高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义成长训练 新人教A版必修4.doc

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义主动成长夯基达标1.有四个式子:0a=0;0a=0;0-=;|ab|=|a|b|.其中正确的个数为( )a.4 b.3 c.2 d.1解析：0a表示零向量与任意向量a的数量积,数量积是一个数,而不是向量;0a表示实数与向量a的积,其结果应为零向量,而不是零;对a、b数量积的定义式两边取绝对值,得|ab|=|a|b|cos|,只有=0,时,|ab|=|a|b|才成立.只有0-=-=正确.答案：d2.在abc中,=a,=b,且ab0,则abc是( )a.锐角三角形 b.直角三角形c.钝角三角形 d.不能确定解析：由两向量夹角的概念,a与b的夹角应为180-b.因为ab=|a|b|cos(180-b)=-|a|b|cosb0,所以cosb0.又因为b(0,180),所以b为钝角.所以abc为钝角三角形.答案：c3.已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60,那么|a+3b|等于( )a. b. c. d.4解析：|a+3b|2=(a+3b)2=a2+9b2+6|a|b|cos60=13.答案：c4.若a为非零向量,ab=0,则满足此条件的向量b有( )a.1个 b.2个 c.有限个 d.无限个解析：由数量积性质知ab=0ab,而垂直于a的向量有无限多个.答案：d5.|a|=4,a与b的夹角为30,则a在b方向上的投影为_.解析：a1=|a|cos30=4.答案：6.边长为的等边abc中,设=c,=a,=b,则ab+bc+ca=_.解析：由题意知a,b=,b,c=,c,a=,ab+bc+ca=3|a|b|cos=32(-)=-3.答案：-37.对任意向量a、b,|a|b|与ab的大小关系是_.解析：由数量积定义ab=|a|b|cosa,b,由于cosa,b-1,1,所以|a|b|ab.答案：|a|b|ab8.已知abc中,a=5,b=8,c=60,求.解：因为|=a=5,|=b=8, =180-c=180-60=120,所以=|cos,=58cos120=-20.9.已知a、b是非零向量,当a+tb(tr)的模取最小值时,(1)求t的值;(2)已知a与b共线同向,求证:b(a+tb).(1)解：令m=|a+tb|,为a、b夹角,则m2=|a|2+2atb+t|b|2=t2|b|2+2t|a|b|cos+|a|2=|b|2(t+cos)2+|a|2sin2.当t=-cos时,|a+tb|有最小值|a|2sin.(2)证明:a与b共线且方向相同,故cos=1.t=-.b(a+tb)=ab+t|b|2=|a|b|-|a|b|=0.b(a+tb).10.设平面内两向量a、b互相垂直,且|a|=2,|b|=1,又k与t是两个不同时为零的实数.(1)若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直,求k关于t的函数关系式k=f(t);(2)求函数k=f(t)的最小值.解：(1)ab,ab=0.又xy,xy=0,即a+(t-3)b-ka+tb=0.-ka2-k(t-3)ab+tab+t(t-3)b2=0.|a|=2,|b|=1,-4k+t2-3t=0,即k=(t2-3t).(2)由(1),知k=(t2-3t)=(t-)2-,当t=时,函数最小值为-.走近高考11.(2004浙江高考)已知平面上三点a、b、c满足|=3,|=4,|=5,则+=_.解析：因为|2+|2=|2,所以abc为直角三角形,其中b=90.所以+=0+|cos(-c)+| |cos(-a)=-45 -53=-25.答案：-2512.(经典回放)已知直线ax+by+