高考数学总复习 13.6 数系的扩充与复数的引入课件.ppt

13 6数系的扩充与复数的引入要点梳理1 复数的有关概念 1 复数的概念形如a bi a b r 的数叫做复数 其中a b分别是它的和 若 则a bi为实数 若 则a bi为虚数 若 则a bi为纯虚数 2 复数相等 a bi c di a b c d r 实部 虚部 b 0 b 0 a 0且b 0 a c且b d 基础知识自主学习 3 共轭复数 a bi与c di共轭 a b c d r 4 复平面建立直角坐标系来表示复数的平面 叫做复平面 叫做实轴 叫做虚轴 实轴上的点都表示 除原点外 虚轴上的点都表示 各象限内的点都表示 5 复数的模向量的模r叫做复数z a bi的模 记作或 即 z a bi a c b d x轴 y轴 实数 纯虚数 非纯虚数 z a bi 2 复数的几何意义 1 复数z a bi复平面内的点z a b a b r 2 复数z a bi a b r 3 复数的运算 1 复数的加 减 乘 除运算法则设z1 a bi z2 c di a b c d r 则 加法 z1 z2 a bi c di 减法 z1 z2 a bi c di 乘法 z1 z2 a bi c di a c b d i a c b d i ac bd ad bc i 除法 c di 0 2 复数加法的运算定律复数的加法满足交换律 结合律 即对任何z1 z2 z3 c 有z1 z2 z1 z2 z3 z2 z1 z1 z2 z3 基础自测1 2009 北京理 1 在复平面内 复数z i 1 2i 对应的点位于 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限解析 z i 1 2i 2 i 复数z在复平面内对应的点为z 2 1 该点位于第二象限 b 2 下列命题正确的是 i 2 1 i3 i 若a b 则a i b i 若z c 则z2 0 a b c d 解析虚数不能比较大小 故 错误 若z i 则z2 1 0 故 错误 a 3 2008 浙江理 1 已知a是实数 是纯虚数 则a等于 a 1b 1c d 解析因为该复数为纯虚数 所以a 1 a 4 2009 山东理 2 复数等于 a 1 2ib 1 2ic 2 id 2 i解析 c 5 设为复数z的共轭复数 若复数z同时满足z 2i iz 则z 解析 iz 代入z 2i 得z iz 2i 1 i 题型一复数的概念及复数的几何意义已知复数试求实数a分别取什么值时 z分别为 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 根据复数z为实数 虚数及纯虚数的概念 利用它们的充要条件可分别求出相应的a值 解 题型分类深度剖析 2 当z为虚数时 a 1且a 6且a 1 a 1且a 6 当a 1 1 1 1 6 6 时 z为虚数 3 当z为纯虚数时 有 不存在实数a使z为纯虚数 1 本题考查复数集中各数集的分类 题中给出的复数采用的是标准的代数形式 否则应先化为代数形式 再依据概念求解 2 若复数的对应点在某些曲线上 还可写成代数形式的一般表达式 如 对应点在直线x 1上 则z 1 bi b r 对应点在直线y x上 则z a ai a r 在利用复数的代数形式解题时经常用到这一点 知能迁移1已知m r 复数 3 i 当m为何值时 1 z r 2 z是纯虚数 3 z对应的点位于复平面第二象限 4 z对应的点在直线x y 3 0上 解 1 当z为实数时 则有m2 2m 3 0且m 1 0解得m 3 故当m 3时 z r 2 当z为纯虚数时 则有解得m 0或m 2 当m 0或m 2时 z为纯虚数 3 当z对应的点位于复平面第二象限时 解得m 3或1 m 2 故当m 3或1 m 2时 z对应的点位于复平面的第二象限 4 当z对应的点在直线x y 3 0上时 当m 0或m 1 时 z对应的点在直线x y 3 0上 题型二复数相等已知集合m a 3 b2 1 i 8 集合n 3i a2 1 b 2 i 同时满足m n m m n 求整数a b 解依题意得 a 3 b2 1 i 3i 或8 a2 1 b 2 i 或a 3 b2 1 i a2 1 b 2 i 由 得a 3 b 2 经检验 a 3 b 2不合题意 舍去 判断两集合元素的关系 列方程组 分别解方程组 检验结果是否符合条件 a 3 b 2 由 得a 3 b 2 又a 3 b 2不合题意 a 3 b 2 由 得此方程组无整数解 综合 得a 3 b 2或a 3 b 2 两复数相等的充要条件是 实部与实部相等 虚部与虚部相等 构建方程 解方程组体现了方程的思想 本题中 复数与集合的知识相结合 体现了题目的灵活性 知能迁移2已知复数z的共轭复数是 且满足 z 2iz 9 2i 求z 解设z a bi a b r 则 a bi z 2iz 9 2i a bi a bi 2i a bi 9 2i即a2 b2 2b 2ai 9 2i由 得a 1代入 得b2 2b 8 0解得b 2或b 4 z 1 2i或z 1 4i 题型三复数的代数运算计算 1 利用复数的运算法则及特殊复数的运算性质求解 解 3 方法一 方法二 技巧解法 复数代数形式的运算是复数部分的重点 其基本思路就是应用运算法则进行计算 复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算 合并同类项 复数的乘除运算是复数运算的难点 在乘法运算中要注意i的幂的性质 区分 a bi 2 a2 2abi b2与 a b 2 a2 2ab b2 在除法运算中 关键是 分母实数化 分子 分母同乘以分母的共轭复数 此时要注意区分 a bi a bi a2 b2与 a b a b a2 b2 防止实数中的相关公式与复数运算混淆 造成计算失误 知能迁移3计算 解 题型四复数的几何意义 12分 如图所示 平行四边形oabc 顶点o a c分别表示0 3 2i 2 4i 试求 1 所表示的复数 2 对角线所表示的复数 3 求b点对应的复数 结合图形和已知点对应的复数 根据加减法的几何意义 即可求解 解 4分 8分 12分 根据复平面内的点 向量及向量对应的复数是一一对应的 要求某个向量对应的复数 只要找出所求向量的始点和终点 或者用向量相等直接给出结论 知能迁移4设复数z的共轭复数为 且4z 2 3 i sin icos 复数z 对应复平面内的向量为求z的值和的取值范围 解设z a bi a b r 则 a bi 由4z 2 3 i得4 a bi 2 a bi 3 i 即6a 2bi 3 i 根据复数相等的充要条件有 思想方法感悟提高方法与技巧1 复数的代数形式的运算主要有加 减 乘 除及求低次方根 除法实际上是分母实数化的过程 2 在复数的几何意义中 加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题 平移往往和加法 减法相结合 3 要记住一些常用的结果 如i 的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度 失误与防范1 判定复数是实数 仅注重虚部等于0是不够的 还需考虑它的实部是否有意义 2 对于复系数 系数不全为实数 的一元二次方程的求解 判别式不再成立 因此解此类方程的解 一般都是将实根代入方程 用复数相等的条件进行求解 3 两个虚数不能比较大小 4 利用复数相等a bi c di列方程时 注意a b c d r的前提条件 5 z2 0在复数范围内有可能成立 例如 当z 3i时z2 9 0 一 选择题1 2009 陕西理 2 已知z是纯虚数 是实数 那么z等于 a 2ib ic id 2i解析设z bi b r b 0 d 定时检测 2 复数 i是虚数单位 的实部是 a b c d 解析 a 3 已知i为虚数单位 则复数对应的点位于 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限解析 c 4 2009 辽宁理 2 已知复数z 1 2i 那么 a b c d 解析 d 5 在复平面内 若z m2 1 i m 4 i 6i所对应的点在第二象限 则实数m的取值范围是 a 0 3 b 2 c 2 0 d 3 4 解析整理得z m2 4m m2 m 6 i 对应点在第二象限 则 d 6 已知a是实数 是纯虚数 则a等于 a 1b 1c d 解析 a 二 填空题7 已知z1 2 i z2 1 3i 则复数的虚部为 解析 1 8 已知复数z1 1 2i z2 1 i z3 3 2i 它们所对应的点分别为a b c 若则x y的值是 解析得 3 2i x 1 2i y 1 i x y 2x y i 5 9 2009 福建理 11 若 i为虚数单位 a b r 则a b 解析 1 i a bi a 1 b 1 a b 2 2 三 解答题10 计算 i i 1602 i i2 i 1 1 i 解 11 已知x y为共轭复数 且 x y 2 3xyi 4 6i 求x y 解设x a bi a b r 则y a bi x y