高考数学总复习 14.2 不等式选讲课件.ppt

14 2不等式选讲要点梳理1 两个实数大小关系的基本事实a b a b a b a b 0 a b 0 a b 0 基础知识自主学习 2 不等式的基本性质 1 对称性 如果a b 那么 如果 那么a b 即a b 2 传递性 如果a b b c 那么 即a b b c 3 可加性 如果 那么a c b c 4 可乘性 如果a b c 0 那么 如果a b cb 0 那么anbn n n n 2 6 开方 如果a b 0 那么 n n n 2 b a b a b a a c a c a b ac bc ac bc 3 基本不等式 1 定理1 如果a b r 那么a2 b2 2ab 当且仅当a b时 等号成立 2 定理2 基本不等式 如果a b 0 那么 当且仅当时 等号成立 也可以表述为 两个的算术平均数它们的几何平均数 3 利用基本不等式求最值对两个正实数x y 如果它们的和s是定值 则当且仅当时 它们的积p取得最值 如果它们的积p是定值 则当且仅当时 它们的和s取得最值 a b 正数 x y 不小于 即大于或 等于 大 x y 小 4 三个正数的算术 几何平均不等式 1 定理3如果a b c 那么 当且仅当时 等号成立 即三个正数的算术平均数它们的几何平均数 2 基本不等式的推广对于n个正数a1 a2 an 它们的算术平均数它们的几何平均数 即当且仅当a1 a2 an时 等号成立 r a b c 不小于 不小于 5 绝对值三角不等式 1 定理1 如果a b是实数 则 a b 当且仅当时 等号成立 2 定理2 如果a b c是实数 那么 a c a b b c 当且仅当时 等号成立 6 绝对值不等式的解法 1 含绝对值的不等式 x a的解集 a b ab 0 a b b c 0 r 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c ax b c 3 x a x b c和 x a x b c型不等式的解法 利用绝对值不等式的几何意义求解 体现了数形结合的思想 利用 零点分段法 求解 体现了分类讨论的思想 通过构造函数 利用函数的图象求解 体现了函数与方程的思想 c ax b c ax b c或ax b c 7 不等式证明的基本方法 1 比较法 2 综合法与分析法 3 反证法和放缩法 基础自测1 设ab 0 下面四个不等式中 正确的是 a b a a b a b a 和 b 和 c 和 d 和 解析 ab 0 a b同号 a b a b 和 正确 c 2 不等式1 x 1 3的解集为 a 0 2 b 2 0 2 4 c 4 0 d 4 2 0 2 解析由1 x 1 3 得1 x 1 3或 3 x 1 1 0 x 2或 4 x 2 不等式的解集为 4 2 0 2 d 3 设x 0 y 0 则m n的大小关系是 a m nb m nc m nd m n解析 b 4 不等式的解集为 a b c d 解析本题可去绝对值将已知不等式转化为等价的不等式组 注 解之前将未知数的系数化为正值 分别解之然后取并集即得不等式的解集 a 5 若不等式 ax 2 6的解集为 1 2 则实数a等于 a 8b 2c 4d 8解析由 ax 2 6 得 6 ax 2 6 即 8 ax 4 不等式 ax 2 6的解集为 1 2 易检验a 4 c 题型一算术几何不等式的应用已知实数a b c d满足a b c d 求证 1 可联想利用a d a b b c c d 2 要证可转化为证 题型分类深度剖析 证明 a b c d a b 0 b c 0 c d 0 利用均值不等式证明问题时 要特别注意正 定 等的基本条件 同时要注意不等式的结构特征 知能迁移1 2008 江苏 设a b c为正实数 求证 证明因为a b c是正实数 由平均不等式可得 题型二含绝对值不等式的解法解下列不等式 1 17 x 3 x 1 x 2 5 1 利用公式或平方法转化为不含绝对值的不等式 2 利用公式法转化为不含绝对值的不等式 3 不等式的左边含有两个绝对值符号 要同时去掉这两个绝对值符号 可以采用 分区间讨论法 此题亦可利用绝对值的几何意义去解 解 1 方法一原不等式等价于不等式组解得 1 x 1或3 x 5 所以原不等式的解集为 x 1 x 1 或3 x 5 方法二原不等式可转化为 由 得3 x 5 由 得 1 x 1 所以原不等式的解集是 x 1 x 1 或3 x 5 方法三原不等式的解集是17 x 可得2x 5 7 x或2x 52 或x2 3 方法一分别求 x 1 x 2 的零点 即1 2 由 2 1把数轴分成三部分 x1 当x1时 原不等式即x 1 2 x 5 解得1 x 2 综上 原不等式的解集为 x 3 x 2 方法二不等式 x 1 x 2 5的几何意义为数轴上到 2 1两个点的距离之和小于5的点组成的集合 而 2 1两个端点之间的距离为3 由于分布在 2 1以外的点到 2 1的距离在 2 1外部的距离要计算两次 而在 2 1内部的距离则只计算一次 因此只要找出 2左边到 2的距离等于的点 3 以及1右边到1的距离等于的点2 这样就得到原不等式的解集为 x 3 x 2 1 解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号 其方法主要有 利用绝对值的意义 利用公式 平方 分区间讨论等 2 利用平方法去绝对值符号时 应注意不等式两边非负才可进行 3 零点分段法解绝对值不等式的步骤 求零点 划区间 去绝对值号 分别解去掉绝对值的不等式 取每个结果的并集 注意在分段时不要遗漏区间的端点值 知能迁移2设函数f x 2x 1 x 4 1 解不等式f x 2 2 求函数y f x 的最小值 解 1 令y 2x 1 x 4 作出函数y 2x 1 x 4 的图象 如图所示 它与直线y 2的交点为 7 2 和 所以 2x 1 x 4 2的解集为 7 2 由函数y 2x 1 x 4 的图象可知 题型三含有绝对值的不等式的证明已知二次函数f x x2 ax b a b r 的定义域为 1 1 且 f x 的最大值为m 1 证明 1 b m 2 当时 试求出f x 的解析式 由 f x 在 1 1 上的最大值为m建立不等式m f 1 m f 0 m f 1 是解决问题的关键 1 证明 m f 1 1 a b m f 1 1 a b 2m 1 a b 1 a b 1 a b 1 a b 2 1 b m 1 b 2 证明依题意 m f 1 m f 0 m f 1 又f 1 1 a b f 1 1 a b f 0 b 4m f 1 2 f 0 f 1 1 a b 2 b 1 a b 1 a b 2b 1 a b 2 3 解 证明含有绝对值的不等式 其思路有两种 1 恰当运用 a b a b a b 进行放缩 并注意不等号的传递性及等号成立的条件 2 把含有绝对值的不等式等价转化为不含绝对值的不等式 再利用比较法 综合法及分析法进行证明 知能迁移3设f x ax2 bx c 当 x 1时 总有 f x 1 求证 f 2 8 证明方法一 当 x 1时 f x 1 f 0 1 即 c 1 又 f 1 1 f 1 1 a b c 1 a b c 1 又 a b c a b c 2 c a b c a b c 2c 2a 且 a b c a b c 2 c 4 a 2 2b a b c a b c a b c a b c 2 b 1 f 2 4a 2b c f 1 3a b f 1 3 a b 1 6 1 8 即 f 2 8 方法二 当 x 1时 f x 1 f 0 1 f 1 1 f 1 1 由f 1 a b c f 1 a b c f 0 c知 f 2 4a 2b c 2f 1 2f 1 4f 0 f 1 f 1 f 0 3f 1 f 1 3f 0 3 f 1 f 1 3 f 0 3 1 1 1 3 1 7 8 题型四不等式的证明已知a b c d都是实数 且a2 b2 1 c2 d2 1 求证 ac bd 1 本题使用综合法 分析法 比较法都可证明 证明方法一 综合法 a b c d都是实数 ac bd ac bd 又 a2 b2 1 c2 d2 1 ac bd 1 方法二 比较法 显然有 ac bd 1 1 ac bd 1 先证ac bd 1 ac bd 1 再证ac bd 1 ac bd 1 综上得 ac bd 1 方法三 分析法 要证 ac bd 1 只需证明 ac bd 2 1即只需证明a2c2 2abcd b2d2 1 由于a2 b2 1 c2 d2 1 因此 式等价于a2c2 2abcd b2d2 a2 b2 c2 d2 将 式展开 化简 得 ad bc 2 0 因为a b c d都是实数 所以 式成立 即 式成立 原命题得证 证明不等式要根据不等式的特点选择适当的方法 一般地 如果能用分析法寻找出证明某个不等式的途径 那么就能用综合法证明不等式 同时还能启发我们是否能用比较法证明 知能迁移4设a b为实数 0 n 1 0 m 1 m n 1 求证 证明 方法与技巧1 解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式 组 进行求解 含有多个绝对值符号的不等式 一般可用零点分段法求解 对于形如 x a x b m或 x a x b m m为正常数 利用实数绝对值的几何意义求解较简便 2 含绝对值不等式的证明 可考虑去掉绝对值符号 也可利用重要不等式 a b a b 及推广形式 a1 a2 an a1 a2 an 进行放缩 思想方法感悟提高 3 应用绝对值不等式性质求函数的最值时 一定注意等号成立的条件 失误与防范1 利用均值不等式必须要找准 对应点 明确 类比对象 使其符合几个著名不等式的特征 2 注意检验等号成立的条件 特别是多次使用不等式时 必须使等号同时成立 一 选择题1 若ab a b b a b a b 选项c成立 a b d均不成立 c 定时检测 2 若不等式 8x 9 2的解集相等 则实数a b的值分别为 a a 8 b 10b a 4 b 9c a 1 b 9d a 1 b 2解析据题意可得是二次不等式的解集可知x1 2 是一元二次方程ax2 bx 2 0的两根 根据根与系数的关系可知只有b选项适合 b 3 已知 x a b的解集为 x 2 x 4 则实数a等于 a 1b 2c 3d 4解析由 x a b得a b x a b c 4 如果a b c满足cacb c b a 0c cb20 则a一定正确 b一定正确 d一定正确 故选c 当b 0时 不成立 c 5 若关于x的不等式 x 1 x 2 a2 a 1 x r 恒成立 则实数a的取值范围为 a 0 1 b 1 0 c 1 d 1 0 解析由绝对值的几何意义知 x 1 x 2 1 a2 a 1 1恒成立 即a2 a 0 1 a 0 d 6 设函数则使f x 1的自变量x的取值范围是 a 2 0 4 b 2 0 1 c 2 1 4 d 2 0 1 4 解析当x 1时 x 1 2 1 即x 1 1或x 1 1 x 0或x 2 又 x 1 0 x 1或x 2 当x 1时 4 x 1 1 即 x 1 3 3 x 1 3 2 x 4 1 x 4 综上 自变量x的取值范围是0 x 4或x 2 a 二 填空题7 2009 山东理 13 不等式 2x 1 x 2 0的解集为 解析方法一原不等式即为 2x 1 x 2 4x2 4x 1 x2 4x 4 3x2 3 1 x 1 方法二原不等式等价于不等式组综上得 1 x 1 所以原不等式的解集为 x 1 x 1 x 1 x 1 8 若不等式 x 1 x 2 a无实数解 则a的取值范围是 解析由绝对值的几何意义知 x 1 x 2 的最小值为3 而 x 1 x 2 a无解 知a 3 a 3 9 若不等式对于一切非零实数x均成立 则实数a的取值范围是 解析即 a 2 1 解得1 a 3 1 3 三 解答题10 已知一次函数f x ax 2 1 当a 3时 解不等式 f x 4 2 解关于x的不等式 f x 4 3 若不等式 f x 3对任意x 0 1 恒成立 求实数a的取值范围 解 1 当a 3时 则f x 3x 2 f x 4 3x 2 4 4 3x 2 4 2 3x 6 不等式的解集为 2 f x 0时 不等式的解集为当a 0时 不等式的解集为 3 f x 3 ax 2 3 3 ax 2 3 1 ax 5 x 0 1 当x 0时 不等式组恒成立 当x 0时 不等式组转化为 11 已知a b c 1 且a b c是正数 求证 证明