空白面积最小 如何解决优化问题 优化问题 优化问题的答案 用函数表示的数学问题 用导数解决数学问题 问题情景二 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品 若它们的价格如下表所示 则 1 对消费者而言 选择哪一种更合算呢 2 对制造商而言 哪一种的利润更大 例1 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料 瓶子的制造成本是0 8pr2分 其中r是瓶子的半径 单位是厘米 已知每出售1ml的饮料 制造商可获利0 2分 且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm 则每瓶饮料的利润何时最大 何时最小呢 减函数 增函数 1 07p 解 每个瓶的容积为 每瓶饮料的利润 解 设每瓶饮料的利润为y 则 减函数 增函数 f r 在 2 6 上只有一个极值点 由上表可知 f 2 1 07p为利润的最小值 1 07p 例1 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料 瓶子的制造成本是0 8pr2分 其中r是瓶子的半径 单位是厘米 已知每出售1ml的饮料 制造商可获利0 2分 且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm 则每瓶饮料的利润何时最大 何时最小呢 解 设每瓶饮料的利润为y 则 当r 0 2 时 而f 6 28 8p 故f 6 是最大值 答 当瓶子半径为6cm时 每瓶饮料的利润最大 当瓶子半径为2cm时 每瓶饮料的利润最小 例1 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料 瓶子的制造成本是0 8pr2分 其中r是瓶子的半径 单位是厘米 已知每出售1ml的饮料 制造商可获利0 2分 且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm 则每瓶饮料的利润何时最大 何时最小呢 1 当半径为2cm时 利润最小 这时f 2 0 2 当半径为6cm时 利润最大 从图中可以看出 从图中 你还能看出什么吗 问题3 如何使一个圆形磁盘储存更多信息 例3磁盘的最大存储量问题 磁道 扇区 解 存储量 磁道数 每磁道的比特数 1 它是一个关于r的二次函数 从函数的解析式可以判断 不是r越小 磁盘的存储量越大 2 为求f r 的最大值 先计算 解得 解决优化问题的方法之一 通过搜集大量的统计数据 建立与其相应的数学模型 再通过研究相应函数的性质 提出优化方案 使问题得到解决 在这个过程中 导数往往是一个有力的工具 其基本思路如以下流程图所示 优化问题 用函数表示的数学问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案 练习 问题1 汽油的使用效率何时最高 我们知道 汽油的消耗量w 单位 l 与汽车的速度v 单位 km h 之间有一定的关系 汽油的消耗量w是汽车的速度v的函数 根据生活经验 思考下列两个问题 1 是不是汽车的速度越快 汽油的消耗量越大 2 汽油的使用效率最高 的含义