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重庆大学线性代数试卷 教务处07版 第 4 页 共 4 页 一、填空题（每小题3分，共18分）1设为3阶可逆阵，已知的特征值为1,2,3，则 .2设，线性方程组有唯一解，则（）需要满足的条件是 . 3设矩阵，矩阵为3阶非零矩阵，且，则= .4已知维向量组线性无关，则向量空间的维数是 .5设满足.则 .6. 设四元线性方程组的系数矩阵的秩为，均为此方程组的解，且，则方程组的通解为 或者 。二、单项选择题（每小题分，共18分）1设设，则（ B ）（A）；(B) ； (C) ； (D) 。2设三阶矩阵，已知与线性相关，则 （ C ）.(A) -3； (B) -2； (C) -1； (D) 0。3，则此向量组的秩（ B ）.(A) 1； (B) 2； (C) 3； (D)4。 4设四阶方阵满足条件，则的伴随的一个特征值为（ D ）.（A） （B） （C） （D）5齐次线性方程组有无穷多解的充分必要条件是( ).(A) 矩阵行向量组线性无关；(B) 矩阵必有一行向量是其余行向量的线性组合；(C) ) 矩阵列向量组线性无关；(D)矩阵必有一列向量是其余列向量的线性组合.6已知维向量组线性无关，则（ D ）（A）对任意一组数都有 （B）中少于个向量构成的向量组均线性相关 （C）任意维向量，向量组线性相关 （D）中任意三个向量均线性无关。三、判断题（请在括号中填写“对”或者“错”，每题2分，共10分）1、若矩阵满足，可逆，则必有；（ ）2、阶方阵能够对角化的充分必要条件是：存在个不同的特征值；（ ）3、若维向量组由维向量组线性表出，则有;( )4、正交矩阵的所有特征值不为零；（ ）5、 任何秩为的矩阵均可以通过初等行变换化为标准型。（ ）四、计算题（一）（每小题8分，共16分）1求行列式的值：解： 2已知，且，求矩阵解：显然可逆，由得 （3分）因， （3分）故 （2分）五、计算题（二）（每小题12分，共24分）设方程组为 已知线性方程组讨论参数取何值时，方程组有解？无解？当有解时，求出其解。解：（3分）（1）当时，方程组无解。 （3分）（2）当时，方程组有无穷解。其解为 （3分）（3）当时，方程组有无穷角解。此时其通解为 （3分） 2用正交变换化二次型f为标准形，写出所施行的正交矩阵，其中解： （2分）其中A= ， ， 求A的特征值：=得特征值：， （3分） 求特征向量：（1） 得向量（正交化、单位化后） （3分） （2），得 （2分）得所施行的正交矩阵，正交变换为X=PY标准形为。 （2分）六、证明题（共14分，每题7分）1设可逆，证明证明：由得（A）= （3分） 因为A可逆，所以且 （2分） 在等式（A）=两边左乘得结果。 （2分）2设为阶矩阵，已知 试证：（1）线性方程组与同解； （2）证明：因为则 的解都是的解(2分)又 故他们的解空间相同，即它
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