3.21《导数的计算几种常见函数的导数》课件（新人教选修11）..ppt

几种常见函数的导数 一 复习 1 解析几何中 过曲线某点的切线的斜率的精确描述与求值 物理学中 物体运动过程中 在某时刻的瞬时速度的精确描述与求值等 都是极限思想得到本质相同的数学表达式 将它们抽象归纳为一个统一的概念和公式 导数 导数源于实践 又服务于实践 2 求函数的导数的方法是 说明 上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数 3 函数f x 在点x0处的导数就是导函数在x x0处的函数值 即 这也是求函数在点x0处的导数的方法之一 4 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率 5 求切线方程的步骤 1 求出函数在点x0处的变化率 得到曲线在点 x0 f x0 的切线的斜率 2 根据直线方程的点斜式写出切线方程 即 二 新课 几种常见函数的导数 根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式 公式1 公式2 公式3 公式4 三 例题选讲 例1 求过曲线y cosx上点p 且与过这点的切线垂直的直线方程 注 满足条件的直线称为曲线在p点的法线 oax mp y 例2 如图 质点p在半径为1cm的圆上逆时针做匀角速运动 角速度1rad s 设a为起始点 求时刻t时 点p在y轴上的射影点m的速度 解 时刻t时 因为角速度1rad s 所以 故点m的运动方程为 y 1sint 故时刻t时 点p在y轴上的射影点m的速度为costcm s 例3 已知两条曲线y sinx y cosx 问是否存在这两条曲线的一个公共点 使在这一点处 两条曲线的切线互相垂直 并说明理由 解 设存在一个公共点p x0 y0 满足题设条件 由两条曲线的切线在点p互相垂直 则cosx0 sinx0 1 得sinx0cosx0 1 即sin2x0 2 这不可能 所以不存在满足题设条件的一个点 练习1 曲线y sinx在点p 处的切线的斜率为 例4 已知曲线在点p 1 1 处的切线与直线m平行且距离等于 求直线m的方程 设直线m的方程为3x y b 0 由平行线间的距离公式得 故所求的直线m的方程为3x y 6 0或3x y 14 0 导数的运算法则 法则1 两个函数的和 差 的导数 等于这两个函数的导数的和 差 即 法则2 两个函数的积的导数 等于第一个函数的导数乘第二个函数 加上第一个函数乘第二个函数的导数 即 法则3 两个函数的积的导数 等于第一个函数的导数乘第二个函数 减去第一个函数乘第二个函数的导数 再除以第二个函数的平方 即 例4 求下列函数的导数 答案 四 小结与作业 1 要切实掌握四种常见函数的导数公式 1 c为常数 2 3 4 2 对于简单函数的求导 关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式 3 能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综合性问题 我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式 我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式 例2 求函数y x3 2x 3的导数 练习 p921 2 例4 求下列函数的导数 答案 例5 某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s 4t3 16t2 1 此物体什么时刻在始点 2 什么时刻它的速度为零 解 1 令s 0 即1 4t4 4t3 16t2 0 所以t2 t 8 2 0 解得 t1 0 t2 8 故在t 0或t 8秒末的时刻运动物体在始点 即t3 12t2 32t 0 解得 t1 0 t2 4 t3 8 故在t 0 t 4和t 8秒时物体运动的速度为零 例6 已知曲线s1 y x2与s2 y x 2 2 若直线l与s1 s2均相切 求l的方程 解 设l与s1相切于p x1 x12 l与s2相切于q x2 x2 2 2 对于则与s1相切于p点的切线方程为y x12 2x1 x x1 即y 2x1x x12 对于与s2相切于q点的切线方程为y x2 2 2 2 x2 2 x x2 即y 2 x2 2 x x22