高考数学总复习测评课件58.ppt

第一节导数的概念及运算 基础梳理 数量化 视觉化 2 几何意义函数f x 在点x0处的导数f x0 的几何意义是在曲线y f x 上点 处的 相应地 切线方程为 3 函数f x 的导函数若f x 对于区间 a b 内任一点都可导 则f x 在各点的导数也随着自变量x的而 因而也是自变量x的函数 该函数称为f x 的导函数 记作 切线的斜率 变化 变化 f x 4 基本初等函数的导数公式 f x f x k 0 1 2x cosx sinx 5 导数运算法则 1 f x g x 2 cf x c为常数 3 f x g x f x g x cf x f x g x f x g x 典例分析 题型一利用导数的定义求导数 例1 用导数定义求y x2在x 1处的导数值 分析利用导数的定义 按求导数的步骤求解 解 当 x无限趋近于0时 趋近于2 y x 1 2 学后反思利用导数的定义求在一点x0的导数的关键是对 y x进行灵活变形 若求f x 在开区间 a b 内的导数 只需将x0看成是 a b 内的任意点x 即可求得f x 举一反三1 已知 利用定义求y y x 1 题型二利用求导公式求导数 例2 求下列函数的导数 解析 分析直接利用导数公式及四则运算法则进行计算 学后反思准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键 解 1 y sinx sinx 2xsinx x2cosx 2 举一反三2 求函数的导数 题型三导数的物理意义及在物理上的应用 例3 一质点运动的方程为s 8 3t2 1 求质点在 1 1 t 这段时间内的平均速度 2 求质点在t 1的瞬时速度 解析 分析第 1 问可利用公式求解 第 2 问可利用第 1 问的结论求解 也可利用求导公式及四则运算法则求解 解 1 质点在 1 1 t 这段时间内的平均速度为 2 方法一 定义法 质点在t 1时的瞬时速度v 方法二 求导法 质点在t时刻的瞬时速度v s t 6t 当t 1时 v 6 学后反思导数的概念是通过函数的平均变化率 瞬时变化率 物体运动的瞬时速度 曲线的切线等实际背景引入的 所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义 对于作变速运动的物体来说 其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数 速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数 这是导数的物理意义 利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题 举一反三3 以初速度作竖直上抛运动的物体 t秒时的高度为 求物体在时刻时的瞬时速度 解析 物体在时刻的瞬时速度为 题型四导数的几何意义及在几何上的应用 例4 14分 已知曲线 1 求曲线在点p 2 4 处的切线方程 2 求曲线过点p 2 4 的切线方程 分析 1 点p处的切线以点p为切点 关键是求出切线斜率k f 2 2 过点p的切线 点p不一定是切点 需要设出切点坐标 解 1 y x2 2 在点p 2 4 处的切线的斜率k y x 2 4 3 曲线在点p 2 4 处的切线方程为y 4 4 x 2 即4x y 4 0 4 2 设曲线与过点p 2 4 的切线相切于点 则切线的斜率k y x x0 x20 6 切线方程为即 点p 2 4 在切线上 即x30 3x20 4 0 x30 x20 4x20 4 0 x20 x0 1 4 x0 1 x0 1 0 x0 1 x0 2 2 0 解得x0 1或x0 2 12 故所求的切线方程为4x y 4 0或x y 2 0 14 学后反思 1 解决此类问题一定要分清是 在某点处的切线 还是 过某点的切线 2 解决 过某点的切线 问题 一般是设出切点坐标 x0 y0 得出切线方程y y0 f x0 x x0 然后把已知点代入切线方程求 x0 y0 进而求出切线方程 举一反三4 求曲线y ln 2x 1 上的点到直线2x y 3 0的最短距离 解析 设曲线上过点的切线平行于直线2x y 3 0 即斜率是2 则 解得 即点p 1 0 点p到直线2x y 3 0的距离为 曲线y ln 2x 1 上的点到直线2x y 3 0的最短距离是 题型五复合函数的导数 例5 求下列函数的导数 分析先确定中间变量转化为常见函数 再根据复合函数的求导法则求导 也可直接用复合函数求导法则运算 解 学后反思求复合函数的导数 关键是理解复合过程 选定中间变量 弄清是谁对谁求导 其一般步骤是 1 分清复合关系 适当选定中间变量 正确分解复合关系 简称分解复合关系 2 分层求导 弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数 简称分层求导 即 分解 复合关系 求导 导数相乘 举一反三5 求下列函数的导数 解析 易错警示 例 已知曲线上的点p 0 0 求过点p 0 0 的切线方程 错解 在点x 0处不可导 因此过p点的切线不存在 错解分析本题的解法忽视了曲线在某点处的切线的定义 在点p处的切线是指曲线在点p附近取点q 当点q趋近于点p时 割线pq的极限位置的直线就是过点p的切线 因此过点p的切线存在 为y轴 如下图所示 正解如右图 按切线的定义 当 x 0时割线pq的极限位置为y轴 此时斜率不存在 因此 过点p的切线方程为x 0 考点演练 10 已知函数的图象都过点p 2 0 且在点p处有相同的切线 求实数a b c的值 解析 f x 过点 2 0 解得a 8 同理 g 2 4b c 0 f x 6x2 8 在点p处切线斜率 又g x 2bx 2b 2 16 b 4 c 4b 16 综上 a 8 b 4 c 16 11 设函数f x 满足 a b c为常数 a b 求f x 解析 将中的x换成 可得将其代入已知条件中得 12 2008 宁夏 设函数 a b z 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为y 3 1 求f x 的解析式 2 证明函数y f x 的图象是一个中心对称图形 并求其对称中心 3 证明曲线y f x 上任一点的切线与直线x 1和直线y x所围三角形面积为定值 并求出此定值 解析 1 f x 于是 解得 2 证明 已知函数都是奇函数 函数也是奇函数 其图象是以原点为中心的中心对称图形 由可知f x 的图象是由g x 的图象沿x轴正方向向右平移1个单位 再沿y轴正方向向上平移1个单位得到的 故